성문고 1학년 2학기 중간고사 공통수학2 기출 분석 (2025)

성문고 1학년 2학기 중간 공통수학2는 2025학년 기준 총 25문항입니다. 문항 수가 많은 만큼 범위도 넓게 훑었는데, 그 안에서 한 가지 공식이 일곱 문항에 걸쳐 반복됩니다. 바로 점과 직선 사이의 거리 공식입니다. 25문항 중 7문항이니 세 문항에 하나꼴입니다.

핵심 요약

• 25문항 — 전부 선택형, 서답형 없음
• 난이도: 하 5 / 중 6 / 중상 9 / 상 5
• 상 5문항이 21~25번 마지막 다섯 자리에 연속
• 배치 단원: 03 원의 방정식 8 / 01 평면좌표 5 / 04 도형의 이동 4 / 02 직선의 방정식 3 / 06 집합의 연산 3 / 05 집합의 뜻과 표현 2
• 점과 직선 사이의 거리 7회(2·10·16·20·22·23·24번) — 이 시험의 단일 최다 개념

성문고 고1 2학기 중간은 어떤 시험인가

성문고등학교는 경기 안양시에 있는 고등학교입니다. 2025학년 1학년 2학기 중간고사 공통수학2는 총 25문항이고, 정답 기록상 25문항 전부 선택형입니다. 서술형·단답형이 없어 부분 점수가 없습니다.

문항이 25개면 시간이 빡빡합니다. 그래서 배치가 더 중요한데, 성문고 시험은 난이도가 앞에서 뒤로 계단식으로 올라가는 형태입니다. 1~5번이 하, 그다음 중과 중상이 섞이다가, 21~25번 마지막 다섯 문항이 전부 상입니다.

앞의 다섯 문항은 각 단원의 기본 확인용입니다. 평면좌표(내분점), 직선(거리 공식), 원(일반형 정리), 집합의 연산(n(A∪B)), 집합의 뜻(∈, ⊂)에서 하나씩 뽑혔습니다. 여섯 단원 전체를 훑고 시작하는 구성입니다.

2025학년 난이도 분포 — 상 5문항이 뒤에 몰려 있다

상 다섯 문항이 마지막 다섯 자리에 연속입니다. 그리고 그중 21·22·24번 세 문항이 원의 방정식, 23번이 평면좌표, 25번이 집합의 연산입니다.

7번이 중 구간에 끼어 있는 유일한 중상이라는 점도 눈여겨보세요. 앞쪽에서 시간을 뺏길 수 있는 자리입니다. 정점을 지나는 직선의 활용 문항이라, 유형을 모르면 한참을 헤맵니다.

25문항에 시험 시간이 정해져 있으니, 1~11번 열한 문항을 얼마나 빨리 정리하느냐가 뒤쪽 열네 문항의 여유를 결정합니다.

출제 단원 — 원의 방정식 8문항, 집합 5문항

대단원으로 묶으면 도형의 방정식 20문항(80%), 집합 5문항(20%) 입니다.

원의 방정식 8문항 중 상이 세 문항(21·22·24번) 입니다. 난이도 밀도가 압도적으로 높습니다. 원을 준비하지 않으면 뒤쪽을 통째로 잃습니다.

평면좌표가 5문항으로 두 번째입니다. 내분점(1번), 각의 이등분선(10번), 내분점의 활용(16번), 두 점 사이의 거리(18번), 무게중심(23번, 상)까지 고르게 나왔습니다.

집합은 5문항인데 25번이 상 난이도입니다. 유한집합의 원소의 개수의 최댓값·최솟값을 묻는 문항으로, 마지막 자리에 배치된 만큼 난이도가 높습니다. 집합을 마지막에 대충 보고 들어가면 이 문항은 못 잡습니다.

시그니처 공식 — “점과 직선 사이의 거리” 7회

이 시험을 하나의 공식으로 요약할 수 있습니다. 점 (x₁, y₁)에서 직선 ax+by+c=0까지의 거리 |ax₁+by₁+c| / √(a²+b²) 입니다.

2·10·16·20·22·23·24번 일곱 문항에서 쓰였습니다. 25문항 중 7문항, 그리고 상 다섯 문항 중 세 문항(22·23·24번) 이 여기 포함됩니다.

이 공식이 얼굴을 바꿔 나오는 방식은 네 가지입니다.

