계원예술고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년)

계원예술고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 23문항입니다. 배치 단원은 04 도함수의 활용 (1)부터 09 정적분의 활용까지 여섯 단원 전부에 걸쳐 있습니다. 미분 파트 10문항, 적분 파트 13문항으로 적분 쪽이 조금 더 무겁고, 중상 4문항이 20~23번 마지막 네 자리에 몰려 있는 구조입니다.

핵심 요약

• 23문항. 정답 기록 기준 23문항 모두 ①~⑤ 선택형으로 기록
• 난이도: 하 7 / 중 12 / 중상 4 / 상 0
• 배치 단원: 08 정적분 6 / 04 도함수의 활용 (1) 4 / 07 부정적분 4 / 05 도함수의 활용 (2) 3 / 06 도함수의 활용 (3) 3 / 09 정적분의 활용 3
• 최다 반복 유형: 절댓값 기호를 포함한 함수의 정적분 3회(12·13·14번)
• 중상 4문항: 20·21·22·23번, 시험지 맨 끝에 연속 배치

계원예술고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가

계원예술고등학교는 경기 성남시에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 23문항이고, 정답 기록 기준으로는 23문항 모두 ①~⑤ 중 하나로 적혀 있습니다.

배치는 번호 순서와 단원 순서가 대체로 맞아떨어집니다. 1~6번이 미분(도함수의 활용), 7~15번이 적분(부정적분·정적분·넓이) 이고, 16~18번에서 속도·위치 문항으로 미분과 적분을 오간 뒤, 19번 정적분을 거쳐 20~23번 중상 네 문항으로 끝납니다.

눈여겨볼 점은 마지막 네 문항이 다시 단원을 섞는다는 것입니다. 20번과 23번은 04 도함수의 활용 (1)의 접선, 21번은 07 부정적분, 22번은 09 정적분의 활용입니다. 앞에서 단원별로 풀어온 흐름이 끝에서 한 번 더 뒤섞입니다.

2025학년 난이도 분포 — 상 0문항, 중 12문항

상 난이도는 한 문항도 없습니다. 대신 중 난이도가 12문항으로 절반을 넘습니다. 1~19번 안에는 중상이 하나도 없고, 중상은 20번부터 23번까지 연속입니다.

이 배치는 시간 운영에 바로 영향을 줍니다. 앞의 19문항은 하·중으로만 구성돼 있어 막히지 않고 넘어가는 속도가 중요하고, 남은 시간을 마지막 네 문항에 몰아 써야 합니다. 앞쪽 중 난이도에서 한두 문항을 오래 붙잡으면 중상 네 문항을 볼 시간이 그대로 줄어듭니다.

하 7문항은 1·2·7·8·10·16·17번에 흩어져 있습니다. 평균값 정리, 접점이 주어진 접선, 부정적분과 미분의 관계, 도함수로 함수 구하기, 우함수·기함수의 정적분, 위로 던진 물체, 위치의 변화량이 여기에 해당합니다. 반드시 확보해야 할 구간입니다.

출제 단원 — 08 정적분 6문항이 최다

08 정적분이 6문항으로 가장 많고, 나머지 다섯 단원은 34문항씩 나눠 가졌습니다. 범위 라벨은 ‘접선의 방정식속도와 거리’이고, 실제 배치도 04 단원 접선부터 09 단원 위치의 변화량까지 그대로 이어집니다.

대단원으로 묶으면 미분 10문항(43%), 적분 13문항(57%) 입니다. 중상 4문항은 미분 2문항(20·23번), 적분 2문항(21·22번)으로 반반입니다. 어느 한쪽만 대비해서는 마지막 구간을 넘기 어렵습니다.

시그니처 유형 — 절댓값이 들어간 정적분 3연속

이 시험에서 가장 눈에 띄는 구간은 12·13·14번입니다. 세 문항이 모두 정적분의 계산; 절댓값 기호를 포함한 함수이고, 번호까지 연속으로 붙어 있습니다.

같은 유형이지만 세 문항은 나누는 기준이 다릅니다.

• 12번 함수의 부호를 나누어 절댓값 적분을 계산
• 13번 이차식의 영점을 기준으로 절댓값 적분을 나눔
• 14번 두 절댓값의 영점별로 구간을 나누어 적분

공통 뼈대는 절댓값 안이 0이 되는 점을 먼저 찾고, 그 점에서 구간을 쪼갠다는 것입니다. 12번에서 부호 분리, 13번에서 이차식의 두 근, 14번에서 절댓값 두 개로 단계가 하나씩 늘어나는 구성이라, 구간 분할을 손에 익혀 두면 세 문항이 한 번에 열립니다.

