삼각산고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년)
삼각산고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ(2025학년)는 총 21문항입니다. 선택형 15문항(115번)과 서술형 6문항(1621번)으로 구성됐습니다. 범위는 도함수의 활용부터 정적분의 활용까지이고, 미분 쪽 11문항과 적분 쪽 10문항이 거의 반반입니다. 중 난이도가 13문항으로 시험의 몸통을 이룹니다.
핵심 요약
- 21문항 — 선택형 15(1
15번) + 서술형 6(1621번)- 난이도: 하 4 / 중 13 / 중상 3 / 상 1
- 배치 단원: 06 도함수의 활용 (3) 5 / 08 정적분 5 / 05 도함수의 활용 (2) 4 / 09 정적분의 활용 3 / 07 부정적분 2 / 04 도함수의 활용 (1) 2
- 유일한 상 난이도: 17번 서술형(정적분으로 정의된 함수의 극대·극소)
- 하 난이도 4문항이 1~4번에 연속 배치
삼각산고 고2 2학기 기말 수학Ⅱ는 어떤 시험인가
삼각산고등학교는 서울 강북구에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 21문항이고, 정답 기록을 보면 115번이 선택형, 1621번이 서술형입니다.
배치 단원으로 묶으면 다음과 같습니다.
- 미분(도함수의 활용 04~06) — 11문항
- 적분(부정적분·정적분·정적분의 활용 07~09) — 10문항
선택형 1~15번 안에서는 미분과 적분 문항이 섞여서 나옵니다. 1번이 속도, 2번이 부정적분, 3번이 롤의 정리, 4번이 정적분 계산입니다. 단원 순서가 아니라 난이도 순서에 가깝게 배치돼 있습니다.
2025학년 난이도 분포 — 중 13문항
| 난이도 | 문항 수 | 비중 | 문항 번호 |
|---|---|---|---|
| 하 | 4 | 19% | 1·2·3·4 |
| 중 | 13 | 62% | 5~14·18·19·20 |
| 중상 | 3 | 14% | 15·16·21 |
| 상 | 1 | 5% | 17 |
하 4문항이 1~4번에 모여 있고, 5번부터 14번까지 열 문항이 연속으로 중 난이도입니다. 선택형에서 어려운 문항은 15번 하나(중상) 뿐입니다.
반대로 서술형 6문항 중 3문항이 중상 이상(16·17·21번)입니다. 이 시험의 어려운 문항은 서술형에 몰려 있습니다. 선택형을 빠르게 정리하고 서술형에 시간을 남기는 것이 전략의 핵심입니다.
출제 단원 — 도함수의 활용 (3)과 정적분이 각 5문항
| 배치 단원 | 문항 수 | 문항 번호 |
|---|---|---|
| 06 도함수의 활용 (3) | 5 | 1·14·16·18·21 |
| 08 정적분 | 5 | 4·9·15·17·19 |
| 05 도함수의 활용 (2) | 4 | 6·7·11·12 |
| 09 정적분의 활용 | 3 | 8·13·20 |
| 07 부정적분 | 2 | 2·5 |
| 04 도함수의 활용 (1) | 2 | 3·10 |
도함수의 활용 (3) 은 방정식·부등식·속도 등 미분을 응용하는 단원입니다. 이 단원 5문항 중 3문항이 서술형(16·18·21번)입니다.
정적분 5문항에는 이 시험의 유일한 상(17번)과 선택형 유일한 중상(15번)이 모두 들어 있습니다. 정적분으로 정의된 함수를 다루는 문항이 15·17·9번으로 이어지니, 이 개념을 깊게 준비해야 합니다.
빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)
1. 평균값 정리·롤의 정리 (3·10번) — 2문항
3번 하 롤의 정리, 10번 중 평균값 정리(정의를 이용하는 경우).
3번은 롤의 정리를 만족하는 점을 도함수가 0이 되는 값으로 구하고, 주어진 구간 안에 있는 값을 고르는 기본 문항입니다.
10번은 평균값 정리를 적용한 뒤 삼차식의 차를 인수분해해 양 끝 값의 관계를 정리합니다.
