갈매고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년)

갈매고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 20문항입니다. 배치 단원으로 보면 미분 쪽(미분계수·도함수의 활용) 10문항, 적분 쪽(부정적분·정적분·정적분의 활용) 10문항으로 정확히 반반입니다. 난이도는 중 11문항이 중심이고, 상은 17번 한 문항입니다.

핵심 요약

• 20문항 — 정답 기록 기준 1~18번 선택형, 19·20번 서술형 2문항
• 난이도: 하 1 / 중 11 / 중상 7 / 상 1
• 배치 단원: 미분 10(03 미분계수와 도함수 1 / 04 도함수의 활용 (1) 4 / 05 도함수의 활용 (2) 3 / 06 도함수의 활용 (3) 2), 적분 10(07 부정적분 3 / 08 정적분 4 / 09 정적분의 활용 3)
• 고난도 구간: 8·9·10번 세 문항 연속 중상, 상 17번
• 미분 문항과 적분 문항이 번호 순서와 관계없이 섞여 출제

갈매고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가

갈매고등학교는 경기 구리시에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 20문항이고, 정답 기록을 보면 1~18번은 선택형, 19·20번은 서술형입니다.

이 시험은 단원 순서대로 배치되어 있지 않습니다. 1번은 부정적분, 2번은 삼차함수의 증가 조건, 3번은 정적분 등식, 4번은 속도처럼 미분과 적분이 번갈아 나옵니다. 한 문항을 읽을 때마다 미분 문제인지 적분 문제인지부터 확인하는 습관이 필요합니다.

하 난이도는 1번 하나이고, 2~7번은 전부 중입니다. 8번에서 처음 중상이 나와 10번까지 세 문항 연속으로 이어집니다.

2025학년 난이도 분포 — 중 11문항, 상 1문항

중 11문항이 절반 이상입니다. 손도 못 댈 문항은 적지만, 하 난이도가 1문항뿐이라 중 난이도를 하나씩 놓치면 그대로 점수 차가 됩니다.

중상 7문항은 8~10번, 12번, 15번, 18번, 서술형 20번으로 시험 전체에 퍼져 있습니다. 뒤쪽만 어려운 시험이 아니므로 중간에 막히는 문항이 나오면 표시해 두고 넘어가는 운영이 낫습니다.

출제 단원 — 미분 10문항, 적분 10문항

미분 쪽 10문항 중 중상은 9·10·12·18번 네 문항, 적분 쪽 10문항 중 중상 이상은 8·15·17·20번 네 문항입니다. 고난도도 양쪽에 고르게 나뉘었습니다.

미분 쪽에서는 04 도함수의 활용 (1)이 4문항으로 가장 많고, 접선 관련 문항이 5·13·19번 세 개입니다. 적분 쪽에서는 08 정적분이 4문항으로 가장 많습니다. 12번은 03 미분계수와 도함수 단원(미분가능성과 연속성) 문항입니다.

시그니처 — 접선 문항 4개

이 시험에는 접선이 나오는 문항이 네 개 있습니다.

• 5번 중 접선의 방정식; 기울기가 주어진 경우 — 주어진 기울기의 두 접선과 원점 사이 거리 비교
• 13번 중 곡선과 직선이 접할 때 — 평행이동한 삼차곡선과 직선이 접하는 조건
• 14번 중 곡선과 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이 — 접선과 축의 교점을 구하고 넓이 계산
• 19번 중(서술형) 접선과 좌표축으로 둘러싸인 도형의 넓이 — 접선과 두 좌표축 교점의 거리 비

여기에 17번 상(두 곡선 사이의 넓이)도 두 접점 조건에서 출발합니다. 접점의 x좌표를 t로 두고 접선의 방정식을 세우는 기본 절차를 확실히 해 두면 다섯 문항이 한꺼번에 열립니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 부정적분 (1·8·11번) — 3문항

1번 하 부정적분과 미분의 관계(원시함수를 미분해 대입), 8번 중상 부정적분과 극대·극소(도함수 그래프와 두 극값), 11번 중 부정적분과 미분의 관계를 이용하여 함수 구하기(곱의 도함수).

8번은 도함수 그래프에서 두 영점과 부호를 읽고, 극댓값·극솟값 조건으로 계수와 적분상수를 정하는 문항입니다. 11번은 주어진 식이 곱의 미분 꼴이라는 것을 알아보는 것이 출발점입니다.

2. 정적분 (3·6·15·16번) — 4문항

3번 중 정적분을 포함한 등식; 위끝에 변수가 있는 경우, 6번 중 우함수·기함수의 정적분, 15번 중상 방정식 f(x)=k의 실근의 개수와 정적분의 계산, 16번 중 정적분을 포함한 등식; 아래끝과 위끝이 상수인 경우.

3번은 위끝과 아래끝이 같으면 정적분이 0이라는 점으로 계수를 정한 뒤 양변을 미분합니다. 16번은 두 정적분을 각각 상수로 두고 연립방정식을 세웁니다. 15번은 도함수 방정식의 두 실근으로 적분 구간 끝을 정한 뒤 정적분을 계산하는 복합형입니다.

3. 정적분의 활용 (14·17·20번) — 3문항

14번 중 곡선과 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이, 17번 상 곡선과 직선이 접할 때·두 곡선 사이의 넓이, 20번 중상(서술형) 그래프에서의 위치와 움직인 거리.

