능동고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년)

경기 화성시 능동고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 분석표 기준 21문항입니다. 적분 쪽(부정적분·정적분·정적분의 활용)이 13문항, 미분 쪽이 8문항이고, 09 정적분의 활용 한 단원에서만 7문항이 나왔습니다. 상 난이도 두 문항(15·17번)도 모두 정적분의 활용입니다.

핵심 요약

• 분석표 기준 21문항 — 정답 기록 기준 118번 선택형, 1921번 서술형 3문항
• 난이도: 하 4 / 중 8 / 중상 7 / 상 2(15·17번)
• 배치 단원: 09 정적분의 활용 7 / 06 도함수의 활용 (3) 4 / 08 정적분 4 / 05 도함수의 활용 (2) 3 / 07 부정적분 2 / 03 미분계수와 도함수 1
• 기말인데 앞 단원(03 미분계수와 도함수) 1문항(20번)이 함께 출제됨
• 운동(위치·속도) 관련 문항이 2·4·6·12·13번에 걸쳐 나옴

능동고 수학Ⅱ 2학기 기말은 어떤 시험인가

능동고등학교는 경기 화성시에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 분석표에 21문항이 기록되어 있고, 정답 기록을 보면 118번은 ①⑤ 선택형, 19·20·21번은 풀이를 쓰는 서술형입니다.

출제는 도함수의 활용 후반부와 적분 전체에 걸쳐 있습니다. 여기에 20번 서술형이 03 미분계수와 도함수 단원입니다. 극한 조건으로 함수를 정한 뒤 미분계수로 미정계수를 결정하는 문항이라, 2학기 중간 범위 내용을 기말에도 다시 확인해야 합니다.

2025학년 난이도 분포 — 하 4, 중 8, 중상 7, 상 2

하 4문항은 모두 5번 안에 있습니다. 부정적분 계산, 위치의 변화량, 정적분 계산, 정적분으로 정의된 함수의 극한처럼 공식 적용으로 끝나는 문항입니다.

13번부터 18번까지는 중상과 상만 나옵니다. 13·14·16·18번이 중상, 15·17번이 상입니다. 선택형 뒷부분 여섯 문항이 연속으로 어려운 구간이고, 그 뒤에 서술형 세 문항이 이어집니다. 서술형 중 19번은 중, 20·21번은 중상입니다.

출제 단원 — 정적분의 활용 7문항

09 정적분의 활용이 7문항으로 전체의 3분의 1입니다. 이 7문항 안에 하(2번)부터 상(15·17번)까지 다 들어 있고, 서술형 21번도 여기입니다.

미분 쪽 8문항은 05·06 단원이 7문항, 03 단원이 1문항입니다. 06 도함수의 활용 (3)의 4문항은 속도, 실근의 개수, 위치 그래프, 부등식 조건으로 소재가 모두 다릅니다.

눈에 띄는 흐름 — 위치와 속도

이 시험에는 직선 위를 움직이는 점의 위치·속도를 다루는 문항이 여러 단원에 걸쳐 있습니다.

• 2번 하 위치와 위치의 변화량(09 단원) — 속도를 적분해 위치를 구함
• 4번 중 속도(06 단원) — 속도 조건을 만족하는 시각을 구해 위치에 대입
• 6번 중 그래프에서의 위치와 움직인 거리(09 단원) — 속도 그래프의 넓이로 거리 계산
• 12번 중 위치의 그래프의 해석(06 단원) — 위치 그래프의 증감에서 속도와 거리를 읽음
• 13번 중상 속도·가속도와 운동 방향(08 단원) — 속도의 부호와 위치 적분을 함께 판단

미분으로 속도를 구하는 방향과 적분으로 위치·거리를 구하는 방향이 모두 나왔습니다. 위치의 변화량과 움직인 거리의 차이(절댓값 적분 여부) 를 정확히 구분하는 것이 다섯 문항의 공통 기본기입니다.

단원별 문항 정리 (2025 기출 기준)

1. 정적분의 활용 (2·6·8·14·15·17·21번) — 7문항

2번 하 위치와 위치의 변화량, 6번 중 그래프에서의 위치와 움직인 거리, 8번 중 포물선과 직선 사이의 넓이(1/6 공식), 14번 중상 곡선과 직선 사이의 넓이, 15번 상 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소와 곡선과 x축 사이의 넓이, 17번 상 사차함수가 극값을 가질 조건과 곡선과 x축 사이의 넓이, 21번 중상(서술형) 곡선과 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이.

8번은 교점과 부호를 확인한 뒤 넓이 조건에서 매개변수를 구하는 문항으로, 1/6 공식을 알면 계산이 짧아집니다. 14번은 구간별로 정의된 함수에서 넓이가 최대가 되는 경우를 묻습니다. 곡선 아래 넓이와 삼각형 넓이를 합쳐 식을 만든 뒤 미분으로 최댓값을 찾습니다.

21번 서술형은 곡선 위 점에서의 접선과 곡선이 만드는 넓이를 식으로 세우고, 자연수 조건의 부등식까지 이어지는 문항입니다.