여기에 도함수의 그래프를 이용한 함수의 극대·극소가 5·6번에 두 번 나왔습니다. 5번은 도함수의 부호 변화로 원함수의 개형을 고르는 문항, 6번은 도함수의 부호와 영점을 읽어 보기들을 판정하는 문항입니다. 도함수 그래프에서 x축 위·아래를 읽는 연습이 두 문항을 함께 해결합니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 도함수의 활용 (1) — 접선·평균값 정리 (1·2·20·23번) — 4문항

1번 하 평균값 정리; 정의를 이용하는 경우, 2번 하 접선의 방정식; 접점의 좌표가 주어진 경우, 20번 중상 곡선과 직선이 접할 때, 23번 중상 접선과 좌표축으로 둘러싸인 도형의 넓이.

1·2번은 시험지 첫 두 문항입니다. 1번은 평균 기울기와 도함수를 같게 놓아 값을 구하는 문항, 2번은 주어진 접점에서의 미분계수로 접선의 식을 세우는 문항입니다. 공식 대입으로 끝나는 확보 문항입니다.

같은 단원이 마지막에 중상 두 문항으로 다시 나옵니다. 20번은 접선이 수평인 두 후보와 양수 조건으로 계수를 정하는 문항이고, 23번은 두 접선과 축의 교점을 구해 삼각형 넓이를 구하는 문항입니다. 23번은 곱의 미분으로 두 번째 접선을 구하는 과정이 들어가 있어 계산 단계가 깁니다.

2. 도함수의 활용 (2) — 극대·극소 (3·5·6번) — 3문항, 전부 중

3번 함수의 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정, 5번 도함수의 그래프를 이용한 함수의 극대·극소, 6번 같은 유형.

3번은 극값과 도함수가 0이 되는 조건으로 두 계수를 정하는 문항입니다. 연립한 뒤 극대인지 부호로 확인하는 단계까지 챙겨야 합니다. 5·6번은 위에서 말한 도함수 그래프 해석입니다. 도함수가 0인 점이라고 모두 극값은 아니라는 것, 부호가 바뀌어야 극값이라는 구분이 두 문항의 핵심입니다.

3. 도함수의 활용 (3) — 실근의 개수·속도와 위치 (4·16·18번) — 3문항

4번 중 방정식 f(x)=k의 실근의 개수, 16번 하 위로 던진 물체의 위치와 속도, 18번 중 위치의 그래프의 해석.

4번은 극댓값과 극솟값을 비교해 실근의 개수를 정하는 표준 유형입니다. 두 극값을 구하고 y=k가 어디를 지나는지 경계와 비교하면 됩니다.

16번은 시간에 따른 높이가 최대가 되는 순간을 구하는 문항입니다. 속도가 0이 되는 시각을 찾아 대입하는 정형 계산이라 하 난이도입니다. 18번은 위치 그래프의 증감과 축과의 교점을 읽어 운동을 판정합니다. 그래프에서 방향이 바뀌는 지점과, 위치와 속도의 차이를 구분할 수 있어야 합니다.

4. 부정적분 (7·8·9·21번) — 4문항

7번 하 부정적분과 미분의 관계; d/dx∫f(x)dx=f(x), 8번 하 도함수가 주어질 때 함수 구하기, 9번 중 부정적분과 함수의 연속성, 21번 중상 부정적분과 도함수의 정의를 이용하여 함수 구하기.

7·8번은 기본 확인 문항입니다. 8번은 도함수를 적분하고 초기값으로 적분상수를 정하는 한 호흡짜리 계산입니다.

9번은 0이 아닌 점에서 함수를 구한 뒤 연속성을 적용해 나머지 값을 정하는 문항입니다.

21번은 덧셈 꼴 항등식에서 출발해 도함수의 정의로 함수식을 만들고, 초기값을 이용해 적분하는 3단계 문항입니다. 항등식에서 초기값을 먼저 확보하는 것이 출발점입니다.

5. 정적분 (10·11·12·13·14·19번) — 6문항

10번 하 우함수·기함수의 정적분; 피적분함수가 주어진 경우, 11번 중 정적분을 포함한 등식; 아래끝 또는 위끝에 변수가 있는 경우, 12·13·14번 중 정적분의 계산; 절댓값 기호를 포함한 함수, 19번 중 정적분으로 정의된 함수의 극한.

10번은 정적분의 차를 하나로 합친 뒤 홀수 함수 성질을 적용합니다. 대칭 구간에서 홀수 차수 항이 사라진다는 것만 기억하면 됩니다.

