내손중 3학년 1학기 기말고사 수학 기출 분석 (2025)

내손중 3학년 1학기 기말 수학은 2025학년 기준 총 19문항입니다. 출제 범위는 제곱근과 실수부터 이차함수의 그래프까지 중3 1학기 전 범위입니다. 이 시험의 가장 큰 특징은 19문항밖에 안 되는데 아홉 개 단원을 전부 훑었다는 점입니다. 문항 수가 적으니 한 단원에 한두 문항씩만 배정됐고, 그래서 버릴 단원이 하나도 없습니다.

핵심 요약

• 19문항 — 116번 선택형, 1719번은 답을 직접 쓰는 서술형
• 난이도: 하 3 / 중 9 / 중상 5 / 상 2
• 대단원 비중: 제곱근과 실수 8문항(42%) / 인수분해·이차방정식 6문항 / 이차함수 5문항
• 상 난이도 2문항 — 13번(이차방정식의 활용; 삼각형과 사각형), 16번(이차함수의 그래프의 활용)
• 서술형 3문항이 17번 제곱근·18번 이차방정식·19번 이차함수로 대단원별 한 문항씩

내손중 중3 1학기 기말은 어떤 시험인가

내손중학교는 경기 의왕시에 있는 중학교입니다. 2025학년 3학년 1학기 기말고사 수학은 총 19문항입니다. 정답 기록을 보면 1~16번은 선택형, 17·18·19번은 답과 풀이를 직접 쓰는 형태입니다.

문항 수가 19개로 적은 편입니다. 그런데 배치 단원을 세어 보면 아홉 개 단원이 나옵니다. 즉 단원당 평균 두 문항꼴입니다. 이런 구성에서는 특정 단원을 집중 공략하는 전략이 통하지 않습니다. 얕고 넓게, 대신 빠짐없이 준비해야 하는 시험입니다.

또 하나 눈에 띄는 건 배치 순서가 단원 순서를 따르지 않는다는 점입니다. 1번은 제곱근, 2번은 근호를 포함한 식의 곱셈, 3번은 다시 제곱근, 4번은 갑자기 이차방정식으로 건너뜁니다. 앞에서부터 순서대로 풀면 단원이 계속 바뀌므로, 처음 한 번 훑어보고 자신 있는 문항부터 잡는 편이 낫습니다.

2025학년 난이도 분포 — 상 2문항, 중상 5문항

하 난이도 세 문항이 1·2·3번에 나란히 붙어 있습니다. √(a²)의 성질, 분모의 유리화, 제곱근의 이해입니다. 셋 다 개념 확인 수준이라 초반 3분 안에 정리하고 넘어가야 뒤가 편합니다.

문제는 4번부터 갑자기 난이도가 올라간다는 점입니다. 4번 이차방정식(완전제곱식 이용), 5번 제곱근의 덧셈과 뺄셈으로 중 난이도가 이어지다가 9번에서 첫 중상이 나옵니다.

상 난이도는 13번과 16번 둘뿐입니다. 둘 다 “활용”이 붙은 문항입니다. 13번은 이차방정식의 활용(삼각형과 사각형), 16번은 이차함수의 그래프의 활용입니다. 활용 유형에서만 상이 나왔다는 것이 이 시험의 성격을 정확히 보여줍니다.

출제 단원 — 제곱근과 실수가 8문항으로 최다

대단원으로 묶으면 그림이 훨씬 선명해집니다.

**제곱근과 실수가 여덟 문항으로 전체의 42%**입니다. 중3 1학기 첫 단원인데 기말고사에서 가장 큰 비중을 차지했습니다. 중간고사 때 이미 봤다고 넘기면 여덟 문항을 통째로 흔들리게 됩니다.

반대로 이차함수는 다섯 문항뿐이지만, 그 안에 상 1문항(16번)과 중상 2문항(12·14·15번 중 셋) 이 들어 있습니다. 문항 수는 적어도 점수 손실은 이차함수에서 가장 큽니다.

