함월고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년, 울산 중구)
함월고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 21문항입니다. 이 시험의 특징은 상 난이도가 없고 중상도 19번 하나뿐이라는 점, 그리고 도함수의 활용 (3) · 정적분 · 정적분의 활용이 각 5문항으로 고르게 나뉘어 있다는 점입니다. 부정적분으로 배치된 문항은 한 문항도 없습니다.
핵심 요약
- 21문항 — 1
15번은 선택형, 1621번은 답을 직접 쓰는 형태- 난이도: 하 9 / 중 11 / 중상 1 / 상 0
- 배치 단원: 06 도함수의 활용 (3) 5 / 08 정적분 5 / 09 정적분의 활용 5 / 05 도함수의 활용 (2) 3 / 04 도함수의 활용 (1) 2 / 03 미분계수와 도함수 1
- 반복 축: 정적분을 포함한 등식 3문항(9·13·18번), 부등식이 항상 성립할 조건 2문항(16·17번), 움직인 거리 2문항(15·20번)
- 가장 까다로운 문항: 19번 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 (중상, 서답형)
함월고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가
함월고등학교는 울산 중구에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 21문항입니다. 정답 기록을 보면 115번은 선택형, 1621번 여섯 문항은 답을 직접 쓰는 형태입니다.
배치 단원은 미분계수와 도함수부터 정적분의 활용까지 넓게 걸쳐 있습니다. 대단원으로 묶으면 미분(03~06) 11문항, 적분(08·09) 10문항입니다.
두 가지를 짚어 둘 필요가 있습니다. 첫째, 10번은 미분계수를 이용한 미정계수 결정으로 1학기 단원 개념입니다. 둘째, 부정적분은 배치 단원으로 0문항입니다. 부정적분 계산은 정적분 문항 안에서 도구로만 쓰였습니다.
2025학년 난이도 분포 — 중 11문항, 중상 1문항
| 난이도 | 문항 수 | 비중 | 문항 번호 |
|---|---|---|---|
| 하 | 9 | 43% | 1·2·3·4·6·7·8·11·15 |
| 중 | 11 | 52% | 5·9·10·12·13·14·16·17·18·20·21 |
| 중상 | 1 | 5% | 19 |
| 상 | 0 | 0% | — |
하와 중이 20문항입니다. 어려운 한 문항보다 중 난이도 11문항의 정확도가 점수를 결정합니다.
선택형 115번에 하 9문항이 모두 있습니다. 서답형 1621번 여섯 문항은 19번(중상)을 빼면 전부 중입니다. 서답형은 풀이 과정이 함께 평가되니, 중 난이도라도 식을 깔끔하게 쓰는 연습이 필요합니다.
출제 단원 — 세 단원이 5문항씩
| 배치 단원 | 문항 수 | 문항 번호 |
|---|---|---|
| 06 도함수의 활용 (3) | 5 | 4·8·16·17·19 |
| 08 정적분 | 5 | 6·7·9·13·18 |
| 09 정적분의 활용 | 5 | 12·14·15·20·21 |
| 05 도함수의 활용 (2) | 3 | 2·3·5 |
| 04 도함수의 활용 (1) | 2 | 1·11 |
| 03 미분계수와 도함수 | 1 | 10 |
도함수의 활용 (3) · 정적분 · 정적분의 활용이 5문항씩, 합쳐서 15문항입니다. 시험의 중심이 이 세 단원입니다.
도함수의 활용 (3) 5문항 중 3문항(16·17·19번)이 서답형입니다. 부등식과 방정식의 실근을 서술해야 하는 문항이 몰려 있습니다.
시그니처 — 정적분을 포함한 등식 3문항
이 시험에서 가장 많이 반복된 유형은 정적분을 포함한 등식입니다.
- 9번 중 아래끝 또는 위끝에 변수가 있는 경우
- 13번 중 아래끝 또는 위끝과 피적분함수에 변수가 있는 경우
- 18번 중 아래끝과 위끝이 상수인 경우 (서답형)
세 문항이 세 가지 경우를 하나씩 다룹니다. 풀이 방향이 다르니 구분이 핵심입니다.
- 끝이 상수이면 그 정적분은 숫자입니다. k로 놓고 대입합니다(18번).
- 끝에 x가 있으면 양변을 x로 미분합니다. 그리고 위끝과 아래끝을 같게 놓아 0이 되는 식을 하나 더 얻습니다(9번).
- 피적분함수에도 x가 있으면 x를 적분 밖으로 꺼낸 뒤 미분합니다. 곱의 미분이 들어갑니다(13번).
빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)
1. 도함수의 활용 (3) (4·8·16·17·19번) — 5문항
4번 하 방정식 f(x)=k의 실근의 부호, 8번 하 위로 던진 물체의 위치와 속도, 16번 중 주어진 구간에서 부등식이 항상 성립할 조건 (서답형), 17번 중 부등식 f(x)>g(x)가 항상 성립할 조건 (서답형), 19번 중상 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 (서답형).