11번은 적분 아래끝의 값을 대입해 상수를 정한 뒤 양변을 미분하는 문항입니다. 대입과 미분, 두 동작의 순서를 정확히 지키면 됩니다.

19번은 lim 1/(x-a)∫f(t)dt 꼴의 극한에 분모 인수분해가 결합된 형태입니다. 분모를 먼저 인수분해해 적분 평균 꼴을 만들어야 공식이 적용됩니다.

6. 정적분의 활용 (15·17·22번) — 3문항

15번 중 곡선과 x축 사이의 넓이; f(x)≥0 또는 f(x)≤0인 경우, 17번 하 위치와 위치의 변화량, 22번 중상 함수와 역함수의 그래프의 y=x 대칭을 이용한 넓이.

15번은 곡선의 영점과 부호로 x축 사이의 넓이를 구하는 문항입니다. 17번은 초기 위치에 속도의 정적분을 더해 위치를 구하는 기본 문항입니다.

22번이 이 단원의 고비입니다. 역함수와의 대칭을 이용해 넓이를 바꿔 보고, y=x 위의 교점을 찾아 적분하는 3단계 구성입니다. 대칭으로 넓이를 옮긴다는 발상을 먼저 떠올려야 합니다.

주의 문항 — 중상 4문항

20번 중상 (곡선과 직선이 접할 때) — 접점 후보가 두 개 나오고, 양수 조건으로 하나를 골라야 합니다.

21번 중상 (항등식과 도함수의 정의로 함수 구하기) — 항등식, 도함수의 정의, 적분이 차례로 이어지는 3단계 문항입니다.

22번 중상 (역함수의 대칭을 이용한 넓이) — 수학Ⅱ 넓이 단원에서 낯설게 느낄 수 있는 유형입니다.

23번 중상 (접선과 좌표축으로 둘러싸인 도형의 넓이) — 접선 두 개를 구하고 교점으로 삼각형을 만드는 긴 계산입니다.

네 문항이 모두 3단계 풀이입니다. 각 단계는 앞 단원에서 이미 연습한 기본 동작이지만, 이어 붙이는 순서를 놓치면 중간에서 멈추게 됩니다.

계원예술고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서

1. 평균값 정리와 접선의 방정식 — 1·2번 확보 구간.
2. 극대·극소 조건으로 미정계수 결정 — 3번 대비. 극대인지 부호 확인까지.
3. ★ 도함수 그래프 읽기 — 5·6번 대비. 부호가 바뀌어야 극값.
4. f(x)=k의 실근의 개수 — 4번 대비. 두 극값과 y=k 비교.
5. 위로 던진 물체, 위치 그래프 해석 — 16·18번 대비.
6. 부정적분 기본과 적분상수 결정 — 7·8번 확보 구간.
7. 구간별 적분과 연속성 — 9번 대비.
8. 우함수·기함수의 정적분 — 10번 대비.
9. 정적분을 포함한 등식 — 11번 대비. 대입 먼저, 미분 다음.
10. ★ 절댓값이 들어간 정적분 — 12·13·14번 대비. 이 시험의 시그니처.
11. 정적분으로 정의된 함수의 극한 — 19번 대비. 분모 인수분해 연습.
12. 곡선과 x축 사이의 넓이, 위치의 변화량 — 15·17번 대비.
13. 곡선과 직선이 접하는 조건, 접선으로 만든 삼각형 넓이 — 20·23번 대비.
14. 항등식과 도함수의 정의 — 21번 대비.
15. 역함수 대칭을 이용한 넓이 — 22번 대비.

자주 나오는 질문

계원예술고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 23문항입니다. 정답 기록 기준으로 23문항 모두 ①~⑤ 선택형으로 적혀 있습니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 08 정적분이 6문항으로 가장 많습니다. 04 도함수의 활용 (1)과 07 부정적분이 각 4문항, 나머지 세 단원이 각 3문항입니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도는 없습니다. 가장 어려운 구간은 중상 4문항(20·21·22·23번)이고, 모두 시험지 맨 끝에 연속으로 배치돼 있습니다.

미분과 적분 중 어디에 더 비중을 둬야 하나요?

문항 수는 적분 13문항, 미분 10문항으로 적분이 조금 더 많습니다. 중상은 양쪽에 2문항씩이라 한쪽만 대비하면 마지막 구간에서 막힙니다.

속도와 거리 문항은 몇 개인가요?

16·17·18번 세 문항입니다. 16번 위로 던진 물체, 17번 위치의 변화량은 하 난이도이고, 18번 위치 그래프 해석이 중 난이도입니다.

과년도 계원예술고 기출도 볼 수 있나요?

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