서울 동작구 경문고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년)

경문고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 20문항입니다. 경문고 기말의 가장 큰 특징은 상 난이도가 6문항이라는 점입니다. 20문항 중 30%가 상이고, 특히 답을 직접 쓰는 17·19·20번이 모두 상입니다.

핵심 요약

• 20문항 — 정답 기록 기준 114번 선택형, 1520번 답을 직접 쓰는 형태(6문항)
• 난이도: 하 1 / 중 9 / 중상 4 / 상 6
• 배치 단원: 09 정적분의 활용 6 / 06 도함수의 활용 (3) 6 / 08 정적분 4 / 03 미분계수와 도함수 2 / 07 부정적분 1 / 01 함수의 극한 1
• 최다 반복 유형: 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 3회(9·17·19번)
• 도함수의 활용 (1)·(2) 단원 문항은 0개

경문고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가

서울 동작구 경문고등학교의 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 20문항입니다. 정답 기록을 보면 114번은 선택형, 1520번 여섯 문항은 답을 직접 쓰는 형태입니다. 그중 17~20번 네 문항은 (1)·(2) 소문항으로 나뉘어 있습니다.

배치 단원은 함수의 극한부터 정적분의 활용까지 넓게 걸쳐 있습니다. 다만 비중은 한쪽으로 쏠려 있습니다. 정적분의 활용 6문항, 도함수의 활용 (3) 6문항으로 두 단원이 12문항, 시험의 60%입니다.

반대로 도함수의 활용 (1)(접선, 평균값 정리)과 도함수의 활용 (2)(증가·감소, 극대·극소) 단원에서는 한 문항도 배치되지 않았습니다. 미분 파트는 03 미분계수와 도함수 2문항과 06 도함수의 활용 (3) 6문항이 전부입니다.

2025학년 난이도 분포 — 상 6문항

하 난이도는 2번 한 문항뿐입니다. 대신 1~10번 중 8문항이 중으로, 선택형 앞부분은 평이한 편입니다. 8번(중상)을 빼면 1~10번은 하·중으로만 구성되어 있습니다.

고난도는 11번부터 시작됩니다. 11·13·14번이 상, 12번이 중상으로 선택형 마지막 네 문항(11~14번) 중 세 문항이 상입니다. 답을 직접 쓰는 구간도 15번(중)으로 한숨 돌린 뒤 16번 중상, 17번 상, 18번 중상, 19·20번 상으로 이어집니다.

정리하면 110번은 놓치면 안 되는 구간, 1120번은 상 6문항과 중상 3문항이 몰린 구간입니다. 시험 시간을 앞에서 아껴야 하는 구조입니다.

출제 단원 — 정적분의 활용·도함수의 활용 (3) 각 6문항

상 6문항의 단원을 보면 정적분의 활용 2문항(11·20번), 도함수의 활용 (3) 3문항(13·17·19번), 정적분 1문항(14번)입니다. 두 최다 단원이 상 5문항을 가져갔습니다.

적분 파트(07·08·09)를 합치면 11문항, 미분 파트(03·06)는 8문항, 함수의 극한 1문항입니다. 적분 쪽이 조금 더 무겁습니다.

시그니처 유형 — 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 3회

방정식 f(x)=k의 실근의 개수가 9·17·19번 세 문항에서 쓰였습니다.

• 9번 중 수평선과 삼차곡선의 두 교점
• 17번 상 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 미분가능성과 결합
• 19번 상 교점의 개수로 정의된 함수의 연속성과 결합

9번은 단독 유형이고, 17·19번은 다른 유형과 묶인 상 문항입니다. y=f(x)의 그래프와 수평선 y=k의 교점 수로 실근의 개수를 읽는 방법이 세 문항의 공통 바탕입니다. 극댓값·극솟값을 정확히 구하고, 수평선이 극값을 지날 때 교점 수가 어떻게 바뀌는지 그래프로 정리해 두어야 합니다.

여기에 다음 유형이 두 번씩 나왔습니다.