이 시험을 관통하는 축 — 인수분해와 근의 공식이 계속 돌아온다

문항별 유형 코드를 겹쳐 보면 반복되는 개념이 보입니다.

• 분모의 유리화 — 2·17번
• 완전제곱식을 이용한 이차방정식의 풀이 — 4·18번
• 이차방정식의 근의 공식 — 4·18번
• √(a²b)=a√b를 이용한 제곱근의 덧셈과 뺄셈 — 5·17번
• 이차방정식의 활용; 삼각형과 사각형 — 13·18번
• 인수분해를 이용한 이차방정식의 풀이 — 13·14번
• 이차함수 y=ax²+bx+c의 그래프의 꼭짓점의 좌표와 축의 방정식 — 15·16번

주목할 짝은 4번과 18번입니다. 선택형 4번에서 물었던 완전제곱식 변형과 근의 공식이, 서술형 18번에서 도형 조건으로 세운 이차방정식을 푸는 과정으로 그대로 다시 나옵니다. 4번을 확실히 잡아두면 18번의 절반은 이미 푼 셈입니다.

또 하나는 13번과 14번입니다. 상 난이도 13번에서 쓴 인수분해로 이차방정식 풀기가, 중상 14번의 이차함수 식 구하기 과정에서 다시 필요합니다. 인수분해는 6번·10번의 전용 유형이 아니라 시험 전체에 깔린 도구입니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 제곱근의 뜻과 성질 (1·3·8번) — 3문항

1번 하 √(a²)의 성질 · 제곱근의 성질, 3번 하 제곱근의 이해 · 제곱근 구하기, 8번 중 √(A-x)가 정수 또는 자연수가 되도록 하는 자연수 x의 값 구하기.

1번과 3번은 확보 구간입니다. √(a²)=|a| 라는 한 줄, 그리고 “a의 제곱근”과 “√a”는 다르다는 구분만 정확하면 됩니다.

8번이 이 파트의 고비입니다. √(A-x)가 자연수가 되려면 A-x가 제곱수여야 한다는 조건에서 출발해, x가 자연수라는 범위 안에서 가능한 경우를 세는 유형입니다. 제곱수를 0, 1, 4, 9, 16… 순으로 대입해 표로 정리하는 게 실수를 줄이는 방법입니다.

2. 근호를 포함한 식의 계산 (2·5·9·11·17번) — 5문항

2번 하 분모의 유리화 · a√b 변형, 5번 중 √(a²b)=a√b를 이용한 덧셈과 뺄셈 · 실수의 대소 관계, 9번 중상 근호를 포함한 복잡한 식의 계산 · 곱셈 공식(합의 제곱·차의 제곱), 11번 중 제곱근표에 없는 제곱근의 값 구하기, 17번 중 제곱근의 곱셈과 나눗셈의 도형에의 활용.

9번이 이 시험 앞부분의 관문입니다. 근호가 섞인 식에 곱셈 공식 (a+b)²과 (a-b)² 을 적용해야 하는 복합 계산입니다. 근호를 그대로 두고 전개하는 것과, 먼저 a√b 꼴로 정리하고 전개하는 것 중 어느 쪽이 짧은지 보고 들어가는 판단이 필요합니다.

11번은 제곱근표 응용입니다. 표에 없는 √0.0002 같은 값을 구할 때 √(a×10⁻⁴)=√a×10⁻² 식으로 지수를 분리해 표 안의 값으로 되돌리는 것이 요령입니다. 소수점 자리를 잘못 옮기는 실수가 가장 흔합니다.

3. 다항식의 곱셈과 인수분해 (6·7·10번) — 3문항, 전부 중

6번 두 다항식의 공통인수 구하기 · 인수가 주어진 이차식의 미지수의 값 구하기, 7번 곱셈 공식을 이용한 수의 계산 · 합과 차의 제곱, 10번 인수분해 계수 조건의 경우 세기·특정 · 일차항의 계수가 1인 두 일차식의 곱.

