인천하늘고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년, 인천 중구)

인천하늘고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 분석표 기준 20문항입니다. 배치 단원은 도함수의 활용 (2)·(3)과 부정적분·정적분·정적분의 활용입니다. 이 시험은 한 유형이 지배합니다. 방정식 f(x)=k의 실근의 개수가 20문항 중 5문항이고, 그중 세 문항이 서술형과 상 난이도 자리에 있습니다.

핵심 요약

• 분석표 기준 20문항 — 정답 기록상 117번 선택형, **1820번 서술형 3문항**
• 난이도: 하 1 / 중 10 / 중상 7 / 상 2
• 배치 단원: 06 도함수의 활용 (3) 7 / 05 도함수의 활용 (2) 6 / 08 정적분 5 / 07 부정적분 1 / 09 정적분의 활용 1
• 최다 반복 유형: 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 5회(5·12·17·19·20번)
• 상 난이도: 17번, 20번 — 둘 다 실근의 개수

인천하늘고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가

인천하늘고등학교는 인천 중구에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 분석표 기준 20문항이고, 정답 기록을 보면 117번이 선택형, 1820번이 답을 직접 쓰는 서술형입니다.

기말 범위에 적분 단원이 포함돼 있지만, 실제 배치는 미분 쪽이 13문항(도함수의 활용 (2) 6, (3) 7)으로 훨씬 많습니다. 적분 쪽은 정적분 5문항, 부정적분 1문항, 정적분의 활용은 7번 한 문항입니다. 접선을 다루는 도함수의 활용 (1)은 0문항입니다.

기말이라고 적분만 준비하면 크게 손해를 보는 구성입니다. 극대·극소와 실근의 개수를 그래프로 해석하는 힘이 점수를 결정합니다.

2025학년 난이도 분포 — 하 1문항뿐

하 난이도는 1번 하나입니다. 극소점의 조건으로 두 상수를 구하는 문항입니다. 2번부터는 중 이상이 이어집니다.

2~7번 여섯 문항은 모두 중입니다. 여기까지를 안정적으로 맞히는 것이 기본이고, 8번부터 중상이 섞이기 시작합니다. 8·10·11번, 14·15·16번이 중상이고, 17번이 선택형 마지막 상 문항입니다.

서술형은 18번 중, 19번 중상, 20번 상으로 번호가 올라갈수록 어려워집니다.

출제 단원 — 미분 13문항, 적분 7문항

도함수의 활용 (3) 7문항 중 다섯이 실근의 개수, 둘이 속도·가속도입니다. 상 난이도 두 문항(17·20번)도 모두 이 단원입니다.

정적분 5문항은 중 3, 중상 2이고 모두 정적분을 포함한 등식이거나 정적분으로 정의된 함수를 다룹니다. 단순 계산 문항은 14번 하나이고, 그마저 중상입니다.

시그니처 유형 — 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 5회

방정식 f(x)=k의 실근의 개수가 5·12·17·19·20번 다섯 문항에 나왔습니다. 난이도가 중 → 중 → 상 → 중상 → 상으로 올라갑니다.

• 5번(중) 도함수의 부호로 극댓값과 극솟값을 구하고, 서로 다른 세 실근을 갖게 하는 정수의 개수를 셉니다. 경계값은 포함되지 않습니다.
• 12번(중) 부등식을 만족하는 0 이상의 실수가 유한 개(두 개)라는 조건을 단근과 중근으로 해석하고, 중근의 위치와 함숫값을 구합니다.
• 17번(상) 연속과 좌우 미분계수 일치 조건으로 사차함수의 근 구조를 정하고, 도함수를 구간별로 나눠 실근의 개수를 분석합니다.
• 19번(중상, 서술형) 절댓값 함수의 미분가능성과 극한 조건으로 사차함수가 두 중근을 갖는 구조를 정하고, 수평선과 네 점에서 만나는 범위의 정수를 모두 더합니다.
• 20번(상, 서술형) 절댓값 함수의 극대와 미분 불가능한 점의 위치로 원래 함수의 모양을 추론하고, 경우를 나눠 실근의 개수를 합산합니다.

공통 도구는 극댓값·극솟값을 구하고 수평선 y=k를 위아래로 움직여 교점 수를 세는 것입니다. 19·20번은 여기에 절댓값으로 그래프를 꺾는 과정이 더해집니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 도함수의 활용 (2) (1·8·9·15·16·18번) — 6문항

1번 하 함수의 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정, 8번 중상 함수의 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정, 9번 중 함수의 극대·극소의 활용, 15번 중상 함수의 극대·극소의 활용, 16번 중상 함수의 극대·극소의 활용, 18번 중(서술형) 주어진 구간에서 삼차함수가 증가 또는 감소하기 위한 조건.

1번은 극소점에서 도함수값과 함숫값 두 조건을 연립해 두 상수를 구합니다.

8번 중상은 직선과 두 점에서 만난다는 조건으로 중근을 갖는 두 가지 경우를 세우고, 주어진 극소점 조건으로 하나를 골라 극댓값을 구합니다.

9번은 곱의 부호 조건으로 단근과 중근의 위치를 정하고, 극대가 되는 점을 찾습니다.

