청학고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년)

청학고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 19문항입니다. 범위는 도함수의 활용부터 정적분의 활용까지이고, 도함수의 활용 (2)·도함수의 활용 (3)·정적분이 각 5문항씩 나왔습니다. 이 시험의 특징은 1~14번에 중상 이상이 한 문항도 없다는 점입니다. 중상 4문항은 모두 15번 이후에 있고, 상 난이도는 없습니다.

핵심 요약

• 19문항 — 정답 기록 기준 116번 선택형, 1719번 서술형 3문항
• 난이도: 하 5 / 중 10 / 중상 4 / 상 0
• 배치 단원: 06 도함수의 활용 (3) 5 / 08 정적분 5 / 05 도함수의 활용 (2) 5 / 09 정적분의 활용 3 / 07 부정적분 1
• 구조: 15번 하, 614번 중, 15번부터 중상
• 중상 4문항: 15번(적분 등식), 16번(두 곡선 사이 넓이), 18번(서술형·삼차방정식의 근), 19번(서술형·움직인 거리)

청학고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가

청학고등학교는 경기 남양주시에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 19문항이고, 정답 기록을 보면 116번은 선택형, 1719번은 서술형입니다.

난이도가 번호 순서대로 올라갑니다. 15번이 하, 614번이 중, 그리고 15·16번 선택형과 18·19번 서술형이 중상입니다. 서술형 17번은 중입니다. 이렇게 순서가 정직한 시험은 앞에서 시간을 아낀 만큼 뒤에서 여유가 생깁니다.

단원을 크게 묶으면 도함수의 활용 (2)·(3) 10문항, 부정적분·정적분·정적분의 활용 9문항입니다. 2학기 기말이지만 미분 쪽이 한 문항 더 많습니다. 도함수의 활용을 1학기 내용으로 여기고 덜 보면 절반 이상을 놓치게 됩니다.

2025학년 난이도 분포 — 중 10문항

하 5문항과 중 10문항을 합치면 15문항, 전체의 79% 입니다. 상 난이도가 없고 중상도 4문항뿐이라, 기본 문항을 놓치지 않는 학생이 점수를 지키는 시험입니다.

반대로 말하면 실수 하나가 크게 작용합니다. 6~14번 중 난이도 아홉 문항이 연달아 나오는 구간에서 계산 실수를 줄이는 것이 핵심입니다.

출제 단원 — 세 단원이 5문항씩

도함수의 활용 (3), 정적분, 도함수의 활용 (2)가 5문항씩 같습니다. 정적분의 활용은 3문항이고, 부정적분은 1번 한 문항뿐입니다.

도함수의 활용 (2) 5문항은 하 1문항(4번), 중 4문항으로 중상이 없습니다. 극값·최대최소·증가 조건은 기본형 위주로 나왔다는 뜻입니다. 중상 4문항은 정적분(15번), 정적분의 활용(16·19번), 도함수의 활용 (3)(18번)에서 나왔습니다.

시그니처 — 운동 문제 3문항

수직선 위의 운동이 세 문항에 나왔습니다.

• 2번 하 속도·가속도와 운동 방향 — 원점에서 운동 방향이 바뀌는 조건
• 14번 중 속도 — 가속도의 최댓값으로 상수를 정한 뒤 속도의 최댓값
• 19번 중상·서술형 움직인 거리 — 두 점의 상대 위치와 운동 방향 전환 시각으로 이동거리 나누기

2번과 14번은 미분(속도·가속도), 19번은 적분(움직인 거리)입니다. 19번 서술형이 운동 문제의 마무리로, 상대 위치를 적분으로 구하고 거리의 증감이 바뀌는 시각, 그리고 한 점이 방향을 바꾸는 시각에서 구간을 나눠 이동거리를 더합니다. 방향이 바뀌는 시각에서 구간을 끊는다는 원칙을 정확히 써야 합니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 확보 구간 (1~5번) — 하 5문항

1번 부정적분과 미분의 관계를 이용하여 함수 구하기, 2번 속도·가속도와 운동 방향, 3번 우함수·기함수의 정적분(피적분함수가 주어진 경우), 4번 도함수의 그래프를 이용한 함수의 극대·극소, 5번 정적분의 계산(피적분함수가 같은 경우).

3번은 대칭 구간에서 홀수차항이 사라진다는 성질로 짝수차항만 적분하는 문항입니다. 4번은 도함수 그래프에서 부호가 바뀌는 점을 읽어 극값 위치를 찾습니다. 5번은 피적분함수가 같을 때 구간을 이어 붙이는 계산입니다.

다섯 문항 모두 한 단계로 끝나는 문항입니다. 여기서 시간을 쓰지 않는 것이 중요합니다.

2. 도함수의 활용 (2) (4·7·9·12·13번) — 5문항

4번 하 도함수의 그래프와 극대·극소, 7번 중 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정, 9번 중 실수 전체에서 삼차함수가 증가하기 위한 조건, 12번 중 함수의 최대·최소, 13번 중 삼차함수가 주어진 구간에서 극값을 가질 조건.

9번은 도함수가 모든 실수에서 0 이상이어야 한다는 조건을 판별식으로 바꾸고, 가능한 정수를 셉니다.

