태릉고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025)

태릉고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 총 23문항입니다. 배치 단원은 도함수의 활용 (2)·(3), 부정적분, 정적분, 정적분의 활용 다섯 단원입니다. 정적분과 정적분의 활용이 각 6문항으로 적분 파트가 15문항을 차지하고, 중상이 10문항으로 난도가 높은 편입니다.

핵심 요약

• 23문항 — 정답 기록 기준 1~21번 선택형, 22·23번 서술형 2문항
• 난이도: 하 2 / 중 10 / 중상 10 / 상 1
• 배치 단원: 08 정적분 6 / 09 정적분의 활용 6 / 05 도함수의 활용 (2) 5 / 06 도함수의 활용 (3) 3 / 07 부정적분 3
• 두 번 나온 유형: 곡선과 x축 사이의 넓이(17·19번)
• 가장 까다로운 구간: 17~21번 다섯 문항 연속 중상 이상, 20번은 상

태릉고 고2 2학기 기말 수학Ⅱ는 어떤 시험인가

태릉고등학교는 서울 중랑구에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 23문항이고, 정답 기록을 보면 1~21번은 선택형, 22·23번 두 문항은 서술형입니다.

적분 파트(07~09단원) 15문항, 미분 파트(05·06단원) 8문항입니다. 적분이 미분의 두 배 가까이 나왔습니다. 정적분 6문항, 정적분의 활용 6문항이 시험의 중심입니다.

단원 순서는 섞여 있습니다. 1번이 극값, 2·3번이 부정적분, 4번이 속도, 5·6번이 정적분으로 첫 페이지부터 다섯 단원이 모두 등장합니다.

2025학년 난이도 분포 — 중상 10문항

하 난이도는 1·5번 두 문항입니다. 1번은 극값 위치로 미정계수 구하기, 5번은 정적분으로 정의된 함수의 극한입니다.

중상 10문항이 9번부터 흩어져 나오다가 17~21번에서 연속됩니다. 이 다섯 문항 중 20번은 상 난이도입니다. 선택형 마지막 구간이 가장 무겁습니다.

서술형 22번은 중, 23번은 중상입니다.

출제 단원 — 정적분·정적분의 활용 각 6문항

정적분 6문항 중 3문항(13·15·18번)이 중상이고, 정적분의 활용 6문항 중 4문항(11·14·17·19번)이 중상입니다. 적분 파트에서 점수가 크게 갈립니다.

도함수의 활용 (2)는 5문항으로, 상 난이도 20번과 서술형 23번이 이 단원입니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 도함수의 활용 (2) (1·7·12·20번) — 선택형 4문항

1번 하 함수의 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정. 극값 위치에서 도함수가 0이 되는 조건으로 상수를 구합니다.

7번 중 함수의 최대·최소. 사차함수의 닫힌구간 최댓값과 최솟값을 양 끝값과 도함수가 0인 점에서 비교합니다.

12번 중 실수 전체의 집합에서 삼차함수가 증가 또는 감소하기 위한 조건. 도함수가 항상 0 이상이 되는 판별식 조건으로 정수 개수를 셉니다.

20번 상 함수의 극대·극소의 활용. 사차함수에 절댓값을 씌웠을 때 미분 불가능한 점을 다루는 문항으로, 경우를 둘로 나눠 각각 함수를 구성하는 4단계 풀이입니다.

2. 도함수의 활용 (3) (4·9·16번) — 3문항

4번 중 속도·가속도와 운동 방향. 속도의 최솟값으로 운동 방향이 바뀌지 않을 자연수 조건을 구합니다.

9번 중상 방정식 f(x)=k의 실근의 개수. 절댓값이 씌워진 삼차방정식에서 근이 4개가 되는 정수 높이의 개수를 셉니다.

16번 중 모든 실수에서 부등식이 항상 성립할 조건. 양의 범위에서 매개변수에 따라 극소가 달라지는 경우를 나눠 최솟값 조건을 정합니다.

3. 부정적분 (2·3·21번) — 3문항

2번 중 도함수가 주어질 때 함수 구하기. 도함수를 적분하고 초기값으로 상수를 정합니다.

3번 중 부정적분의 정의. 두 부정적분의 차가 상수라는 성질을 씁니다.

21번 중상 함수와 부정적분 사이의 관계식이 주어질 때 함수 구하기. 적분 항등식에서 도함수를 구하고, 중근 조건과 절댓값 함수의 극대 조건으로 함수를 하나로 정합니다.

4. 정적분 (5·6·13·15·18번) — 선택형 5문항

5번 하 정적분으로 정의된 함수의 극한. 극한값을 함숫값으로 바로 계산합니다.

6번 중 정적분의 계산; 피적분함수가 같은 경우. 위끝·아래끝이 뒤바뀐 적분의 부호를 바꿔 하나의 구간으로 합칩니다.

13번 중상 정적분을 포함한 등식; 아래끝 또는 위끝에 변수가 있는 경우. 미분한 뒤 계수를 비교하고, 원래 등식의 초기 조건으로 다시 검증해 이차함수를 구합니다.

15번 중상 정적분을 포함한 등식; 아래끝 또는 위끝과 피적분함수에 변수가 있는 경우. 두 번 미분해 다항함수를 정합니다. 적분 초기값과 미분 초기값을 모두 써야 합니다.