17번은 서로 다른 두 점에서 접한다는 조건을 중근 두 개(제곱 인수 두 개)로 바꿔 식을 세우는 문항입니다. 실수 조건에 맞지 않는 경우를 걸러낸 뒤 두 곡선 사이 넓이를 적분합니다.

20번은 속도 그래프의 선분을 식으로 나타내고, 구간별 넓이에 부호를 붙여 위치를 구하는 서술형입니다. 위치(부호 있는 넓이)와 움직인 거리(넓이의 합)를 구분하는 것이 핵심입니다.

4. 도함수의 활용 (1) (5·7·13·19번) — 4문항, 전부 중

5·13·19번은 위 접선 묶음이고, 7번은 평균값 정리(도함수의 범위로 함숫값 변화의 범위 정하기)입니다.

5. 도함수의 활용 (2) (2·9·18번) — 3문항

2번 중 실수 전체의 집합에서 삼차함수가 증가하기 위한 조건(도함수의 판별식), 9번 중상 삼차함수가 주어진 구간에서 극값을 가질 조건, 18번 중상 함수의 극대·극소의 활용(사차함수의 극값 위치와 최솟값, 보기 판정).

2번은 도함수가 항상 0 이상이어야 하므로 판별식 D≤0에서 정수 개수를 셉니다. 9번은 극대·극소가 생기는 위치가 주어진 구간에 들어가는 조건을 계수 부호에 따라 나눠 따집니다.

6. 도함수의 활용 (3) (4·10번) — 2문항

4번 중 속도(두 점이 다시 만나는 시각의 속도), 10번 중상 방정식 f(x)=k의 실근의 개수(기함수인 삼차함수의 절댓값 방정식).

7. 미분계수와 도함수 (12번) — 중상

12번 미분가능성과 연속성. 절댓값을 씌운 삼차함수가 미분가능하려면 중근에서는 괜찮고 단순근에서는 꺾인다는 점을 이용해 인수 구조를 정하는 문항입니다.

8. 서술형 (19·20번) — 중 1, 중상 1

19번 중 접선과 좌표축으로 둘러싸인 도형, 20번 중상 속도 그래프와 위치. 두 문항 모두 그래프 위에서 길이·넓이를 식으로 옮기는 과정을 써야 합니다.

주의 문항 — 중상 이상 8문항

8번 중상 (도함수 그래프와 극값), 9번 중상 (구간 극값 조건), 10번 중상 (절댓값 삼차방정식 실근) — 중상 3연속 구간입니다.

12번 중상 (절댓값 함수의 미분가능성) — 중근·단순근 구분이 핵심입니다.

15번 중상 (실근으로 적분 구간 정하기) — 미분과 적분이 한 문항에 들어갑니다.

17번 상 (두 접점과 두 곡선 사이 넓이) — 이 시험의 최고 난도입니다.

18번 중상 (사차함수 극값 보기) — 보기형이라 하나씩 확인해야 합니다.

20번 중상·서술형 (속도 그래프와 위치) — 위치와 거리를 구분합니다.

갈매고 고2 2학기 기말 수학Ⅱ 대비 학습 순서

1. 부정적분과 미분의 관계 — 1·11번 대비.
2. 삼차함수 증가 조건과 판별식 — 2번 대비.
3. 정적분 등식(변수 끝, 상수 끝) — 3·16번 대비.
4. 속도와 위치 — 4번 대비.
5. ★ 접선의 방정식과 접할 조건 — 5·13번 대비.
6. 우함수·기함수 정적분 — 6번 대비.
7. 평균값 정리 — 7번 대비.
8. 도함수 그래프로 극값과 원래 함수 구하기 — 8번 대비.
9. 구간에서 극값을 가질 조건 — 9번 대비.
10. f(x)=k의 실근 개수 — 10·15번 대비.
11. 절댓값 함수의 미분가능성 — 12번 대비.
12. 곡선과 접선으로 둘러싸인 넓이 — 14·19번 대비.
13. ★ 두 점에서 접하는 조건과 두 곡선 사이 넓이 — 17번 대비.
14. 사차함수의 극대·극소 — 18번 대비.
15. 속도 그래프에서 위치와 움직인 거리 — 20번 서술형 대비.

자주 나오는 질문

갈매고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 20문항입니다. 정답 기록 기준 1~18번은 선택형, 19·20번은 서술형입니다.

미분과 적분 중 어느 쪽이 더 많이 나오나요?

배치 단원 기준 미분 쪽 10문항, 적분 쪽 10문항으로 같습니다. 단원별로는 도함수의 활용 (1)과 정적분이 각 4문항으로 가장 많습니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도는 17번 한 문항입니다. 두 점에서 접하는 조건과 두 곡선 사이 넓이를 다룹니다.

어려운 구간은 어디인가요?

8·9·10번이 연속 중상이고, 12·15·18·20번도 중상입니다. 뒤쪽에만 몰려 있지 않고 시험 전체에 퍼져 있습니다.

서술형은 어떤 유형이 나오나요?

19번 접선과 좌표축으로 둘러싸인 도형(중), 20번 속도 그래프와 위치(중상) 두 문항입니다.

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