서울문영여고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년)

서울문영여고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ(2025학년)는 총 17문항입니다. 선택형 14문항(114번)과 서술형 3문항(1517번)으로 구성됐습니다. 문항 수가 적은 대신 중상 7문항, 상 2문항으로 한 문항 한 문항의 무게가 큽니다. 하 난이도는 2번 한 문항뿐입니다.

핵심 요약

• 17문항 — 선택형 14(114번) + 서술형 3(1517번)
• 난이도: 하 1 / 중 7 / 중상 7 / 상 2
• 배치 단원: 09 정적분의 활용 5 / 05 도함수의 활용 (2) 4 / 04 도함수의 활용 (1) 2 / 06 도함수의 활용 (3) 2 / 07 부정적분 2 / 08 정적분 2
• 두 번 나온 유형: 곡선과 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이(12·17번) — 둘 다 상
• 서술형 3문항 중 2문항이 정적분의 활용

서울문영여고 고2 2학기 기말 수학Ⅱ는 어떤 시험인가

서울문영여자고등학교는 서울 관악구에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 17문항이고, 정답 기록을 보면 114번이 선택형, 1517번이 서술형입니다.

배치 단원으로 묶으면 미분(도함수의 활용 0406) 8문항, 적분(0709) 9문항입니다. 그중 정적분의 활용이 5문항으로 가장 많습니다. 넓이와 움직인 거리 문항이 시험의 중심입니다.

이 시험은 17문항 중 9문항이 중상 이상입니다. 문항 수가 적어서 쉬워 보일 수 있지만, 실제로는 한 문항에 들이는 시간이 길어지는 구성입니다.

2025학년 난이도 분포 — 중상 7, 상 2

상 2문항(12·17번)이 같은 유형입니다. 둘 다 곡선과 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이입니다. 12번은 선택형, 17번은 서술형입니다.

선택형 후반 11~14번 네 문항이 모두 중상 이상(11·13·14번 중상, 12번 상)입니다. 앞쪽 중 난이도 문항에서 시간을 아껴 두어야 뒤쪽을 감당할 수 있습니다.

출제 단원 — 정적분의 활용 5문항

정적분의 활용 5문항 안에 상 2문항(12·17번)과 서술형 2문항(15·17번)이 모두 들어 있습니다. 이 단원이 이 시험의 성패를 가릅니다.

도함수의 활용 (2) 4문항은 극값·최대최소·증가감소를 다루고, 그중 3문항이 중상(5·11·13번)입니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 접선과 평균값 정리 (9·16번) — 2문항

9번 중상 곡선 밖의 한 점에서 곡선에 그은 접선의 방정식의 활용, 16번 중 서술형 평균값 정리(정의를 이용하는 경우).

9번은 곡선 밖의 점을 지나는 접선 조건으로 접점에 대한 삼차방정식을 세우고, 세 접점이 등차수열을 이룬다는 조건에서 가운데 근을 근의 합으로 구합니다. 근과 계수의 관계까지 연결해야 하는 문항입니다.

16번 서술형은 평균값 정리를 구간에 적용하고, 도함수가 0이라는 조건에서 함숫값이 같다는 결론을 끌어내는 문항입니다. 평균값 정리의 식을 정확히 쓰고 결론까지 논리적으로 잇는 과정이 답안에 드러나야 합니다.

2. 극값과 증가·감소 (3·5·11·13번) — 4문항

3번 중 삼차함수가 극값을 갖지 않을 조건, 5번 중상 최대·최소의 활용(부피), 11번 중상 함수의 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정, 13번 중상 주어진 구간에서 삼차함수가 증가 또는 감소하기 위한 조건.

3번은 도함수의 판별식으로 극값이 없을 조건을 구하고, 정수 범위의 끝값을 고릅니다.

5번은 원뿔의 부피를 높이의 함수로 세워 최댓값을 구하는 활용 문제입니다. 높이와 반지름 사이의 관계식을 먼저 세우는 것이 출발점입니다.

11번은 극소가 되는 점에서 중근 구조를 잡고, 다른 극값 조건으로 계수를 정합니다.

13번은 주어진 증가·감소 구간에서 도함수의 근의 위치를 따져 계수의 범위를 구하고, 그 범위에서 식의 최솟값을 찾습니다.

3. 속도와 실근의 개수 (1·7번) — 2문항

1번 중 속도·가속도와 운동 방향, 7번 중상 방정식 f(x)=k의 실근의 개수.

1번은 속도의 부호가 바뀌는 시각을 찾아 그 시각의 가속도를 구합니다. 속도가 0인 시각이 아니라 부호가 바뀌는 시각이라는 점에 주의하세요.

7번은 원점 대칭인 삼차함수의 그래프에서 교점 개수 조건을 극값에서 접하는 상황으로 해석합니다.