2. 정적분 (3·5·13·16번) — 4문항

3번 하 정적분의 계산(적분 구간이 같은 경우), 5번 하 정적분으로 정의된 함수의 극한, 13번 중상 속도·가속도와 운동 방향 / 정적분을 포함한 등식, 16번 중상 정적분으로 정의된 함수의 극한.

5번과 16번은 같은 계열이지만 난이도가 다릅니다. 5번은 함숫값을 바로 대입하는 하 문항이고, 16번은 극한이 수렴하려면 분자가 0이어야 한다는 조건에서 출발해 여러 단계를 거칩니다. 13번은 보기 세 개를 각각 따로 판단하는 형태입니다.

3. 도함수의 활용 (3) (4·11·12·19번) — 4문항

4번 중 속도, 11번 중 방정식 f(x)=k의 실근의 개수, 12번 중 위치의 그래프의 해석, 19번 중(서술형) 모든 실수에서 부등식이 항상 성립할 조건.

11번은 삼차함수의 극값을 구해 실근의 개수 조건을 만족하는 정수 범위를 찾는 문항입니다. 19번 서술형은 함수의 최솟값을 도함수의 부호로 찾아 부등식이 항상 성립하는 조건을 정리하는 문항입니다.

4. 도함수의 활용 (2) (9·10·18번) — 3문항

9번 중상 함수의 최대·최소를 이용한 미정계수의 결정, 10번 중 최대·최소의 활용(직사각형의 넓이), 18번 중상 함수의 극대·극소의 활용.

9번은 구간 안의 임계점을 모두 확인해 최댓값과 최솟값의 합에서 상수를 구합니다. 18번은 절댓값이 붙은 삼차함수가 극대를 두 번 갖는 조건을 다룹니다.

5. 부정적분 (1·7번) — 2문항

1번 하 부정적분의 계산, 7번 중 부정적분과 접선의 기울기. 7번은 도함수를 적분한 뒤 지나는 점으로 적분상수를 정하는 문항입니다.

6. 미분계수와 도함수 (20번) — 1문항, 서술형

20번 중상 미분계수를 이용한 미정계수의 결정. 무한대로 갈 때의 극한에서 함수의 차수와 계수를 정하고, 유한한 극한 조건과 미분계수로 나머지 계수를 연립해 구하는 서술형입니다.

주의 문항 — 상 2, 중상 7

15번 상 (정적분으로 정의된 함수의 극값과 넓이) — 적분으로 정의된 함수를 미분해 극값 조건을 따지고, 경우를 골라낸 뒤 넓이까지 계산합니다.

17번 상 (절댓값 사차함수와 넓이) — 절댓값을 씌운 함수가 미분가능하려면 중근이 필요하다는 점에서 출발해 경우를 나누고, 부호별로 넓이를 계산합니다.

13·16번 중상 (정적분) — 보기 판단형과 극한 조건형입니다.

14번 중상 (넓이의 최댓값) — 넓이 식을 세운 뒤 다시 미분하는 문항입니다.

9·18번 중상 (최대·최소, 극대·극소) — 미정계수 결정과 절댓값 삼차함수입니다.

20·21번 중상 (서술형) — 풀이 과정을 써야 하므로 식을 세우는 근거를 빠짐없이 적어야 합니다.

능동고 수학Ⅱ 2학기 기말 대비 학습 순서

1. 부정적분·정적분 기본 계산 — 1·3번 대비. 확보 구간.
2. 정적분으로 정의된 함수의 극한 — 5·16번 대비. 분자가 0이 되는 조건까지.
3. ★ 위치·속도·움직인 거리 — 2·4·6·12·13번 대비. 변화량과 거리 구분.
4. 부정적분과 접선의 기울기 — 7번 대비.
5. 함수의 최대·최소와 미정계수 — 9·10번 대비.
6. 절댓값 삼차함수의 극대·극소 — 18번 대비.
7. 실근의 개수와 부등식이 항상 성립할 조건 — 11·19번 대비.
8. 포물선과 직선 사이의 넓이, 1/6 공식 — 8번 대비.
9. 곡선과 직선·접선 사이의 넓이 — 14·21번 대비.
10. ★ 정적분으로 정의된 함수의 극값과 넓이 — 15번 대비.
11. ★ 절댓값 사차함수와 넓이 — 17번 대비.
12. 미분계수로 미정계수 결정하기 — 20번 대비. 중간 범위 복습.

자주 나오는 질문

능동고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 분석표 기준 21문항입니다. 정답 기록 기준 118번은 선택형, 1921번은 서술형입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 09 정적분의 활용이 7문항으로 가장 많습니다. 06 도함수의 활용 (3)과 08 정적분이 각 4문항입니다.

중간고사 범위도 나오나요?

배치 단원 기준으로 03 미분계수와 도함수가 1문항(20번 서술형) 나왔습니다.

가장 어려운 문항은 무엇인가요?

15번과 17번이 상 난이도이며 둘 다 정적분의 활용 단원입니다. 13~18번이 모두 중상 이상입니다.

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