• 거리 자체를 직접 계산 — 2번(하 난이도 확인용)
• 각의 이등분선 — 10·21번. 이등분선 위의 점에서 두 변까지 거리가 같다는 성질입니다.
• 원과 직선의 위치 관계 — 20·22·24번. 중심에서 직선까지 거리 d와 반지름 r의 비교입니다.
• 삼각형의 높이 — 16·23번. 밑변을 직선으로 잡고 높이를 거리로 계산합니다.

“원과 직선이 접할 때”가 20·21·22·24번 네 문항에서 쓰였다는 것도 같은 얘기입니다. 접한다는 것은 d = r이라는 한 줄이고, 그 d를 구하는 도구가 거리 공식입니다.

여기에 중심이 직선 위에 있는 원의 방정식이 17·20·21번 세 문항에서 반복됩니다. 중심을 (t, 직선식) 꼴 한 문자로 두는 것이 세 문항의 공통 첫 단계입니다.

결론은 명확합니다. 거리 공식과 “중심을 한 문자로 두기” 두 가지를 손에 익히면, 이 시험의 상 문항 다섯 개 중 네 개가 열립니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 기본 확인 5문항 (1~5번) — 전부 하 난이도

1번 선분의 내분점, 2번 점과 직선 사이의 거리, 3번 일반형 원의 방정식에서 중심과 반지름 · 원이 되기 위한 조건, 4번 유한집합의 원소의 개수; n(A∪B) 공식, 5번 기호 ∈, ⊂의 사용.

다섯 문항 모두 공식 한 줄입니다. 25문항짜리 시험이니 여기서 5분을 넘기면 안 됩니다.

5번의 ∈와 ⊂ 구분은 원소와 집합의 관계인지, 집합과 집합의 관계인지를 보는 것입니다. 공집합과 원소가 집합인 경우가 함정으로 자주 쓰입니다.

2. 원의 방정식 (3·6·11·17·20·21·22·24번) — 8문항

3번 하 일반형에서 중심·반지름, 6번 중 세 점을 지나는 원의 방정식, 11번 중 원과 직선이 서로 다른 두 점에서 만날 때, 17번 중상 x축·y축에 동시에 접하는 원 · 중심이 직선 위에 있는 원 · 일반형 정리, 20번 중상 원과 직선이 접할 때 · 점과 직선 사이의 거리 · 중심이 직선 위에 있는 원, 21번 상 중심이 직선 위에 있는 원 · 각의 이등분선의 성질 · 원과 직선이 접할 때, 22번 상 원과 직선이 접할 때 · 점과 직선 사이의 거리 · 거리의 최댓값, 24번 상 접선의 길이 · 원과 직선이 접할 때 · 점과 직선 사이의 거리.

8문항 중 상이 셋, 중상이 둘입니다. 이 시험의 승부처입니다.

6번의 세 점을 지나는 원은 일반형 x²+y²+Ax+By+C=0에 세 점을 대입해 연립합니다. 계산이 길어 실수가 나기 쉬우니, 두 식끼리 빼서 차수를 낮추는 정리를 권합니다.

11번과 20·22·24번은 모두 d와 r의 비교입니다. 11번은 두 점에서 만날 조건(d<r), 나머지는 접할 조건(d=r)입니다. 판정식은 하나뿐이니, 각 문항에서 d를 어떻게 표현하느냐만 다릅니다.

17번·20번·21번의 “중심이 직선 위에 있는 원” 은 중심을 (t, mt+n) 같은 한 문자 꼴로 두는 것이 출발점입니다. 여기에 접할 조건이나 축에 접할 조건을 얹어 t를 구합니다. 세 문항이 같은 뼈대를 공유하니 한 번 익히면 세 번 씁니다.

24번의 “접선의 길이” 는 원 밖의 점 P에서 원에 그은 접선의 접점까지 길이입니다. √(PO² - r²) 로 계산됩니다. 여기서 PO는 P와 중심 사이의 거리입니다. 공식을 알면 한 줄, 모르면 손을 못 댑니다.

3. 평면좌표 (1·10·16·18·23번) — 5문항

1번 하 선분의 내분점, 10번 중 각의 이등분선의 성질 · 점과 직선 사이의 거리, 16번 중상 선분의 내분점의 활용 · 거리 공식 · 두 점 사이의 거리, 18번 중상 두 점 사이의 거리 · 두 직선의 평행과 수직 · 평행사변형과 마름모의 성질, 23번 상 삼각형의 무게중심 · 두 직선의 평행과 수직 · 점과 직선 사이의 거리.

