나루고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년)

경기 화성시 나루고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 분석표 기준 20문항, 100점 만점입니다. 선택형 18문항이 85점, 서술형 2문항(19·20번)이 15점입니다. 단원은 08 정적분 6문항이 가장 많고, 상 난이도는 17번 한 문항입니다.

핵심 요약

• 분석표 기준 20문항, 배점 합계 100점 — 정답 기록 기준 1~18번 선택형(85점), 19·20번 서술형(15점)
• 난이도: 하 4 / 중 10 / 중상 5 / 상 1(17번)
• 배치 단원: 08 정적분 6 / 05 도함수의 활용 (2) 4 / 09 정적분의 활용 4 / 06 도함수의 활용 (3) 3 / 07 부정적분 2 / 04 도함수의 활용 (1) 1
• 배점이 가장 큰 문항: 20번 서술형 8점, 19번 서술형 7점, 17·18번 각 6점
• 두 번 나온 유형: 포물선과 직선 사이의 넓이, 1/6 공식(9·19번)

나루고 수학Ⅱ 2학기 기말은 어떤 시험인가

나루고등학교는 경기 화성시에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 분석표에 20문항이 기록되어 있고, 문항별 배점을 더하면 정확히 100점입니다. 정답 기록을 보면 118번은 ①⑤ 선택형, 19·20번은 서술형입니다.

출제는 도함수의 활용부터 정적분의 활용까지입니다. 1번이 04 도함수의 활용 (1)의 평균값 정리로, 기말인데 앞 단원 문항이 1문항 함께 나왔습니다. 하 난이도이니 놓치지 않아야 할 문항입니다.

미분 쪽(04·05·06 단원) 8문항, 적분 쪽(07·08·09 단원) 12문항입니다.

2025학년 난이도 분포 — 중 10문항

중 난이도가 정확히 절반입니다. 서술형 19·20번도 둘 다 중이라, 풀이 과정을 정확히 쓰면 확보할 수 있는 구간입니다.

중상 5문항은 11~16번 사이에 몰려 있습니다(13번만 중). 이어서 17번이 상입니다. 즉 11번부터 17번까지 일곱 문항 중 여섯 문항이 중상 이상인 구간을 지나야 서술형에 도착합니다.

배점 구조 — 3.5점부터 8점까지

서술형 두 문항이 합쳐 15점입니다. 둘 다 중 난이도라 부분점수를 잃지 않도록 풀이를 빠짐없이 쓰는 것이 중요합니다. 선택형에서는 상 난이도인 17번과 중 난이도인 18번이 각 6점으로 가장 큽니다.

출제 단원 — 정적분 6문항

08 정적분 6문항 안에 하(3번)부터 상(17번)까지 다 있습니다. 중상 11·14번과 상 17번이 모두 정적분이라 어려운 문항이 가장 많은 단원이기도 합니다.

반복 유형 — 포물선과 직선 사이의 넓이

포물선과 직선 사이의 넓이(1/6 공식) 가 9번(선택형)과 19번(서술형) 에 나왔습니다. 둘 다 중 난이도입니다.

9번은 교점의 차와 넓이 조건에서 양수 계수를 구하는 문항이고, 19번 서술형은 두 영역의 넓이의 비를 묻습니다. 1/6 공식으로 답을 빠르게 확인할 수는 있지만, 서술형에서는 정적분 식을 직접 세워 계산하는 과정을 써야 합니다.

단원별 문항 정리 (2025 기출 기준)

1. 정적분 (3·5·11·13·14·17번) — 6문항

3번 하 정적분의 계산(적분 구간이 같은 경우), 5번 중 정적분을 포함한 등식(끝이 상수인 경우), 11번 중상 정적분을 포함한 등식(끝과 피적분함수에 변수가 있는 경우), 13번 중 정적분으로 정의된 함수의 극한, 14번 중상 정적분으로 정의된 함수의 최대·최소, 17번 상 우함수·기함수의 정적분(피적분함수가 주어지지 않은 경우).

5번은 상수인 정적분을 문자로 놓고 식을 세우는 기본형입니다. 11번은 등식을 그대로 쓰는 경우와 미분한 경우를 함께 이용해 계수를 구하는 문항입니다. 13번은 극한이 수렴하려면 분자가 0이어야 한다는 조건에서 시작합니다. 14번은 적분으로 정의된 함수를 미분해 임계점을 찾고 최솟값을 구합니다.

