예문여고 2학년 2학기 기말고사 미적분 기출 분석 (2025학년)

예문여고 2학년 2학기 기말 미적분은 2025학년 기준 총 20문항입니다. 이 시험의 특징은 난이도 분포에 그대로 드러납니다. 20문항 중 16문항이 중 난이도이고, 상은 없습니다. 대신 적분 계산을 쉬지 않고 정확하게 이어 가야 하는 시험입니다.

핵심 요약

• 20문항 — 116번 선택형, 1720번 서술형 4문항
• 난이도: 하 1 / 중 16 / 중상 3 / 상 0
• 배치 단원: 09 치환적분법과 부분적분법 6 / 10 정적분의 활용 6 / 07 도함수의 활용 (2) 5 / 06 도함수의 활용 (1) 2 / 08 여러 가지 함수의 적분법 1
• 중상 3문항: 10번(움직인 거리) · 16번(함수의 그래프의 성질) · 20번(정적분으로 정의된 함수의 최대·최소, 서술형)
• 9·19번은 앞 단원(도함수의 활용 (1)) 극값 조건 문항

예문여고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가

예문여자고등학교는 부산광역시 남구에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 미적분은 총 20문항이고, 정답 기록을 보면 116번은 선택형, 1720번은 서술형입니다.

배치 단원으로 세면 적분 13문항, 미분 7문항입니다. 적분 쪽은 치환·부분적분 6문항과 정적분의 활용 6문항이 거의 같은 비중이고, 미분 쪽은 도함수의 활용 (2)가 5문항입니다.

눈여겨볼 점은 9번과 19번이 06 도함수의 활용 (1), 즉 극값을 가질 조건이라는 것입니다. 분석표는 두 문항을 이번 시험 범위 표지보다 앞 단원 내용으로 기록했습니다. 범위표에만 맞춰 공부하면 놓칠 수 있는 문항입니다.

2025학년 난이도 분포 — 중 16문항

중이 80% 입니다. 하 난이도는 4번 한 문항뿐이라 쉬운 문항으로 시간을 버는 구간이 거의 없습니다. 반대로 손도 못 댈 문항도 없습니다. 결국 중 16문항에서 실수를 몇 개 하느냐가 성적을 정합니다.

4번 하는 평면 위를 움직이는 점의 속도를 구해, 삼각함수의 범위에서 속력의 최댓값을 찾는 문항입니다.

출제 단원 — 치환·부분적분과 정적분의 활용이 6문항씩

09단원 6문항 중 3문항이 “정적분을 포함한 등식”이나 “정적분으로 정의된 함수” 입니다(1·5·20번). 적분 기호가 들어 있는 등식을 보고 미분할지, 상수로 놓을지를 바로 판단하는 연습이 필요합니다.

10단원 6문항은 입체도형의 부피(6번), 두 곡선 사이의 넓이(8·12번), 움직인 거리(10번), 급수의 합(15번), 곡선의 길이(18번)로 활용 소단원이 고르게 나왔습니다.

반복 유형 — 두 곡선 사이의 넓이 (8·12번)

같은 유형이 두 번 나온 것은 두 곡선 사이의 넓이 하나입니다.

• 8번 중 — 교점을 구해 적분 영역을 나누고, 넓이 조건으로 세운 방정식에서 조건에 맞는 근을 고릅니다.
• 12번 중 — 주기성을 이용해 절댓값이 있는 삼각함수 적분으로 각 넓이를 구하고, 넓이들의 합에서 앞뒤 항이 지워지는 구조로 극한을 계산합니다.

8번은 넓이 계산 자체, 12번은 넓이를 수열처럼 다루는 응용입니다. 같은 유형이라도 12번이 한 단계 더 나갑니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 정적분을 포함한 등식 (1·5·20번) — 3문항

1번 중 정적분을 포함한 등식(아래끝 또는 위끝에 변수가 있을 때), 5번 중 정적분을 포함한 등식(아래끝과 위끝이 상수일 때), 20번 중상·서술형 정적분으로 정의된 함수의 최대·최소.

• 1번은 역함수의 미분으로 피적분함수를 바꾼 뒤, 로그 정적분과 초기조건으로 함수를 정합니다.
• 5번은 정적분 부분을 상수 하나로 놓고 방정식을 세운 뒤, 치환적분 값을 대입해 상수를 정합니다.
• 20번은 세 개의 극값을 가질 조건을 매개변수로 정리하고, 원시함수의 최솟값 조건으로 적분상수를 확정하는 3단계 서술형입니다.

위끝에 x가 있으면 미분, 위끝·아래끝이 상수면 상수로 놓기. 이 구분이 세 문항의 출발점입니다.

2. 치환적분과 부분적분 (2·14·17번) — 3문항, 전부 중

2번 치환적분법(지수함수), 14번 부분적분법을 이용한 정적분(두 번 이용하는 경우), 17번 서술형 치환적분법(로그함수).

• 2번은 치환으로 함수를 구한 뒤, 합성된 함숫값 조건을 두 단계에 걸쳐 거꾸로 풀어 값을 찾습니다.
• 14번은 부분적분을 두 번 쓰는데, 첫 번째 부분적분에서 양 끝값 항이 0이 되는 구조를 알아보는 것이 핵심입니다.
• 17번은 접선의 기울기를 적분하고, 주어진 점으로 적분상수를 정해 함숫값을 구합니다.