세 문항이 모두 중 난이도로 균일합니다. 어렵지 않지만 셋 다 유형이 달라서 공식 암기만으로는 안 되고 어디에 쓰는지를 알아야 합니다.

7번의 “수의 계산” 은 98×102 같은 숫자를 (100-2)(100+2)로 바꿔 계산하는 유형입니다. 합과 차의 곱은 제곱의 차라는 공식 하나면 끝납니다.

10번은 계수 조건 문제입니다. x²+ax+b가 (x+m)(x+n)으로 인수분해될 때 곱이 b, 합이 a가 되는 정수 짝을 전부 나열하는 게 표준 접근입니다. 빠뜨리는 경우가 생기니 작은 값부터 순서대로 적어야 합니다.

4. 이차방정식 (4·13·18번) — 3문항

4번 중 완전제곱식을 이용한 이차방정식의 풀이 · 근의 공식, 13번 상 이차방정식의 활용; 삼각형과 사각형 · 인수분해를 이용한 풀이 · 중근, 18번 중상 근의 공식 · 완전제곱식 이용 · 삼각형과 사각형 활용 (서술형).

13번이 이 시험의 최고 난도입니다. 도형의 길이나 넓이 조건을 이차방정식으로 옮기고, 인수분해로 푼 뒤 도형이 될 수 없는 근(음수나 조건 위반)을 버리는 세 단계입니다. 답을 두 개 다 쓰면 틀립니다. 길이는 양수여야 한다는 조건 확인이 채점 포인트입니다.

18번은 서술형인데 13번과 같은 뿌리입니다. 정답 기록을 보면 직사각형의 닮음 조건에서 x:1=1:(x-1) 을 세워 x²-x-1=0에 도달하는 구조입니다. 비례식을 방정식으로 바꾸는 첫 줄이 배점의 상당 부분을 차지할 가능성이 큽니다. 근의 공식으로 마무리하되 과정을 빠짐없이 적어야 합니다.

5. 이차함수의 그래프 (12·14·15·16·19번) — 5문항

12번 중상 이차함수의 그래프가 지나지 않는 사분면의 조건 · y=a(x-p)²+q의 그래프, 14번 중상 이차함수의 식 구하기; 꼭짓점과 다른 한 점을 알 때, 15번 중상 y=ax²+bx+c에서 증가·감소하는 범위 · 표준형 변형 · 꼭짓점과 축, 16번 상 이차함수의 그래프의 활용 · 평행이동 · 꼭짓점과 축, 19번 중 y=ax²의 그래프의 성질 · 그래프의 모양 (서술형).

다섯 문항 중 네 문항이 중상 이상입니다. 여기서 점수가 갈립니다.

공통 뼈대는 하나입니다. y=ax²+bx+c를 y=a(x-p)²+q로 고치는 것. 12·15·16번이 전부 이 변형을 거칩니다. 완전제곱식 만들기가 이 시험 이차함수 파트의 열쇠입니다.

12번의 “지나지 않는 사분면” 은 꼭짓점의 위치와 볼록 방향, y절편 부호를 조합해 그래프의 대략적 모양을 그린 뒤 판단하는 유형입니다. 머리로만 하지 말고 좌표축을 그려 놓고 확인하세요.

15번은 증가·감소 범위입니다. 축을 기준으로 좌우가 갈리니 축의 방정식 x=p를 먼저 구하는 것이 전부입니다. 아래로 볼록이면 x>p에서 증가, 위로 볼록이면 x>p에서 감소입니다.

16번이 상 난이도인 이유는 그래프 활용에 평행이동까지 얹혔기 때문입니다. 평행이동한 함수의 식을 다시 세우고, 그 그래프로 만든 도형이나 교점을 다루는 복합형입니다. 평행이동은 x 대신 (x-m), y 대신 (y-n) 이라는 규칙을 기계적으로 적용하는 연습이 필요합니다.

19번은 서술형이지만 난이도가 중입니다. y=3x²와 y=-(1/3)x²의 그래프를 그리고 성질을 비교하는 문항입니다. a의 절댓값이 클수록 폭이 좁다는 것, a의 부호가 볼록 방향을 정한다는 것 두 줄이 채점 기준일 가능성이 큽니다. 그래프를 정확히 그리고 근거를 문장으로 쓰면 됩니다.

