공항고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년)

공항고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ(2025학년)는 총 21문항입니다. 선택형 17문항(117번)과 서술형 4문항(1821번)으로 구성됐습니다. 상 난이도는 없고 중 12문항, 중상 7문항입니다. 중상 7문항이 모두 12번 이후에 몰려 있어 시험 후반부가 승부처입니다.

핵심 요약

• 21문항 — 선택형 17(117번) + 서술형 4(1821번)
• 난이도: 하 2 / 중 12 / 중상 7 / 상 0
• 배치 단원: 05 도함수의 활용 (2) 5 / 08 정적분 5 / 09 정적분의 활용 4 / 06 도함수의 활용 (3) 3 / 04 도함수의 활용 (1) 2 / 07 부정적분 2
• 두 번 나온 유형: 방정식 f(x)=k의 실근의 개수(16·19번)
• 중상 7문항: 12·14·15·16·17·19·21번

공항고 고2 2학기 기말 수학Ⅱ는 어떤 시험인가

공항고등학교는 서울 강서구에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 21문항이고, 정답 기록을 보면 117번이 선택형, 1821번이 서술형입니다.

배치 단원으로 묶으면 미분(도함수의 활용 0406) 10문항, 적분(0709) 11문항입니다. 단원별로는 도함수의 활용 (2)와 정적분이 각 5문항으로 가장 많습니다.

1~11번은 하 2문항과 중 9문항으로 이어집니다. 12번부터 분위기가 바뀌어 12·14·15·16·17번 다섯 문항이 중상입니다. 앞쪽 열한 문항을 빠르게 정리해 두어야 뒤쪽 중상 문항과 서술형에 시간을 쓸 수 있습니다.

2025학년 난이도 분포 — 중 12, 중상 7

상 난이도가 없는 대신 중상이 7문항입니다. 손도 못 댈 문항은 없지만, 중상 문항 하나하나가 세 단계 이상 이어지는 풀이라 시간이 많이 듭니다.

서술형 4문항은 중 2문항(18·20번), 중상 2문항(19·21번) 입니다.

출제 단원 — 도함수의 활용 (2)와 정적분이 각 5문항

정적분 5문항 중 2문항이 서술형(18·21번)입니다. 도함수의 활용 (3) 은 3문항이지만 그중 2문항(16·19번)이 실근의 개수 유형이고, 둘 다 중상입니다.

정적분의 활용 4문항 중 12·17번이 중상입니다. 움직인 거리와 넓이의 최솟값이라는, 계산 단계가 긴 유형들입니다.

시그니처 유형 — “방정식 f(x)=k의 실근의 개수” 2회

16번(선택형)과 19번(서술형) 이 같은 유형입니다. 둘 다 중상입니다.

16번은 절댓값이 들어간 방정식의 실근이 3개라는 조건을 극값에서 그래프가 접하는 상황으로 해석해 삼차함수의 계수를 정합니다. 마지막에 도함수의 부호를 보고 절댓값 함수의 미분까지 처리해야 합니다.

19번 서술형은 치환으로 정의역의 시작점을 옮긴 뒤 사차식의 극값과 교점 개수를 조사하고, 경계에서 가능한 상수의 최댓값을 정합니다.

두 문항 모두 “근의 개수 = 그래프와 직선 y=k의 교점 개수” 로 바꾸고, 극값의 위치에서 경계를 잡는 것이 핵심입니다. 이 절차가 손에 익어 있으면 두 문항을 한 번에 대비할 수 있습니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 평균값 정리·롤의 정리 (9·15번) — 2문항

9번 중 평균값 정리(정의를 이용하는 경우), 15번 중상 롤의 정리.

9번은 평균변화율과 도함수 값을 같게 놓고 구간의 모르는 끝값을 구합니다.

15번은 롤의 정리를 두 번 연결하는 문항입니다. 정적분으로 정의된 함수가 0 이상이고 어떤 점에서 0이면 그 점에서 극소라는 것을 먼저 판정하고, 롤의 정리로 도함수의 영점이 존재하는지 보기 세 개를 모두 검증합니다.

2. 증가·감소, 극값, 최대·최소 (5·10·13·14·20번) — 5문항

5번 중 도함수의 그래프의 해석(응용), 10번 중 실수 전체의 집합에서 삼차함수가 증가 또는 감소하기 위한 조건, 13번 중 함수의 최대·최소, 14번 중상 함수의 최대·최소를 이용한 미정계수의 결정, 20번 중 서술형 함수의 극대·극소의 활용.

5번은 도함수 그래프의 부호로 증가·감소와 극값을 읽고 보기를 대조합니다.

10번은 도함수가 항상 0 이상(또는 이하) 이 되도록 판별식 조건을 세우고 정수 개수를 셉니다.

13번은 반직선 모양의 정의역에서 삼차함수의 최댓값을 구합니다. 정의역 안의 도함수 영점과 끝값을 비교합니다.

14번은 사차함수의 최댓값과 최솟값의 합 조건으로 평행이동 상수를 정합니다. 끝값과 극값을 모두 계산한 뒤 어느 것이 최대·최소인지 구분해야 합니다.

20번 서술형은 두 극점으로 도함수를 인수분해하고, 적분과 나눗셈으로 나머지 한 근을 구합니다.

