자운고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025)

자운고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 22문항입니다. 이 시험은 중 난이도가 15문항이고 상 난이도는 없습니다. 눈에 띄는 점은 속도·위치·움직인 거리를 다루는 운동 문항이 5문항이나 된다는 것입니다.

핵심 요약

• 22문항 — 정답 기록 기준 118번 선택형, 1922번 서술형 4문항
• 난이도: 하 3 / 중 15 / 중상 4 / 상 0
• 배치 단원: 08 정적분 6 / 09 정적분의 활용 6 / 06 도함수의 활용 (3) 5 / 05 도함수의 활용 (2) 3 / 07 부정적분 2
• 반복 주제: 운동(속도·위치·거리) 5문항(1·3·4·17·21번), 포물선과 직선 사이 넓이 1/6 공식(9·11번)
• 가장 까다로운 문항: 8·15·17·22번 중상 4문항

자운고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가

자운고등학교는 서울 도봉구에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 22문항이고, 정답 기록을 보면 1~18번은 선택형, 19~22번 네 문항은 서술형입니다.

배치 단원은 미분 쪽(05·06 단원) 8문항, 적분 쪽(07·08·09 단원) 14문항입니다. 그중 정적분 6문항, 정적분의 활용 6문항이 같은 수로 가장 많습니다.

미분계수와 도함수, 도함수의 활용 (1) 단원에 배치된 문항은 없습니다.

2025학년 난이도 분포 — 중 15문항

중 난이도가 68% 입니다. 문항 하나하나는 손댈 만하지만, 중 15문항에서 계산 실수가 나오면 그대로 점수 차이가 됩니다.

하 3문항 중 19번은 서술형입니다. 도함수와 함숫값으로 함수를 구하는 문항이라 서술형이지만 확실히 챙겨야 합니다. 중상 4문항은 8번, 15번, 17번, 22번으로 시험 곳곳에 흩어져 있습니다.

출제 단원 — 정적분 6, 정적분의 활용 6

정적분의 활용 6문항 중 4문항(9·10·11·12번)이 넓이, 2문항(17·21번)이 위치와 움직인 거리입니다. 9~12번 네 문항이 연속으로 넓이 문제입니다.

반복 주제 1 — 운동 문항

속도·위치·움직인 거리를 다루는 문항이 미분과 적분 양쪽에 걸쳐 나왔습니다.

• 1번 하 속도·가속도와 운동 방향 — 속도 부호가 바뀌는 시각.
• 3번 중 위로 던진 물체의 위치와 속도 — 높이가 0이 되는 시각의 속도.
• 4번 중 정지하는 물체의 속도와 움직인 거리 — 정지할 때까지 이동한 거리 조건.
• 17번 중상 그래프에서의 위치와 움직인 거리 — 속도 그래프에서 세 번 만날 조건.
• 21번 중(서술형) 위치와 위치의 변화량 — 두 점이 만나는 시각.

미분 쪽(1·3·4번)은 위치를 미분해 속도를 구하는 방향, 적분 쪽(17·21번)은 속도를 적분해 위치를 구하는 방향입니다. 두 방향을 모두 연습해 두세요.

반복 주제 2 — 포물선과 직선 사이 넓이

포물선과 직선 사이의 넓이; 1/6 공식이 9번과 11번(둘 다 중)에 나왔습니다. 9번은 포물선과 대각선 사이 넓이와 삼각형 넓이의 비, 11번은 포물선과 두 수평선 사이의 넓이 관계로 상수를 정하는 문항입니다. 1/6 공식을 바로 쓸 수 있으면 두 문항 모두 시간이 크게 줄어듭니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 정적분 (2·5·7·16·18·20번) — 6문항

2번 하 정적분의 계산(일차함수), 5번 중 끝이 상수인 정적분 등식, 7번 중 위끝과 피적분함수에 변수가 있는 등식(두 번 미분), 16번 중 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 정적분(평행이동한 함수), 18번 중 주기함수의 정적분(대칭 조건), 20번 중(서술형) 절댓값 기호를 포함한 함수의 정적분.

6문항이 하 1, 중 5로 모두 중 이하입니다. 공식과 절차를 정확히 익혀 확보해야 하는 단원입니다.