2. 증가·감소와 극값, 최대·최소 (6·7·11·12번) — 4문항, 전부 중
6번 함수의 증가와 감소, 7번 도함수의 그래프의 해석(응용), 11번 함수의 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정, 12번 함수의 최대·최소.
6번은 증가·감소가 바뀌는 경계에서 도함수의 근을 정하고 계수를 비교합니다.
7번은 도함수 그래프의 부호로 증가·감소를 판정하고 보기의 참·거짓을 가립니다. 도함수 그래프와 원래 함수 그래프를 혼동하지 않는 것이 관건입니다.
11번은 극대가 되는 점의 두 조건(함숫값, 도함수 값 0)으로 계수를 정한 뒤 극솟값을 구합니다. 12번은 닫힌구간에서 끝점과 극값을 비교하는 최대·최소 기본 유형입니다.
3. 속도·방정식·부등식 (1·14·16·18·21번) — 5문항
1번 하 속도, 14번 중 삼차방정식의 근의 판별, 16번 중상 서술형 속도·가속도와 운동 방향, 18번 중 서술형 부등식 f(x)>g(x)가 항상 성립할 조건, 21번 중상 서술형 접선의 개수.
1번은 위치를 미분해 속도를 구하고 시각을 대입하는 문항입니다.
14번은 중근을 갖는 조건을 극값 조건으로 해석하는 유형입니다.
16번 서술형은 세 점의 속도를 다항식으로 세운 뒤, 매개변수의 부호에 따라 속도의 부호가 바뀌는 횟수를 따져 정수 최댓값을 구합니다. 경우를 나누는 과정이 답안에 드러나야 합니다.
18번 서술형은 두 함수의 차의 최솟값이 0 이상이라는 조건으로 부등식이 항상 성립할 조건을 구합니다.
21번 서술형은 곡선 밖의 점에서 그을 수 있는 접선이 세 개가 되는 조건을 묻습니다. 접점을 미지수로 놓은 방정식이 서로 다른 세 실근을 가져야 하므로, 결국 극값 사이에 상수가 놓이는 조건으로 바뀝니다. 마지막에 열린구간 안의 정수 개수를 세는 단계까지 있습니다.
4. 부정적분 (2·5번) — 2문항
2번 하 도함수가 주어질 때 함수 구하기, 5번 중 함수와 부정적분 사이의 관계식이 주어질 때 함수 구하기.
2번은 부정적분 후 주어진 함숫값으로 적분상수를 정하는 문항입니다. 5번은 항등식의 양변을 미분해 도함수를 정한 뒤 초기 조건으로 함숫값을 계산합니다.
5. 정적분 (4·9·15·17·19번) — 5문항
4번 하 정적분의 계산(적분 구간이 같은 경우), 9번 중 정적분을 포함한 등식(아래끝 또는 위끝에 변수가 있는 경우), 15번 중상 정적분으로 정의된 함수의 극한, 17번 상 서술형 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소, 19번 중 서술형 정적분을 포함한 등식(아래끝과 위끝이 상수인 경우).
9번은 적분 구간의 시작값을 대입하면 정적분이 0이 된다는 것으로 상수를 정하고, 양변을 미분해 함숫값을 구합니다.
15번은 정적분으로 정의된 함수의 극한입니다. 극한값이 유한하려면 분자가 0이 되어야 한다는 조건에서 관계식을 얻고, 미분계수의 정의로 정적분 값을 구합니다. 세 단계를 이어야 하는 선택형 유일의 중상입니다.
17번 서술형이 이 시험의 최고 난도(상) 입니다. 정적분으로 정의된 함수가 극값을 갖지 않을 조건을 구하는 문항으로, 절댓값이 들어간 일차함수의 중심과 기울기를 정하고 정적분 조건으로 양수 계수를 구한 뒤, 짝수·홀수 성질로 목표 함숫값을 계산합니다. 네 단계가 이어집니다.
19번 서술형은 위끝과 아래끝이 상수인 정적분을 하나의 상수로 놓고 일차방정식을 풀어 함수를 구하는 대표 유형입니다.