10번과 21번이 각의 이등분선으로 묶입니다. 이등분선 위의 점에서 두 변까지의 거리가 같다는 성질을 절댓값 식 두 개로 놓고 푸는 형태입니다. 절댓값을 벗길 때 부호 경우를 나누는 것이 실수 지점입니다.

18번의 평행사변형과 마름모는 좌표로 성질을 확인하는 유형입니다. 두 대각선이 서로를 이등분하면 평행사변형, 여기에 대각선이 수직이면 마름모입니다. 중점 조건과 기울기 조건 두 가지로 판정합니다.

23번은 이 시험 평면좌표 파트의 상 문항입니다. 무게중심으로 좌표를 잡고, 수직 조건으로 직선을 세우고, 거리 공식으로 마무리하는 3단 구조입니다.

4. 도형의 이동 (13·14·15·19번) — 4문항

13번 중상 도형의 평행이동(원) · 도형의 대칭이동(원) · 현의 길이, 14번 중상 도형의 평행이동(포물선) · 직선 · 평행한 두 직선 사이의 거리, 15번 중 점의 대칭이동 · 삼각형의 넓이, 19번 중상 대칭이동을 이용한 거리의 최솟값 · 점의 대칭이동.

네 문항 중 셋이 중상입니다. 평행이동·대칭이동 규칙만 묻는 기본 문항이 15번 하나뿐이라, 단원 자체가 응용 위주로 나왔습니다.

13번은 원을 두 번 움직입니다. 평행이동한 뒤 대칭이동하거나 그 반대인데, 순서에 따라 결과가 달라지니 문제 조건의 순서를 그대로 따라가야 합니다. 마지막에 현의 길이까지 구합니다.

19번의 최단 거리는 유형 암기입니다. 직선 위의 한 점을 거쳐 두 점을 잇는 최단 경로는, 한 점을 그 직선에 대해 대칭이동한 뒤 두 점을 직선으로 이은 길이입니다.

5. 직선의 방정식 (2·7·9번) — 3문항

2번 하 점과 직선 사이의 거리, 7번 중상 정점을 지나는 직선의 활용 · 정점을 지나는 직선, 9번 중 두 직선의 교점을 지나는 직선 · 수직·평행 조건이 주어진 직선 · 두 직선의 평행과 수직.

7번이 앞쪽에 놓인 유일한 중상입니다. (직선1)+k(직선2)=0 꼴을 k에 대한 항등식으로 정리해 정점을 찾는 것이 첫 단계입니다. 유형을 모르면 k를 하나씩 대입해 보다가 시간을 버립니다.

9번은 두 직선의 교점을 지나면서 특정 직선과 수직인 직선을 찾는 표준형입니다. 교점을 구한 뒤 기울기를 정하는 순서로 풀면 됩니다.

6. 집합 (4·5·8·12·25번) — 5문항

4번 하 n(A∪B) 공식, 5번 하 기호 ∈, ⊂의 사용, 8번 중 배수와 약수의 집합의 연산 · n(A)의 계산, 12번 중상 여러 가지 부분집합의 개수 · 특정 원소를 갖거나 갖지 않는 부분집합 · 조건을 만족시키는 집합의 개수, 25번 상 유한집합의 원소의 개수의 활용; 최댓값과 최솟값 · 원소의 개수의 활용 · 최댓값과 최솟값.

25번이 이 시험의 마지막 문항이자 집합 단원의 상 문항입니다. n(A∩B)의 최댓값과 최솟값을 묻는 유형인데, n(A∪B)≤n(전체) 와 n(A∩B)≥n(A)+n(B)-n(전체) 두 부등식으로 범위를 잡습니다. 벤 다이어그램을 그려 극단적인 두 경우를 직접 만들어 보는 것이 이해에 빠릅니다.

8번의 배수와 약수의 집합은 Aₙ을 n의 배수의 집합이라 할 때 Aₘ∩Aₙ = A(최소공배수), Aₘ⊂Aₙ이면 n이 m의 약수라는 두 규칙이 핵심입니다.

12번은 부분집합 개수의 종합입니다. 원소 n개일 때 2ⁿ, 특정 원소 k개를 포함하거나 제외하면 2ⁿ⁻ᵏ입니다. 조건이 여러 개 붙어 중상이 됐습니다.

주의 문항 — 중상 이상 14문항

7번 중상 (정점을 지나는 직선의 활용) — 앞쪽에 있어 시간을 뺏기기 쉽습니다.

12번 중상 (여러 가지 부분집합의 개수) — 조건을 개수로 번역해야 합니다.

13번 중상 (원의 평행이동·대칭이동·현의 길이) — 이동 순서를 지켜야 합니다.