3. 가속도 (6번) — 1문항

6번 중 가속도.

속도 식에서 조건을 만족하는 시각을 먼저 구하고, 그 시각의 가속도를 계산합니다.

4. 부정적분 (2·4번) — 2문항

2번 하 부정적분과 미분의 관계, 4번 중 함수와 부정적분 사이의 관계식이 주어질 때 함수 구하기.

2번은 부정적분을 미분하면 원래 함수가 된다는 기본 성질입니다. 4번은 등식의 양변을 미분한 뒤 초기값으로 적분상수를 정합니다.

5. 정적분 (1·3·11·18·21번) — 5문항

1번 하 정적분의 계산(피적분함수가 같은 경우), 3번 중 미적분의 기본정리, 11번 중 미적분의 기본정리의 활용, 18번 중 서술형 우함수·기함수의 정적분(피적분함수가 주어지지 않은 경우), 21번 중상 서술형 정적분의 계산(절댓값 기호를 포함한 함수).

1번은 적분 구간의 양 끝이 같을 때 정적분 값에 대한 기본 문항입니다.

3번과 11번은 위끝에 변수가 있는 정적분을 미분하는 미적분의 기본정리 문항입니다. 11번은 합성함수 미분까지 들어가 계수를 비교합니다.

18번 서술형은 피적분함수가 주어지지 않고 우함수라는 성질만 주어집니다. 음의 구간을 양의 구간으로 옮겨 정적분을 더하고 빼서 목표 구간의 값을 구합니다.

21번 서술형은 절댓값이 들어간 피적분함수의 정적분입니다. x의 위치에 따라 세 구간으로 나눠 안쪽 적분을 계산하고, 바깥 적분을 합산합니다. 구간 나누기 기준을 답안에 분명히 적어야 합니다.

6. 정적분의 활용 (7·8·12·17번) — 4문항

7번 중 그래프에서의 위치와 움직인 거리, 8번 중 두 곡선 사이의 넓이, 12번 중상 움직인 거리, 17번 중상 두 곡선 사이의 넓이의 활용(넓이의 최솟값).

7번은 속도 그래프를 구간별로 적분해 위치와 움직인 거리를 보기마다 비교합니다. 8번은 두 포물선의 교점을 구하고 위아래 차를 적분합니다.

12번은 속도가 0이 되는 시각 두 개를 기준으로 방향이 바뀌기 전후의 거리 비를 적분 방정식으로 세우고, 가능한 근을 골라 매개변수를 정합니다.

17번은 접선과 포물선 사이의 넓이를 접점의 함수로 세운 뒤, 미분해 넓이가 최소가 되는 접점을 찾습니다. 넓이 공식을 세우는 단계와 최솟값을 찾는 단계가 이어집니다.

주의 문항 — 중상 7문항

12번 (움직인 거리) — 방향 전환 전후 거리 비, 근 고르기.

14번 (사차함수 최대·최소) — 끝값·극값 전부 계산 후 구분.

15번 (롤의 정리 두 번) — 보기 세 개 모두 검증.

16번 (절댓값 방정식 실근의 개수) — 극값에서 접하기.

17번 (넓이의 최솟값) — 접점을 변수로 한 넓이 함수.

19번 서술형 (사차방정식 실근의 개수) — 치환 후 극값 조사.

21번 서술형 (절댓값 포함 정적분) — 세 구간 분리.

공항고 고2 2학기 기말 수학Ⅱ 대비 학습 순서

1. 정적분 기본 성질, 부정적분과 미분의 관계 — 1·2번 대비.
2. 미적분의 기본정리 — 3·11번 대비.
3. 부정적분 관계식에서 함수 구하기 — 4번 대비.
4. 도함수 그래프 읽기 — 5번 대비.
5. 속도·가속도 — 6번 대비.
6. 위치와 움직인 거리 — 7·12번 대비. 부호 바뀌는 시각 기준.
7. 두 곡선 사이의 넓이 — 8번 대비.
8. 평균값 정리 — 9번 대비.
9. 삼차함수가 항상 증가·감소할 조건 — 10번 대비.
10. 최대·최소와 미정계수 — 13·14번 대비.
11. ★ 롤의 정리 응용 — 15번 대비.
12. ★ 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 — 16·19번 대비. 이 시험의 시그니처.
13. ★ 넓이의 최솟값 — 17번 대비.
14. 우함수 성질을 이용한 정적분 — 18번 서술형 대비.
15. 극점으로 삼차함수 인수 구조 세우기 — 20번 서술형 대비.
16. 절댓값 포함 정적분 — 21번 서술형 대비.

자주 나오는 질문

공항고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 21문항입니다. 117번이 선택형, 1821번이 서술형입니다.

어느 단원이 가장 많이 나왔나요?

도함수의 활용 (2)와 정적분이 각 5문항입니다. 다음은 정적분의 활용 4문항, 도함수의 활용 (3) 3문항입니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도는 없습니다. 중상 7문항(12·14·15·16·17·19·21번)이 실질적인 고난도이고, 모두 12번 이후에 있습니다.

서술형은 어떻게 나왔나요?

18번(우함수의 정적분), 19번(실근의 개수), 20번(극대·극소의 활용), 21번(절댓값 포함 정적분) 네 문항입니다. 19·21번이 중상입니다.

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