13번은 극소와 극대가 정해진 구간 안에 있어야 하는 조건입니다. 도함수의 두 근이 어느 쪽이 극대이고 어느 쪽이 극소인지 순서를 먼저 정하고, 각 구간 조건을 모두 만족하는 정수를 찾습니다.

12번은 닫힌구간에서 극값과 양 끝값을 비교하는 기본형입니다.

3. 도함수의 활용 (3) (2·10·11·14·18번) — 5문항

2번 하 속도·가속도와 운동 방향, 10번 중 방정식 f(x)=k의 실근의 개수, 11번 중 모든 실수에서 부등식이 항상 성립할 조건, 14번 중 속도, 18번 중상·서술형 삼차방정식의 근의 판별.

10번은 사차함수의 증감을 정리한 뒤 극값 높이와 수평선을 비교해 실근 개수를 판단합니다.

11번은 부등식이 모든 실수에서 성립하려면 최솟값이 조건을 만족해야 한다는 방식으로 정리합니다.

18번 서술형은 극한 조건으로 상수항과 일차 계수를 먼저 정하고, 서로 다른 두 실근을 갖는 조건을 중근 조건으로 바꿔 삼차함수를 결정하는 문항입니다. 답안에는 극한에서 얻은 조건, 중근 조건, 계수 결정을 차례로 적어야 합니다.

4. 정적분 (3·5·8·15·17번) — 5문항

3번 하 우함수·기함수의 정적분, 5번 하 정적분의 계산, 8번 중 주기함수의 정적분, 15번 중상 정적분을 포함한 등식(위끝과 피적분함수에 변수가 있는 경우), 17번 중·서술형 정적분을 포함한 등식(아래끝과 위끝이 상수인 경우).

8번은 한 주기 적분 값을 구한 뒤 완전한 주기가 몇 번 들어가는지를 세는 문항입니다.

15번이 선택형 첫 중상입니다. 피적분함수에 x가 섞여 있어서 바로 미분할 수 없고, 적분을 두 개로 나눈 뒤 미분해야 합니다. 이 과정을 거쳐 함수를 구하고 요구값을 계산합니다.

17번 서술형은 정적분 값을 매개변수에 대한 이차식으로 만든 뒤, 완전제곱식으로 최솟값을 찾는 문항입니다. 난이도는 중이지만 서술형이라 완전제곱 변형 과정을 빠짐없이 써야 합니다.

5. 정적분의 활용 (6·16·19번) — 3문항

6번 중 곡선과 x축 사이의 넓이, 16번 중상 두 곡선 사이의 넓이, 19번 중상·서술형 움직인 거리.

6번은 함수의 영점에서 구간을 나눠 x축 위쪽 넓이와 아래쪽 넓이를 각각 구해 더합니다.

16번은 두 포물선이 만드는 위·아래 영역의 넓이를 다룹니다. 교점을 구하고, 넓이의 차를 매개변수 관계로 정리해 양수 해를 고르는 문항입니다.

주의 문항 — 중상 4문항

15번 중상 (피적분함수에 변수가 있는 적분 등식) — 적분을 나누지 않고 미분하면 틀립니다.

16번 중상 (두 포물선 사이의 넓이) — 교점과 위·아래 관계를 먼저 정리해야 합니다.

18번 중상·서술형 (삼차방정식의 근의 판별) — 극한 조건과 중근 조건을 단계별로 씁니다.

19번 중상·서술형 (움직인 거리) — 방향이 바뀌는 시각에서 구간을 나눕니다.

청학고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서

1. 부정적분, 기본 정적분 계산, 우함수·기함수 정적분 — 1·3·5번 대비. 확보 구간.
2. 도함수의 그래프 읽기 — 4번 대비.
3. ★ 극대·극소, 최대·최소 기본형 — 7·12번 대비.
4. 삼차함수의 증가 조건, 구간에서 극값을 가질 조건 — 9·13번 대비. 판별식과 근의 위치.
5. f(x)=k의 실근 개수, 항상 성립하는 부등식 — 10·11번 대비.
6. ★ 속도·가속도와 운동 방향 — 2·14번 대비.
7. 주기함수의 정적분 — 8번 대비.
8. 곡선과 x축 사이의 넓이 — 6번 대비. 영점에서 나누기.
9. ★ 피적분함수에 변수가 있는 적분 등식 — 15번 대비.
10. 두 곡선 사이의 넓이 — 16번 대비.
11. 정적분을 매개변수 이차식으로 정리 — 17번 대비.
12. 극한 조건과 삼차방정식의 중근 — 18번 대비.
13. ★ 상대 위치와 움직인 거리 서술 — 19번 대비.

자주 나오는 질문

청학고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 19문항입니다. 정답 기록 기준으로 116번은 선택형, 1719번은 서술형입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 도함수의 활용 (3), 정적분, 도함수의 활용 (2)가 각 5문항입니다. 정적분의 활용 3문항, 부정적분 1문항이 이어집니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도는 없습니다. 최고 난도는 중상 4문항(15·16·18·19번)이고, 모두 15번 이후에 있습니다.

쉬운 편인가요?

하 5문항, 중 10문항으로 기본·중간 난도가 79% 입니다. 다만 그만큼 실수 하나가 점수 차로 이어집니다.

서술형은 어떤 내용인가요?

17번(중) 정적분을 포함한 등식, 18번(중상) 삼차방정식의 근의 판별, 19번(중상) 움직인 거리입니다.

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