14번 중상 (포물선의 평행이동) — 부호 실수가 잦습니다.

16번 중상 (내분점의 활용) — 내분점이 다른 조건에 물려 있습니다.

17번 중상 (중심이 직선 위에 있는 원) — 중심을 한 문자로 두는 것이 출발점입니다.

18번 중상 (평행사변형과 마름모의 성질) — 중점 조건과 수직 조건 두 가지가 필요합니다.

19번 중상 (대칭이동을 이용한 최소 거리) — 유형 암기가 곧 점수입니다.

20번 중상 (원과 직선이 접할 때) — d=r 조건 정리가 관건입니다.

21번 상 (중심이 직선 위 · 각의 이등분선) — 조건이 세 겹입니다.

22번 상 (접할 조건 · 거리의 최댓값) — 기하적 해석이 필요합니다.

23번 상 (무게중심 · 수직 · 거리) — 3단 구조입니다.

24번 상 (접선의 길이) — √(PO²-r²) 공식을 알아야 합니다.

25번 상 (원소의 개수의 최댓값·최솟값) — 마지막 문항이라 시간에 쫓기기 쉽습니다.

12번 이후 열네 문항 중 열세 문항이 중상 이상입니다. 15번(중)만 예외입니다.

성문고 고1 2학기 중간 대비 학습 순서

1. 선분의 내분점 공식 — 1·16번의 재료. 확보 구간.
2. ★ 점과 직선 사이의 거리 공식 — 2번부터 24번까지 일곱 문항을 관통합니다. 최우선.
3. 원의 일반형 → 표준형과 원이 되기 위한 조건 — 3·17번 대비.
4. n(A∪B) 공식과 ∈, ⊂ 구분 — 4·5번 대비. 확보 구간.
5. 세 점을 지나는 원의 방정식 — 6번 대비. 일반형 대입 연립.
6. ★ 중심에서 직선까지의 거리 d와 반지름 r 비교 — 11·20·22·24번 대비. 접함은 d=r.
7. ★ 중심이 직선 위에 있는 원 (중심을 한 문자로) — 17·20·21번 대비. 세 문항이 같은 뼈대입니다.
8. x축·y축에 동시에 접하는 원 — 17번 대비. 중심 (a, ±a).
9. 접선의 길이 √(PO²-r²) — 24번 대비. 공식 하나로 끝납니다.
10. 각의 이등분선과 거리의 등식 — 10·21번 대비. 절댓값 부호 경우 나누기.
11. ★ 정점을 지나는 직선 — 7번 대비. k에 대한 항등식.
12. 두 직선의 교점을 지나는 직선 — 9번 대비.
13. 배수와 약수의 집합 — 8번 대비. 최소공배수·약수 관계.
14. 부분집합의 개수 세기 — 12번 대비.
15. ★ n(A∩B)의 최댓값·최솟값 — 25번 상 대비. 벤 다이어그램으로 극단 경우 만들기.
16. 평행이동·대칭이동 규칙과 순서 — 13·14·15번 대비.
17. 평행한 두 직선 사이의 거리 — 14번 대비.
18. ★ 대칭이동을 이용한 최단 거리 — 19번 대비.
19. 평행사변형·마름모의 좌표 판정 — 18번 대비. 중점과 기울기.
20. 무게중심과 넓이·거리의 결합 — 23번 상 대비.

자주 나오는 질문

성문고 1학년 2학기 중간 공통수학2는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 25문항이고, 전부 선택형입니다. 서답형·서술형 문항은 없습니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 원의 방정식이 8문항으로 가장 많습니다. 이어서 평면좌표 5문항, 도형의 이동 4문항, 직선의 방정식·집합의 연산이 각 3문항, 집합의 뜻과 표현 2문항입니다.

어떤 공식을 제일 먼저 외워야 하나요?

점과 직선 사이의 거리 공식입니다. 25문항 중 일곱 문항(2·10·16·20·22·23·24번)에서 쓰였고, 상 다섯 문항 중 셋이 여기에 포함됩니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도가 다섯 문항(21·22·23·24·25번) 이고, 마지막 다섯 자리에 연속으로 배치돼 있습니다. 21·22·24번이 원의 방정식, 23번이 평면좌표, 25번이 집합의 연산입니다.

집합은 가볍게 봐도 되나요?

아닙니다. 집합 5문항 중 25번이 상 난이도입니다. 유한집합 원소의 개수의 최댓값·최솟값을 묻는 문항이라, 공식만 외워서는 풀리지 않습니다.

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