남강고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025)
남강고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 18문항입니다. 06 도함수의 활용 (3)과 09 정적분의 활용이 각 6문항으로 가장 많고, 18문항 중 6문항이 답을 직접 쓰는 형태입니다. 하 난이도는 한 문항도 없습니다.
핵심 요약
- 18문항 — 1
12번 선택형, **1318번 답을 직접 쓰는 형태(6문항)**- 난이도: 하 0 / 중 11 / 중상 6 / 상 1
- 배치 단원: 06 도함수의 활용 (3) 6 / 09 정적분의 활용 6 / 08 정적분 5 / 07 부정적분 1
- 최다 반복 유형: 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 3회(1·4·16번), 곡선과 x축 사이의 넓이 3회(9·10·11번)
- 유일한 상: 16번 실근의 개수(직접 쓰기)
남강고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가
남강고등학교는 서울 관악구에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 18문항입니다. 1~12번은 선택형, 13~18번 여섯 문항은 답을 직접 쓰는 형태로, 전체의 3분의 1이 직접 쓰는 문항입니다.
단원은 도함수의 활용 6문항, 적분 파트 12문항(07 부정적분 1 · 08 정적분 5 · 09 정적분의 활용 6) 입니다. 미분 쪽은 전부 06 도함수의 활용 (3) 이고, 05 도함수의 활용 (2) 단원 문항은 없습니다.
배치는 14번 도함수의 활용 → 515번 적분 → 16·17번 도함수의 활용 → 18번 정적분입니다. 직접 쓰는 문항 중 16·17번이 다시 미분으로 돌아갑니다.
2025학년 난이도 분포 — 하 0문항
| 난이도 | 문항 수 | 비중 | 문항 번호 |
|---|---|---|---|
| 하 | 0 | 0% | — |
| 중 | 11 | 61% | 1·2·3·5·7·8·9·12·13·14·15 |
| 중상 | 6 | 33% | 4·6·10·11·17·18 |
| 상 | 1 | 6% | 16 |
하 난이도가 없습니다. 1번부터 중입니다. 대신 상은 16번 하나뿐이라, 중 11문항을 얼마나 실수 없이 푸느냐가 점수를 결정합니다.
마지막 16·17·18번이 상·중상·중상입니다. 직접 쓰는 문항의 후반 세 개가 가장 어려운 구간이니, 앞쪽 중 문항에서 시간을 아껴 두어야 합니다.
출제 단원 — 도함수의 활용 (3)과 정적분의 활용 각 6문항
| 배치 단원 | 문항 수 | 문항 번호 |
|---|---|---|
| 06 도함수의 활용 (3) | 6 | 1·2·3·4·16·17 |
| 09 정적분의 활용 | 6 | 9·10·11·12·14·15 |
| 08 정적분 | 5 | 5·7·8·13·18 |
| 07 부정적분 | 1 | 6 |
06 도함수의 활용 (3)과 09 정적분의 활용이 6문항씩 공동 1위입니다. 범위 라벨의 “도함수의 활용”과 “정적분의 활용”이 실제로도 가장 큰 두 덩어리입니다.
시그니처 유형 — 실근의 개수 3회, 곡선과 x축 사이 넓이 3회
방정식 f(x)=k의 실근의 개수가 1·4·16번 세 문항입니다. 난이도는 1번 중 → 4번 중상 → 16번 상으로 올라갑니다.
- 1번 중 두 극값 사이에 있는 정수, 수평선
- 4번 중상 짝함수인 사차함수와 수평선, 실근의 수
- 16번 상(직접 쓰기) 사차함수의 네 실근 구간으로 함수 복원
y=f(x)의 그래프와 직선 y=k의 교점 개수로 실근을 센다는 방법이 세 문항 모두의 바탕입니다. 극댓값·극솟값의 위치를 정확히 구하는 것이 첫 단계입니다.
곡선과 x축 사이의 넓이(f(x)≥0 또는 f(x)≤0인 경우)는 9·10·11번 연속 세 문항입니다.
- 9번 중 도함수로 함수를 복원한 뒤 포물선 넓이
- 10번 중상 덧셈 꼴 항등식으로 함수를 복원한 뒤 넓이
- 11번 중상 두 적분 조건으로 복원한 넓이
세 문항 모두 함수를 먼저 구하고 넓이를 계산하는 2단계 구조입니다. 넓이 공식보다 주어진 조건에서 함수를 결정하는 단계가 실제 난도를 만듭니다.
빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)
1. 도함수의 활용 (1·2·3·4·16·17번) — 6문항
1번 중 · 4번 중상 · 16번 상 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 — 위에서 정리한 세 문항. 2번 중 속도·가속도와 운동 방향 — 위치와 속도, 운동 방향 판정. 3번 중 모든 실수에서 부등식이 항상 성립할 조건 — 사차함수의 최솟값으로 부등식 결정. 17번 중상(직접 쓰기) 접선의 개수 — 곡선 밖의 점에서 그은 세 접선 조건.