• 두 곡선 사이의 넓이 — 6번(중), 16번(중상)
• 곡선과 x축 사이의 넓이; 그래프 꼴 — 4번(중), 20번(상)
• 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 미분가능성 — 15번(중), 17번(상)

같은 유형이 앞쪽에서는 중, 뒤쪽에서는 중상·상으로 다시 나오는 배치입니다. 앞 번호 문항을 정확히 풀 수 있어야 뒤의 심화 문항에 들어갈 수 있습니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 정적분의 활용 (4·6·8·11·16·20번) — 6문항

4번 중 곡선과 x축 사이의 넓이; 그래프 꼴 · 부호가 바뀌는 포물선의 넓이, 6번 중 두 곡선 사이의 넓이 · 두 곡선의 교점과 부호, 8번 중상 움직인 거리 · 두 점의 상대 위치와 이동 거리, 11번 상 두 곡선 사이의 넓이의 활용; 넓이의 최솟값 · 접선 조각의 넓이 최소화, 16번 중상 두 곡선 사이의 넓이 · 두 넓이 차, 20번 상 곡선과 x축 사이의 넓이; 그래프 꼴 · 넓이와 정적분 절댓값의 일치.

넓이 문항 다섯, 움직인 거리 한 문항입니다. 넓이는 곡선이 x축 위에 있는 구간과 아래에 있는 구간을 나누는 것이 출발점입니다. 4번과 20번이 모두 이 판단에서 시작합니다.

11번은 넓이의 최솟값을 묻는 상 문항입니다. 넓이를 하나의 함수로 놓고 도함수의 부호로 최솟값을 찾는 과정이 필요해, 적분과 미분을 모두 씁니다.

2. 도함수의 활용 (3) (7·9·10·13·17·19번) — 6문항

7번 중 속도·가속도와 운동 방향 · 방향이 바뀌는 시각과 가속도, 9번 중 방정식 f(x)=k의 실근의 개수, 10번 중 부등식 f(x)>g(x)가 항상 성립할 조건 · 전 구간 부등식의 최솟값, 13번 상 두 그래프의 교점의 개수 · 중근 배치와 교점 수·극댓값, 17번 상 미분가능성과 실근의 개수, 19번 상 교점의 개수로 정의된 함수의 연속성과 두 함수의 곱의 연속.

7·9·10번은 중, 13·17·19번은 상으로 단원 안에서 난이도가 확실히 갈립니다.

10번 부등식 문제는 두 함수의 차를 하나의 함수로 놓고 최솟값을 따지는 것이 표준 접근입니다. 13번은 두 그래프의 교점 개수를 묻는 상 문항으로, 중근이 어디에 놓이는지에 따라 경우가 나뉩니다.

19번은 “교점의 개수”를 함숫값으로 하는 함수의 연속성을 다룹니다. 교점 수가 바뀌는 지점이 곧 불연속점이 되므로, 9번에서 연습한 수평선 그래프 해석을 그대로 확장한 문항입니다.

3. 정적분 (2·5·14·18번) — 4문항

2번 하 우함수·기함수의 정적분; 피적분함수가 주어진 경우 · 홀수차항 소거와 대칭 구간 적분, 5번 중 정적분을 포함한 등식; 아래끝 또는 위끝에 변수가 있는 경우 · 적분 항등식의 상수와 미분, 14번 상 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소 · 구간별로 정의된 함수의 적분과 극값 위치, 18번 중상 주기함수의 정적분 · 주기 적분과 함숫값.

2번이 이 시험의 유일한 하입니다. 대칭 구간 [-a, a]에서 홀수차항은 정적분이 0이라는 성질 하나로 끝나는 문항이니 반드시 맞혀야 합니다.

5번은 위끝에 변수가 있는 정적분 등식입니다. 아래끝 값을 대입해 상수를 정하고, 양변을 미분하는 두 단계가 기본입니다.

18번 주기함수의 정적분은 이 시험에서 한 번 나온 유형입니다. 한 주기 구간의 정적분을 기준으로 나머지 구간을 정리하는 연습을 해 두세요.

4. 미분계수와 도함수 (12·15번) — 2문항

12번 중상 항등식이 주어질 때 도함수 구하기 · 미분 항등식의 다항식 계수와 적분, 15번 중 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 미분가능성 · 접합점의 연속과 좌우 미분계수.