4. 부정적분과 정적분 (2·6·10·14번) — 4문항

2번 하 부정적분과 미분의 관계, 6번 중 부정적분과 극대·극소, 10번 중 우함수·기함수의 정적분, 14번 중상 정적분의 계산(구간에 따라 다르게 정의된 함수).

2번은 부정적분을 미분하면 원래 함수가 된다는 것으로 함숫값을 구하는, 이 시험의 유일한 하 문항입니다.

6번은 도함수를 적분해 함수를 구하고 극솟값 조건으로 상수를 정한 뒤 두 극값의 차를 구합니다.

10번은 대칭 구간에서 홀수 차수 항이 사라지는 성질로 계산을 줄입니다.

14번은 구간마다 평행이동된 함수가 붙어 있는 조각 함수의 정적분입니다. 적분 조건으로 계수를 먼저 정하고, 구간별로 부호를 판정해 합산합니다.

5. 정적분의 활용 (4·8·12·15·17번) — 5문항

4번 중 곡선과 x축 사이의 넓이, 8번 중 두 곡선 사이의 넓이, 12번 상 곡선과 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이, 15번 중상 서술형 움직인 거리, 17번 상 서술형 곡선과 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이.

4번은 포물선과 x축 사이의 넓이로 매개변수 방정식을 풉니다. 8번은 두 곡선의 교점과 위아래 관계를 정한 뒤 차함수를 적분합니다.

12번(상) 은 두 접선이 수직이라는 조건과 두 접점 조건으로 삼차함수를 먼저 구하고, 교점과 위아래 관계를 정해 넓이를 적분합니다. 함수를 구하는 단계와 넓이를 구하는 단계가 모두 들어 있어 네 단계가 이어집니다.

15번 서술형은 속도를 적분해 위치를 구하고, 원점에 도달하는 시각과 속도의 부호가 바뀌는 시각을 따로 찾아 절댓값 적분으로 움직인 거리를 계산합니다. 위치와 거리의 차이를 답안에 분명히 드러내야 합니다.

17번 서술형(상) 은 곡선 밖의 점과 두 접점에서의 접선을 구하고, 두 적분 영역의 경계를 정해 넓이의 차를 정적분으로 계산합니다. 12번과 같은 유형이지만 영역이 두 개라 경계를 나누는 판단이 더 필요합니다.

주의 문항 — 중상 7, 상 2

5번 중상 (부피의 최대) — 높이와 반지름 관계식이 먼저.

7번 중상 (실근의 개수) — 원점 대칭 삼차함수, 극값에서 접하기.

9번 중상 (곡선 밖의 점에서 그은 접선) — 등차수열과 근과 계수의 관계.

11번 중상 (극대·극소와 미정계수) — 중근 구조.

12번 상 (곡선과 접선 사이 넓이) — 수직 접선 조건으로 함수 구하기부터.

13번 중상 (구간에서의 증가·감소 조건) — 도함수 근의 위치.

14번 중상 (조각 함수의 정적분) — 구간별 부호 판정.

15번 중상 서술형 (움직인 거리) — 부호가 바뀌는 시각에서 나누기.

17번 상 서술형 (두 접선과 곡선 사이 넓이) — 영역 경계 나누기.

서울문영여고 고2 2학기 기말 수학Ⅱ 대비 학습 순서

1. 속도의 부호와 가속도 — 1번 대비.
2. 부정적분과 미분의 관계 — 2번 대비.
3. 도함수의 판별식과 극값 조건 — 3번 대비.
4. ★ 최대·최소의 활용(부피) — 5번 대비.
5. 부정적분으로 함수 구하고 극값 계산 — 6번 대비.
6. 방정식의 실근의 개수와 그래프 — 7번 대비.
7. ★ 곡선 밖의 점에서 그은 접선 — 9번 대비. 접점에 대한 방정식.
8. 극대·극소를 이용한 미정계수 — 11번 대비.
9. 구간에서의 증가·감소 조건 — 13번 대비.
10. 우함수·기함수의 정적분, 조각 함수의 정적분 — 10·14번 대비.
11. 곡선과 x축, 두 곡선 사이의 넓이 — 4·8번 대비.
12. ★ 곡선과 접선으로 둘러싸인 넓이 — 12·17번 대비. 상 두 문항.
13. 위치와 움직인 거리 구별 — 15번 서술형 대비.
14. 평균값 정리를 이용한 서술 — 16번 서술형 대비.

자주 나오는 질문

서울문영여고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 17문항입니다. 114번이 선택형, 1517번이 서술형입니다.

어느 단원이 가장 많이 나왔나요?

정적분의 활용 5문항입니다. 다음은 도함수의 활용 (2) 4문항이고, 나머지 네 단원은 2문항씩입니다.

킬러 문항은 무엇인가요?

상 난이도 12번(선택형)과 17번(서술형) 입니다. 두 문항 모두 곡선과 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이 유형입니다.

서술형은 어떻게 나왔나요?

15번(움직인 거리), 16번(평균값 정리), 17번(곡선과 접선 사이 넓이) 세 문항입니다.

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