7번은 적분 등식을 두 번 미분해야 함숫값이 나옵니다. 한 번만 미분하고 멈추지 않도록 주의하세요.

2. 정적분의 활용 (9·10·11·12·17·21번) — 6문항

9번 중 포물선과 직선 사이 넓이(1/6 공식), 10번 중 두 곡선 사이의 넓이(교점 세 개), 11번 중 1/6 공식, 12번 중 두 도형의 넓이가 같을 조건, 17번 중상 그래프에서의 위치와 움직인 거리, 21번 중(서술형) 위치와 위치의 변화량.

10번은 교점이 세 개라 구간마다 위아래가 바뀝니다. 구간별로 나눠 넓이를 더해야 합니다.

3. 도함수의 활용 (3) (1·3·4·13·22번) — 5문항

1번 하 속도·가속도와 운동 방향, 3번 중 위로 던진 물체, 4번 중 정지하는 물체, 13번 중 부등식 f(x)>g(x)가 항상 성립할 조건, 22번 중상(서술형) 방정식 f(x)=k의 실근의 부호.

22번은 극댓값과 극솟값의 차로 매개변수를 정하고, 세 실근이 모두 양수일 조건을 찾는 서술형입니다. 가장 작은 근까지 양수여야 한다는 조건을 빠뜨리면 범위가 틀어집니다.

4. 도함수의 활용 (2) (6·14·15번) — 3문항

6번 중 실수 전체에서 삼차함수가 증가할 조건(역함수 존재), 14번 중 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정(수평선과 극값 높이), 15번 중상 함수의 최대·최소(이어 붙인 함수의 미분가능성과 최솟값).

15번은 두 식이 만나는 점에서 미분가능하다는 조건으로 계수를 먼저 고정한 뒤, 최솟값 조건과 보기를 하나씩 비교합니다.

5. 부정적분 (8·19번) — 2문항

8번 중상 부정적분과 극대·극소(도함수 그래프를 적분), 19번 하(서술형) 도함수가 주어질 때 함수 구하기.

8번은 도함수 그래프에서 식과 부호를 읽고 적분해 원래 함수의 모양을 정한 뒤, 함숫값과 실근 수에 관한 보기를 모두 판정하는 문항입니다.

주의 문항 — 중상 4문항

8번 (부정적분과 극대·극소) — 도함수 그래프 해석과 적분, 보기 판정이 한 문항에 있습니다.

15번 (이어 붙인 함수의 최대·최소) — 미분가능성 조건이 출발점입니다.

17번 (속도 그래프에서 위치와 거리) — 세 번 만나는 조건을 경계값까지 따져야 합니다.

22번 (실근의 부호, 서술형) — 시험 마지막 문항입니다.

자운고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서

1. 정적분 계산, 도함수로 함수 구하기 — 2·19번 확보.
2. ★ 속도·위치·운동 방향(미분) — 1·3·4번 대비.
3. 삼차함수가 증가할 조건, 극값과 미정계수 — 6·14번 대비.
4. 항상 성립하는 부등식 — 13번 대비.
5. 정적분을 포함한 등식 — 5·7번 대비.
6. 구간별 함수·주기함수·절댓값 정적분 — 16·18·20번 대비.
7. ★ 포물선과 직선 사이 넓이 1/6 공식 — 9·11번 대비.
8. 두 곡선 사이 넓이, 넓이가 같을 조건 — 10·12번 대비.
9. ★ 속도 그래프에서 위치와 움직인 거리(적분) — 17·21번 대비.
10. 도함수 그래프 적분, 이어 붙인 함수의 최솟값 — 8·15번 대비.
11. 실근의 부호 — 22번 서술형 대비.

자주 나오는 질문

자운고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 22문항입니다. 정답 기록 기준 118번은 선택형, 1922번은 서술형입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 정적분 6문항, 정적분의 활용 6문항이 같은 수로 가장 많습니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도는 없습니다. 중상 4문항(8·15·17·22번)이 가장 어려운 구간입니다.

속도·거리 문제는 몇 문항인가요?

배치 단원과 유형 기준으로 1·3·4·17·21번 다섯 문항이 속도·위치·움직인 거리를 다룹니다.

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