2. 도함수의 활용 (1·4·7·8·10·12·15·20번) — 8문항

1번 하 평균값 정리, 4번 중 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정, 7번 중 삼차함수가 증가 또는 감소하기 위한 조건, 8번 중 최대·최소의 활용(내접 직사각형의 넓이), 10번 중 방정식 f(x)=k의 실근의 부호, 12번 중상 방정식 f(x)=k의 실근의 개수, 15번 중상 함수의 극대·극소의 활용, 20번 중(서술형) 주어진 구간에서 부등식이 항상 성립할 조건.

4번은 극솟값과 도함수 조건을 연립해 계수를 정한 뒤 다른 임계점에서 극댓값을 구합니다. 10번은 극값의 범위로 양의 근과 음의 근의 배치를 따지는 문항입니다. 12번은 절댓값이 붙은 방정식의 근이 네 개가 되는 조건을 접하는 상황으로 찾는 문항입니다.

20번 서술형(8점) 은 매개변수를 분리한 뒤 구간에서의 최댓값으로 부등식 조건을 정리하는 문항입니다. 시험에서 배점이 가장 큰 문항입니다.

3. 정적분의 활용 (6·9·16·19번) — 4문항

6번 하 위치와 위치의 변화량, 9번 중 포물선과 직선 사이의 넓이, 16번 중상 함수와 부정적분 사이의 관계식이 주어질 때 함수 구하기 / 곡선과 x축 사이의 넓이, 19번 중(서술형) 포물선과 직선 사이의 넓이.

6번은 속도를 적분해 처음 높이에 더하는 문항입니다. 16번은 관계식에서 함수를 먼저 구한 뒤, 부호가 바뀌는 구간을 나눠 넓이를 계산합니다.

4. 부정적분 (2·18번) — 2문항

2번 하 부정적분의 계산(계수 비교), 18번 중 도함수가 주어질 때 함수 구하기. 18번은 평행이동한 식과 도함수의 계수를 이용해 함수를 구하는 문항으로 6점입니다.

주의 문항 — 상 1, 중상 5

17번 상 (우함수·기함수의 정적분, 6점) — 피적분함수가 주어지지 않은 상태에서 대칭 구간 적분 조건을 미분하고, 다항식 항등식에서 함수가 기함수일 수밖에 없다는 결론을 끌어내야 합니다.

11번 중상 (정적분을 포함한 등식) — 원래 등식과 미분한 등식을 함께 써야 합니다.

12번 중상 (절댓값 방정식의 실근 개수) — 접하는 조건을 찾는 문항입니다.

14번 중상 (적분으로 정의된 함수의 최솟값) — 구간별 적분과 미분이 이어집니다.

15번 중상 (극대·극소의 활용) — 절댓값 부등식 조건에서 근의 중복도를 따져 극대를 찾습니다.

16번 중상 (함수 구하기와 넓이) — 함수를 구하는 단계와 넓이 계산이 이어집니다.

나루고 수학Ⅱ 2학기 기말 대비 학습 순서

1. 평균값 정리 — 1번 대비. 앞 단원이지만 확보 구간.
2. 부정적분·정적분 기본 계산 — 2·3번 대비.
3. 위치와 위치의 변화량 — 6번 대비.
4. 극대·극소와 미정계수, 증가 조건 — 4·7번 대비.
5. 최대·최소의 활용(넓이) — 8번 대비.
6. 실근의 부호와 개수 — 10·12번 대비.
7. 정적분을 포함한 등식 — 5·11번 대비. 미분해서 쓰는 경우까지.
8. 정적분으로 정의된 함수의 극한·최솟값 — 13·14번 대비.
9. ★ 포물선과 직선 사이의 넓이 — 9·19번 대비. 서술형은 식을 직접 세우기.
10. 함수 구하기와 곡선의 넓이 — 16·18번 대비.
11. 극대·극소의 활용 — 15번 대비.
12. ★ 우함수·기함수의 정적분 — 17번 대비.
13. ★ 구간에서 부등식이 항상 성립할 조건 — 20번 서술형(8점) 대비.

자주 나오는 질문

나루고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 분석표 기준 20문항입니다. 정답 기록 기준 1~18번은 선택형, 19·20번은 서술형이며 배점 합계는 100점입니다.

서술형은 몇 점인가요?

19번 7점, 20번 8점으로 합계 15점입니다. 19번은 포물선과 직선 사이의 넓이, 20번은 구간에서 부등식이 항상 성립할 조건입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 08 정적분이 6문항으로 가장 많습니다. 05 도함수의 활용 (2)와 09 정적분의 활용이 각 4문항입니다.

가장 어려운 문항은 무엇인가요?

17번(우함수·기함수의 정적분) 이 유일한 상 문항입니다. 중상은 11·12·14·15·16번입니다.

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