17번 접선의 개수는 접점을 문자로 놓고 만든 방정식의 서로 다른 실근 개수 조건으로 바뀝니다. 결국 1·4·16번의 실근 개수 문제와 같은 도구를 씁니다.
2. 부정적분 (6번) — 1문항
6번 중상 함수와 부정적분 사이의 관계식이 주어질 때 함수 구하기 — 다항함수와 원시함수 사이의 항등식.
관계식의 양변을 미분해 f(x)에 대한 식으로 바꾸는 것이 출발점입니다.
3. 정적분 (5·7·8·13·18번) — 5문항
5번 중 정적분으로 정의된 함수의 최대·최소 — 적분 구간이 움직이는 함수의 최솟값. 7번 중 정적분을 포함한 등식; 아래끝과 위끝이 상수인 경우 — 상수 적분 관계식 두 개의 연립. 8번 중 정적분의 계산; 구간에 따라 다르게 정의된 함수 — 구간별 적분함수, 보기 판정. 13번 중(직접 쓰기) 정적분을 포함한 등식; 아래끝과 위끝이 상수인 경우 — 구간의 합 성질로 다항함수 결정. 18번 중상(직접 쓰기) 정적분으로 정의된 함수의 최대·최소 — 절댓값, 누적 최대 함수의 적분.
5·18번이 같은 유형(정적분으로 정의된 함수의 최대·최소), 7·13번이 같은 유형(상수 구간 등식)입니다. 선택형에서 한 번, 직접 쓰는 문항에서 한 번씩 나온 짝입니다.
4. 정적분의 활용 (9·10·11·12·14·15번) — 6문항
9·10·11번 곡선과 x축 사이의 넓이 — 위에서 정리한 세 문항. 12번 중 움직인 거리 — 원점으로 다시 돌아올 때까지의 이동 거리. 14번 중(직접 쓰기) 움직인 거리 — 누적 이동 거리로 시각 결정. 15번 중(직접 쓰기) 포물선과 직선 사이의 넓이; 1/6 공식 — 넓이로 계수 결정.
움직인 거리가 12·14번 두 번입니다. 원점으로 돌아온다는 조건은 위치의 변화량이 0이라는 뜻이고, 움직인 거리는 속도의 절댓값을 적분한다는 점을 구분하세요.
15번은 1/6 공식 유형입니다. 포물선과 직선으로 둘러싸인 넓이를 두 교점의 차로 바로 쓰는 공식을 알고 있으면 계산이 짧아집니다.
주의 문항 — 상 1문항, 중상 6문항
16번 상 (실근의 개수, 직접 쓰기) — 네 실근이 놓인 구간으로 사차함수를 복원합니다.
17번 중상 (접선의 개수, 직접 쓰기) — 세 접선 조건을 실근 개수 조건으로 바꿔야 합니다.
18번 중상 (정적분으로 정의된 함수의 최대·최소, 직접 쓰기) — 절댓값 함수의 그래프를 정확히 그리는 것이 먼저입니다.
10·11번 중상 (곡선과 x축 사이의 넓이) — 넓이보다 함수 복원이 핵심입니다.
4·6번 중상 — 각각 짝함수 사차함수의 실근 수, 함수와 원시함수의 항등식입니다.
남강고 고2 2학기 기말 수학Ⅱ 대비 학습 순서
- 속도·가속도와 운동 방향 — 2번 대비.
- 부등식이 항상 성립할 조건 — 3번 대비. 최솟값으로 바꾸기.
- ★ 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 — 1·4·16번 대비. 극값 위치부터.
- 접선의 개수 — 17번 대비. 접점에 대한 방정식의 실근 조건으로.
- 함수와 부정적분의 관계식 — 6번 대비.
- 정적분을 포함한 등식(상수 구간) — 7·13번 대비.
- 구간별 함수의 정적분 — 8번 대비.
- 정적분으로 정의된 함수의 최대·최소 — 5·18번 대비.
- ★ 조건으로 함수를 복원한 뒤 곡선과 x축 사이 넓이 — 9·10·11번 대비.
- 움직인 거리와 위치의 변화량 — 12·14번 대비.
- 포물선과 직선 사이 넓이 1/6 공식 — 15번 대비.
자주 나오는 질문
남강고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?
2025학년 기준 18문항입니다. 112번은 선택형, 1318번 여섯 문항은 답을 직접 쓰는 형태입니다.
어느 단원이 가장 많이 나오나요?
배치 단원 기준 06 도함수의 활용 (3)과 09 정적분의 활용이 각 6문항입니다. 이어서 08 정적분 5문항, 07 부정적분 1문항입니다.
킬러 문항이 있나요?
상 난이도는 16번 한 문항(방정식 f(x)=k의 실근의 개수)입니다. 중상은 6문항이고, 그중 17·18번이 16번과 함께 직접 쓰는 문항 후반부에 있습니다.
쉬운 문항은 몇 개인가요?
하 난이도는 0문항입니다. 1번부터 중 난이도라 기본 유형이라도 계산을 끝까지 정확히 해야 합니다.
과년도 남강고 기출도 볼 수 있나요?
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