18번 중상 정적분으로 정의된 함수의 최대·최소. 구간에 따라 최댓값이 바뀌는 함수를 구간별로 나눠 식을 세운 뒤 정적분을 계산합니다.

13번과 15번은 피적분함수 안에 x가 있느냐 없느냐의 차이입니다. 15번처럼 x가 있으면 x를 적분 밖으로 꺼낸 다음 미분해야 합니다.

5. 정적분의 활용 (8·10·11·14·17·19번) — 6문항

8번 중 함수와 그 역함수의 정적분. 원함수의 증가·감소와 끝점 대응을 확인하고, 역함수 적분의 합을 직사각형 넓이의 차로 계산합니다.

10번 중 포물선과 직선 사이의 넓이; 1/6 공식. 교점을 구하고 넓이 방정식에서 상수를 정합니다.

11번 중상 위치와 위치의 변화량. 두 점의 속도가 같아지는 조건과 변위가 같아지는 조건을 동시에 세워 양의 상수를 고릅니다.

14번 중상 그래프에서의 위치와 움직인 거리. 속도 그래프의 모든 선분 넓이를 부호대로 계산해 원점으로 돌아오는 시각, 속력의 극댓값, 운동 방향, 움직인 거리 보기를 판정합니다.

17번 중상 곡선과 x축 사이의 넓이. 대칭인 정적분 조건으로 함수를 구하고, 세 영점과 부호를 정해 대칭인 두 영역을 적분합니다.

19번 중상 곡선과 x축 사이의 넓이. 이어 붙인 함수가 연속이고 미분가능하도록 계수를 정한 뒤, 평행이동된 구간의 넓이를 더합니다.

17번과 19번이 같은 유형입니다. 둘 다 함수를 먼저 구하고 부호를 확인한 다음 넓이를 구하는 3단계 구조입니다.

6. 서술형 (22·23번) — 2문항

22번 중 정적분을 포함한 등식; 아래끝과 위끝이 상수인 경우. 상수 정적분을 미지수로 놓고 방정식을 풀어 함숫값을 구합니다.

23번 중상 삼차함수가 주어진 구간에서 극값을 가질 조건. 도함수가 주어진 열린구간에서 서로 다른 두 근을 갖는 조건을 판별식·축·양 끝값으로 정리하고, 부등식의 공통 범위를 구합니다.

23번은 조건 세 가지(판별식, 축의 위치, 양 끝값의 부호)를 모두 써야 합니다. 하나라도 빠지면 범위가 넓어집니다.

주의 문항 — 상 1, 중상 10

20번 상 (함수의 극대·극소의 활용) — 절댓값 사차함수의 미분 불가능한 점을 다룹니다. 경우를 둘로 나눠야 하는 문항입니다.

9번 중상 (실근의 개수) — 절댓값 그래프에서 수평선과의 교점을 셉니다.

11·14번 중상 (위치·거리) — 속도와 변위, 거리를 정확히 구분해야 합니다.

13·15·18번 중상 (정적분) — 정적분을 포함한 등식 두 문항과 구간별 최댓값 함수의 정적분입니다.

17·19번 중상 (넓이) — 함수를 먼저 구해야 넓이 계산에 들어갈 수 있습니다.

21번 중상 (부정적분 관계식) — 20번 바로 뒤에 있어 시간 압박이 큽니다.

23번 중상 (서술형) — 극값 존재 조건을 빠짐없이 써야 합니다.

태릉고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서

1. 극값으로 미정계수 구하기, 정적분으로 정의된 함수의 극한 — 1·5번 대비. 확보 구간.
2. 부정적분의 정의와 초기값 — 2·3번 대비.
3. 닫힌구간 최대·최소와 삼차함수가 증가할 조건 — 7·12번 대비.
4. 운동 방향과 부등식이 항상 성립할 조건 — 4·16번 대비.
5. 절댓값 삼차방정식의 실근 개수 — 9번 대비.
6. 정적분 계산(구간 합치기) — 6번 대비.
7. ★ 정적분을 포함한 등식 세 가지 — 13·15·22번 대비. 피적분함수에 x가 있는지 확인.
8. 구간별 최댓값으로 정의된 함수의 정적분 — 18번 대비.
9. 역함수의 정적분, 1/6 공식 — 8·10번 대비.
10. ★ 위치·변위·움직인 거리 — 11·14번 대비.
11. ★ 함수를 구한 뒤 곡선과 x축 사이의 넓이 — 17·19번 대비.
12. 부정적분 관계식과 절댓값 극대 조건 — 21번 대비.
13. 구간에서 극값을 가질 조건 — 23번 서술형 대비.
14. 절댓값 사차함수의 미분가능성 — 20번 상 대비.

자주 나오는 질문

태릉고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 23문항입니다. 정답 기록 기준 1~21번은 선택형, 22·23번은 서술형입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

정적분과 정적분의 활용이 각 6문항으로 가장 많습니다. 도함수의 활용 (2) 5문항, 도함수의 활용 (3)과 부정적분이 각 3문항입니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도는 20번 한 문항입니다. 그 앞뒤 17~19번과 21번이 모두 중상이라 선택형 마지막 다섯 문항이 고난도 구간입니다.

미분과 적분 중 어느 쪽이 더 중요한가요?

배치 단원 기준 적분 파트 15문항, 미분 파트 8문항입니다. 중상 10문항 중 7문항(11·13·14·15·17·18·19번)이 정적분·정적분의 활용 단원입니다.

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