16번과 17번은 둘 다 부등식이 항상 성립할 조건입니다. 16번은 주어진 구간에서의 최솟값, 17번은 h(x)=f(x)−g(x)의 최솟값을 봅니다. 구간이 주어졌는지 아닌지에 따라 끝점을 비교해야 하는지가 달라집니다.
19번은 시험 전체에서 유일한 중상입니다. 극댓값·극솟값을 구한 뒤 y=k와의 교점 개수로 조건을 맞추는 서답형입니다.
8번 위로 던진 물체는 최고 높이에서 속도가 0이라는 점을 씁니다.
2. 정적분의 활용 (12·14·15·20·21번) — 5문항
12번 중 곡선과 x축 사이의 넓이 (그래프 꼴), 14번 중 두 곡선 사이의 넓이의 활용 (이등분), 15번 하 움직인 거리, 20번 중 움직인 거리 (서답형), 21번 중 함수와 역함수의 그래프의 y=x 대칭을 이용한 넓이 (서답형).
15번과 20번이 같은 움직인 거리 유형입니다. 움직인 거리는 ∫|v(t)|dt 이므로 속도의 부호가 바뀌는 시각에서 구간을 나눠야 합니다.
14번 이등분은 둘러싸인 넓이를 반으로 나누는 조건을 묻습니다. 나뉜 두 부분의 넓이가 같다는 식을 세우는 유형입니다.
21번 역함수 넓이는 y=x에 대한 대칭을 이용해 역함수 쪽 넓이를 원래 함수 쪽으로 옮겨 계산합니다.
3. 정적분 (6·7·9·13·18번) — 5문항
6번 하 정적분의 계산 (적분 구간이 같은 경우), 7번 하 미적분의 기본정리의 활용, 그리고 앞에서 본 정적분을 포함한 등식 3문항(9·13·18번).
4. 도함수의 활용 (2) (2·3·5번) — 3문항
2번 하 실수 전체에서 삼차함수가 증가 또는 감소하기 위한 조건, 3번 하 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정, 5번 중 도함수의 그래프의 해석 (응용).
2번은 f’(x)≥0이 항상 성립해야 하므로, 이차식인 도함수의 판별식 D≤0 으로 풉니다.
5. 1학기 단원 (1·10·11번) — 3문항
1번 하 접선과 수직인 직선의 방정식, 11번 하 평균값 정리 (정의를 이용하는 경우), 10번 중 미분계수를 이용한 미정계수의 결정.
수직인 직선의 기울기는 접선 기울기의 음의 역수입니다(1번). 10번은 미분계수 정의와 극한 조건에서 미정계수를 찾는 문항이라 1학기 내용을 다시 꺼내야 합니다.
주의 문항
19번 중상 (방정식 f(x)=k의 실근의 개수) — 유일한 중상, 서답형입니다.
13번 중 (피적분함수에 변수가 있는 정적분 등식) — x를 적분 밖으로 꺼내지 않고 미분하면 틀립니다.
16·17번 중 (부등식이 항상 성립할 조건) — 두 서답형이 비슷해 보이지만 구간 조건이 다릅니다.
20번 중 (움직인 거리) — 위치의 변화량과 혼동하면 0점입니다.
함월고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서
- 접선·수직인 직선, 평균값 정리 — 1·11번 대비.
- 미분계수를 이용한 미정계수 결정 — 10번 대비. 1학기 복습.
- 증가·감소 조건과 판별식 — 2번 대비.
- 극대·극소로 미정계수 결정, 도함수 그래프 해석 — 3·5번 대비.
- 위로 던진 물체, 실근의 부호 — 4·8번 대비.
- ★ 부등식이 항상 성립할 조건 (구간/전체) — 16·17번 대비.
- ★ 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 — 19번 대비.
- 정적분 계산과 미적분의 기본정리 — 6·7번 대비.
- ★ 정적분을 포함한 등식 세 가지 경우 — 9·13·18번 대비.
- 넓이 (x축 사이, 이등분, 역함수) — 12·14·21번 대비.
- ★ 움직인 거리 — 15·20번 대비. 절댓값과 구간 나누기.
자주 나오는 질문
함월고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?
2025학년 기준 21문항입니다. 115번은 선택형, 1621번은 답을 직접 쓰는 형태입니다.
어느 단원이 가장 많이 나오나요?
배치 단원 기준 도함수의 활용 (3) · 정적분 · 정적분의 활용이 각 5문항으로 가장 많습니다. 도함수의 활용 (2) 3문항, 도함수의 활용 (1) 2문항, 미분계수와 도함수 1문항입니다.
부정적분은 안 나오나요?
배치 단원 기준으로 부정적분 문항은 0개입니다. 다만 정적분 계산과 정적분 등식 문항에서 부정적분 계산이 기본 도구로 쓰입니다.
킬러 문항이 있나요?
상 난이도는 없습니다. 가장 어려운 문항은 중상인 19번 하나입니다.
과년도 함월고 기출도 볼 수 있나요?
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