3. 도함수의 활용 (3·4·7·11·16번) — 5문항

3번 중 부등식이 성립하도록 하는 미정계수의 결정(f(x)≥g(x) 꼴), 4번 하 평면 위를 움직이는 점의 속도, 7번 중 직선 위를 움직이는 점의 속도와 가속도, 11번 중 방정식 f(x)=k의 실근의 개수, 16번 중상 함수의 그래프의 성질.

• 3번은 두 함수의 차가 항상 0 이상이 되도록, 차 함수가 최소가 되는 점에서 직선(접선)을 정합니다.
• 7번은 점의 위치 범위에서 기준점과 더 먼 끝점을 찾고, 그 순간의 가속도를 구합니다.
• 11번은 도함수 부호와 극값을 정한 뒤, 실근이 두 개가 되는 k 값들을 모두 더합니다.
• 16번은 극값, 변곡점, 절댓값이 있는 방정식의 실근 수를 차례로 판정해 보기를 고릅니다. 도함수와 이계도함수의 부호표를 둘 다 그려야 풀립니다.

4. 극값을 가질 조건 (9·19번) — 앞 단원 2문항

9번 중 극값을 가질 조건(판별식을 이용하는 경우), 19번 중·서술형 극값을 가질 조건(판별식을 이용하지 않는 경우).

9번은 도함수가 서로 다른 두 양의 근을 가질 조건을 세우고, 판별식과 근의 합·곱 조건을 함께 적용합니다. 19번은 도함수의 부호가 바뀌는 조건을 보이고, 조건을 만족하는 자연수 순서쌍을 하나씩 세는 서술형입니다.

두 문항 모두 2학기 앞부분 단원 내용입니다. 기말 범위 공부를 하면서 극값 조건 문제를 따로 한 번 정리해 두세요.

5. 정적분의 활용 (6·8·10·12·13·15·18번)

6번 중 입체도형의 부피(단면이 밑면과 수직), 8번 중 두 곡선 사이의 넓이, 10번 중상 평면 위에서 점이 움직인 거리, 12번 중 두 곡선 사이의 넓이, 13번 중 삼각함수의 정적분, 15번 중 정적분과 급수의 합 사이의 관계, 18번 중·서술형 곡선의 길이.

• 6번은 단면이 반원인 입체로, 반원의 지름으로 단면적을 세우고 x² 치환과 부분적분으로 부피를 구합니다.
• 10번은 근과 계수의 관계로 두 교점의 중점 좌표를 정하고, 속력의 제곱을 완전제곱으로 정리해 적분합니다.
• 13번은 원주각과 수선을 이용해 거리를 식으로 나타낸 뒤 삼각함수 정적분을 계산하는, 도형과 적분이 결합된 문항입니다. 배치 단원은 08 여러 가지 함수의 적분법입니다.
• 15번은 내분점까지의 거리 차를 좌표로 정리하고, 급수의 합을 정적분으로 바꿉니다.
• 18번은 곡선 길이 공식의 근호 안이 완전제곱으로 정리되는 구조입니다.

주의 문항 — 중상 3문항

10번 중상 (평면 위에서 점이 움직인 거리) — 근과 계수의 관계 · 완전제곱 · 정적분이 이어지는 3단계입니다.

16번 중상 (함수의 그래프의 성질) — 극값 · 변곡점 · 실근 수를 한 문항에서 모두 판정합니다. 보기 하나하나를 따로 확인해야 해서 시간이 걸립니다.

20번 중상·서술형 (정적분으로 정의된 함수의 최대·최소) — 마지막 문항입니다. 극값 조건과 최솟값 조건을 모두 서술해야 하니 과정을 단계별로 나눠 적는 연습이 필요합니다.

예문여고 고2 2학기 기말 미적분 대비 학습 순서

1. 평면 운동의 속도와 속력 — 4번 대비. 유일한 하 문항.
2. ★ 정적분을 포함한 등식 두 가지 처리법 — 1·5번 대비. 미분할지, 상수로 놓을지.
3. 치환적분(지수·로그) — 2·17번 대비.
4. 부분적분 두 번 — 14번 대비. 양 끝값 항 확인.
5. 부등식과 접선, 직선 운동의 가속도 — 3·7번 대비.
6. f(x)=k의 실근 개수 — 11번 대비.
7. ★ 도함수·이계도함수 부호표로 그래프 성질 판정 — 16번 대비.
8. ★ 극값을 가질 조건(판별식, 부호 변화) — 9·19번 대비. 앞 단원 복습.
9. 두 곡선 사이의 넓이와 넓이의 극한 — 8·12번 대비.
10. 입체 부피, 움직인 거리, 곡선의 길이 — 6·10·18번 대비.
11. 급수의 합 → 정적분 — 15번 대비.
12. 정적분으로 정의된 함수의 최대·최소 — 20번 서술형 대비.

자주 나오는 질문

예문여고 2학년 2학기 기말 미적분은 몇 문항인가요?

2025학년 기준 20문항입니다. 116번은 선택형, 1720번은 서술형입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 치환적분법과 부분적분법, 정적분의 활용이 각 6문항입니다. 이어서 도함수의 활용 (2) 5문항, 도함수의 활용 (1) 2문항, 여러 가지 함수의 적분법 1문항입니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도는 없습니다. 가장 어려운 구간은 중상 3문항(10·16·20번)입니다.

범위 밖 문항도 나오나요?

분석표 기준으로 9번과 19번이 앞 단원(도함수의 활용 (1))의 극값을 가질 조건 문항입니다. 기말 범위만 보지 말고 이 유형도 함께 준비하세요.

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