서술형 3문항 — 대단원마다 하나씩

17번 중 (제곱근의 곱셈·나눗셈의 도형에의 활용) — 도형의 변의 길이가 근호로 주어질 때 넓이를 구하는 유형입니다. a√b 정리와 분모의 유리화가 같이 쓰입니다.

18번 중상 (이차방정식의 근의 공식) — 직사각형의 닮음에서 이차방정식을 세우고 근의 공식으로 푸는 문항입니다. 세 서술형 중 가장 어렵습니다.

19번 중 (y=ax²의 그래프의 성질) — 그래프를 그리고 성질을 설명하는 문항입니다. 셋 중 가장 확보하기 쉽습니다.

서술형이 제곱근·이차방정식·이차함수에 하나씩 배분되어 있습니다. 어느 한 단원만 서술형 대비를 하면 나머지 두 문항을 놓치게 됩니다.

내손중 중3 1학기 기말 대비 학습 순서

1. √(a²)=|a|와 제곱근의 뜻 — 1·3번 확보 구간.
2. 분모의 유리화와 a√b 변형 — 2·17번의 공통 도구.
3. √(A-x)가 자연수가 될 조건 — 8번 대비. 제곱수 대입 표 만들기.
4. ★ 근호와 곱셈 공식의 결합 계산 — 9번 대비. 이 시험 앞부분 최대 관문.
5. 제곱근표 읽기와 지수 분리 — 11번 대비. 소수점 자리 주의.
6. 곱셈 공식으로 수 계산하기 — 7번 대비.
7. 인수분해 공식과 공통인수 — 6번 대비.
8. 인수분해 계수 조건 경우 세기 — 10번 대비. 작은 값부터 순서대로.
9. 완전제곱식 만들기와 근의 공식 — 4번, 그리고 서술형 18번까지 연결.
10. ★ 이차방정식의 도형 활용 — 13·18번 대비. 근을 버리는 조건 확인이 핵심.
11. y=ax²의 그래프의 성질과 모양 — 19번 대비. 서술형 확보 구간.
12. ★ y=ax²+bx+c를 y=a(x-p)²+q로 변형 — 12·15·16번을 관통하는 최중요 절차.
13. 꼭짓점과 한 점으로 이차함수 식 구하기 — 14번 대비.
14. 증가·감소 범위 판정 — 15번 대비. 축부터 구하기.
15. 이차함수의 평행이동과 그래프 활용 — 16번 대비. 이 시험의 최고 난도.

자주 나오는 질문

내손중 3학년 1학기 기말 수학은 몇 문항인가요?

2025학년 기준 19문항입니다. 1~16번은 선택형, 17·18·19번은 답과 풀이를 직접 쓰는 서술형입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

대단원 기준 제곱근과 실수가 8문항(42%) 으로 가장 많습니다. 배치 단원으로 나누면 제곱근의 뜻과 성질 3문항, 근호를 포함한 식의 곱셈과 나눗셈 3문항, 이차함수의 그래프 (2) 3문항 순입니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도는 13번과 16번 두 문항입니다. 13번은 이차방정식의 도형 활용, 16번은 이차함수의 그래프 활용입니다. 둘 다 “활용” 유형이라는 공통점이 있습니다.

서술형은 어디서 나왔나요?

17·18·19번 세 문항입니다. 17번 제곱근의 도형 활용, 18번 이차방정식의 근의 공식, 19번 이차함수 y=ax²의 그래프 성질로 대단원마다 하나씩 배분됐습니다.

어떤 단원부터 공부해야 하나요?

제곱근과 실수부터입니다. 여덟 문항이 걸려 있고 1·2·3번 확보 구간도 여기에 있습니다. 그다음이 이차함수인데, 문항 수는 다섯 개지만 중상 이상이 네 개라 시간 배분을 넉넉히 잡아야 합니다.

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