6. 정적분의 활용 (8·13·20번) — 3문항, 전부 중
8번 그래프에서의 위치와 움직인 거리, 13번 두 도형의 넓이가 같을 조건, 20번 서술형 곡선과 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이.
8번은 속도 그래프의 부호로 운동 방향을, 넓이로 위치와 거리를 판단합니다. 위치는 부호를 살린 적분, 움직인 거리는 절댓값 적분이라는 차이를 정확히 구별하세요.
13번은 두 영역의 넓이가 같다는 조건을 정적분 식으로 바꿔 매개변수를 구합니다.
20번 서술형은 접선과 축의 교점을 먼저 구하고, 위아래 경계가 바뀌는 지점에서 구간을 나눠 정적분합니다.
주의 문항 — 중상·상 4문항
15번 중상 (정적분으로 정의된 함수의 극한) — 선택형 유일의 중상. 분자 → 0 조건과 미분계수의 정의.
16번 중상 서술형 (속도와 운동 방향) — 매개변수 부호에 따른 경우 나누기.
17번 상 서술형 (정적분으로 정의된 함수의 극대·극소) — 이 시험의 최고 난도.
21번 중상 서술형 (접선의 개수) — 접선 세 개 → 서로 다른 세 실근 → 극값 사이 조건.
삼각산고 고2 2학기 기말 수학Ⅱ 대비 학습 순서
- 롤의 정리·평균값 정리 — 3·10번 대비.
- 증가·감소와 도함수의 근 — 6번 대비.
- 도함수 그래프 읽기 — 7번 대비.
- 극값 조건으로 미정계수 구하기 — 11번 대비.
- 닫힌구간 최대·최소 — 12번 대비.
- 속도·가속도와 운동 방향 — 1·16번 대비.
- 삼차방정식의 근의 판별(중근 조건) — 14번 대비.
- 부등식이 항상 성립할 조건 — 18번 서술형 대비.
- ★ 곡선 밖의 점에서 그은 접선의 개수 — 21번 서술형 대비.
- 부정적분과 적분상수 — 2·5번 대비.
- 정적분을 포함한 등식(변수 끝·상수 끝) — 9·19번 대비.
- ★ 정적분으로 정의된 함수의 극한 — 15번 대비.
- ★ 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소 — 17번 서술형 대비.
- 위치와 움직인 거리, 넓이 — 8·13·20번 대비.
자주 나오는 질문
삼각산고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?
2025학년 기준 21문항입니다. 115번이 선택형, 1621번이 서술형입니다.
미분과 적분 중 어느 쪽이 많이 나왔나요?
배치 단원 기준 미분(도함수의 활용) 11문항, 적분 10문항으로 거의 같습니다.
가장 어려운 문항은 무엇인가요?
17번 서술형(정적분으로 정의된 함수의 극대·극소) 이 유일한 상 난이도입니다. 중상은 15·16·21번입니다.
선택형은 어렵나요?
선택형 15문항 중 하 4, 중 10, 중상 1입니다. 어려운 문항은 서술형에 몰려 있습니다.
과년도 삼각산고 기출도 볼 수 있나요?
내신판은 확보된 원문만 제공합니다. 찾는 시험지가 없으면 내신판에서 요청할 수 있습니다.
삼각산고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ 기출 받아보기
2025학년 삼각산고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 원문은 내신판에서 바로 확인할 수 있습니다. 원문과 함께 같은 유형·다른 숫자의 변형 문제도 제공됩니다.
📚 삼각산고 전체 기출이 궁금하다면?
가입만 해도 무료 20 크레딧 지급, 바로 다운로드 가능합니다.
(서울 강북구 지역 학원 강사·학원장이시라면 인근 고등학교 기출을 한 번에 확보해 수업 준비 시간을 줄일 수 있습니다.)
네이버 태그 (복붙용)
#삼각산고 #삼각산고기출 #삼각산고등학교 #고2수학 #수학2 #2학년2학기기말고사 #강북구고등학교 #도함수의활용 #정적분 #내신판