15번은 답을 직접 쓰는 첫 문항입니다. 접합점에서 연속 조건과 좌미분계수=우미분계수 조건을 각각 세우면 됩니다. 같은 유형이 17번(상)에도 들어가 있으니 15번에서 절차를 확실히 익혀 두세요.

12번은 항등식에서 다항함수의 차수를 먼저 정하고 계수를 비교하는 문항입니다.

5. 부정적분 (1번)·함수의 극한 (3번) — 각 1문항

1번 중 도함수가 주어질 때 함수 구하기 · 도함수 적분과 초깃값, 3번 중 미정계수의 결정 (응용) · 무리식 극한의 두 계수.

1번은 적분상수를 초깃값으로 정하는 기본 문항입니다. 3번은 이 시험의 유일한 함수의 극한 단원 문항입니다. 극한값이 존재하려면 분자도 0으로 가야 한다는 조건, 그리고 무리식의 유리화가 핵심입니다.

주의 문항 — 상 6문항

11번 상 (넓이의 최솟값) — 선택형 첫 상 문항입니다. 넓이를 함수로 세우고 미분까지 해야 합니다.

13번 상 (두 그래프의 교점의 개수) — 중근의 위치에 따라 경우를 나누는 문항입니다.

14번 상 (정적분으로 정의된 함수의 극대·극소) — 구간별로 정의된 함수를 적분한 뒤 극값을 찾습니다.

17번 상 (미분가능성 + 실근의 개수) — 15번과 9번 유형을 한 문항에 합친 형태입니다.

19번 상 (교점의 개수로 정의된 함수의 연속성) — 실근 개수 유형의 최심화 문항입니다.

20번 상 (곡선과 x축 사이의 넓이) — 4번과 같은 유형이지만 넓이와 정적분의 절댓값 관계를 함께 따져야 합니다.

17~20번은 모두 소문항 (1)·(2)로 나뉜 형태입니다. (1)을 풀면 (2)로 넘어갈 수 있는 구조이므로, 끝까지 못 풀더라도 (1)은 반드시 시도하세요.

경문고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서

1. 우함수·기함수의 정적분 — 2번 대비. 유일한 하 문항.
2. 도함수가 주어질 때 함수 구하기 — 1번 대비. 적분상수와 초깃값.
3. 무리식 극한의 미정계수 — 3번 대비. 한 문항이지만 빼지 말 것.
4. 곡선과 x축 사이의 넓이, 두 곡선 사이의 넓이 — 4·6·16·20번 대비.
5. 위끝에 변수가 있는 정적분 등식 — 5번 대비.
6. 속도·가속도와 운동 방향, 움직인 거리 — 7·8번 대비.
7. ★ 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 — 9·17·19번 대비. 이 시험의 시그니처.
8. 부등식이 항상 성립할 조건 — 10번 대비.
9. ★ 구간별로 정의된 함수의 미분가능성 — 15·17번 대비.
10. 항등식으로 도함수 구하기 — 12번 대비.
11. 두 그래프의 교점의 개수 — 13번 대비.
12. 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소 — 14번 대비.
13. 주기함수의 정적분 — 18번 대비.
14. 넓이의 최솟값 — 11번 대비.
15. 교점의 개수로 정의된 함수의 연속성 — 19번 대비. 마지막 단계.

자주 나오는 질문

경문고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 20문항입니다. 정답 기록 기준 114번은 선택형, 1520번 여섯 문항은 답을 직접 쓰는 형태입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 정적분의 활용과 도함수의 활용 (3)이 각 6문항입니다. 이어서 정적분 4문항, 미분계수와 도함수 2문항, 부정적분·함수의 극한 각 1문항입니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도가 11·13·14·17·19·20번 여섯 문항입니다. 선택형 1114번과 답을 직접 쓰는 1720번에 모여 있습니다.

도함수의 활용 (1)·(2)는 안 나왔나요?

이번 시험지의 배치 단원 기준으로 도함수의 활용 (1)과 (2) 단원 문항은 0개입니다. 극대·극소 개념은 06 단원의 실근 개수·교점 문항 안에서 쓰입니다.

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