15번 중상은 접선의 절편에 절댓값을 씌운 거리 함수를 만들고, 꺾이는 점과 극값을 모두 조사해 극값의 합 조건으로 양수 매개변수를 구합니다.

16번 중상은 삼차함수의 극대·극소와 근의 개수로 미분 불가능한 점의 개수를 따지고, 가능한 두 삼차함수를 비교해 최댓값을 구합니다.

18번 서술형은 적분으로 정의된 함수가 구간에서 증가하도록 도함수가 그 구간에서 0 이상이라는 조건을 세우고, 양 끝 도함숫값을 비교해 상수의 최솟값을 구합니다.

2. 도함수의 활용 (3) (2·5·10·12·17·19·20번) — 7문항

실근의 개수 5문항은 위 시그니처 유형에서 정리했습니다. 나머지 두 문항은 속도·가속도입니다.

2번 중 속도·가속도와 운동 방향 — 속도가 0이 되는 시각 가운데 0 이상인 것을 고르고, 실제로 부호가 바뀌는지 확인한 뒤 그때의 가속도를 구합니다.

10번 중상 속도·가속도와 운동 방향 — 구간이 나뉜 속도 함수에서 이어지는 점의 속도와 가속도가 같다는 조건으로 두 상수를 정하고, 운동 방향이 바뀌는 횟수와 시각별 속도로 보기를 판정합니다.

3. 부정적분 (3번) — 1문항

3번 중 함수와 부정적분 사이의 관계식이 주어질 때 함수 구하기. 관계식을 미분해 도함수를 구하고, 주어진 함숫값으로 적분상수를 정합니다.

4. 정적분 (4·6·11·13·14번) — 5문항

4번 중 정적분을 포함한 등식; 아래끝과 위끝이 상수인 경우, 6번 중 정적분을 포함한 등식; 아래끝 또는 위끝에 변수가 있는 경우, 11번 중상 정적분을 포함한 등식; 아래끝 또는 위끝과 피적분함수에 변수가 있는 경우, 13번 중 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소, 14번 중상 정적분의 계산; 구간에 따라 다르게 정의된 함수.

4번은 상수 구간의 정적분을 한 문자로 놓고 다시 대입해 일차방정식으로 풉니다.

6번은 아래끝 조건으로 매개변수 후보를 구한 뒤, 절댓값 함수가 전 구간에서 0 이상이라는 조건으로 후보를 거릅니다.

11번 중상은 적분으로 정의된 함수의 극한값이 유한하다는 조건에서 함숫값과 미분계수를 끌어내고, 필요한 적분값을 구합니다.

13번은 적분으로 정의된 함수의 극값이 하나뿐이라는 조건으로 피적분함수의 근 위치를 정합니다.

14번 중상은 어떤 구간까지의 최댓값으로 정의된 함수를 원래 함수 부분과 상수 부분으로 나눠 그리고, 극댓값을 다시 넘는 시각에서 적분 구간을 나눠 계산합니다.

5. 정적분의 활용 (7번) — 1문항

7번 중 두 곡선 사이의 넓이. 대칭의 중심과 주어진 근으로 삼차함수를 정하고, 두 곡선의 교점과 위아래로 구간을 나눠 넓이를 구합니다.

주의 문항 — 상 2문항, 중상 7문항

17번 상 (실근의 개수) — 구간별로 정의된 사차함수의 도함수를 나눠 분석해야 합니다. 선택형 마지막 문항입니다.

20번 상 (서술형, 실근의 개수) — 절댓값 그래프에서 원래 함수의 모양을 거꾸로 추론하는 문항입니다.

15·16번 중상 (극대·극소의 활용) — 절댓값과 미분 불가능한 점이 함께 나옵니다. 17번 바로 앞이라 시간 배분이 중요합니다.

19번 중상 (서술형, 실근의 개수) — 네 교점 조건에서 범위의 경계 포함 여부를 정확히 따져야 합니다.

인천하늘고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서

1. 극소점 조건으로 미정계수 구하기 — 1번 확보, 8번까지 연결.
2. 속도·가속도와 운동 방향 — 2·10번 대비.
3. 함수와 부정적분 관계식 — 3번 대비.
4. 정적분을 포함한 등식(상수 구간·변수 구간) — 4·6·11번 대비.
5. ★ 극댓값·극솟값과 수평선으로 실근 개수 세기 — 5·12번 대비.
6. 곱의 부호 조건과 단근·중근 — 9·12번 대비.
7. 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소 — 13번 대비.
8. 구간별로 정의된 함수의 정적분 — 14번 대비.
9. 두 곡선 사이 넓이 — 7번 대비.
10. 구간에서 증가할 조건 — 18번 서술형 대비.
11. 절댓값이 붙은 함수의 극값과 미분 불가능한 점 — 15·16번 대비.
12. ★ 절댓값 함수의 실근 개수(사차·구간별 함수) — 17·19·20번 대비.

자주 나오는 질문

인천하늘고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 분석표 기준 20문항입니다. 정답 기록상 117번은 선택형, 1820번은 서술형입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 도함수의 활용 (3) 7문항, 도함수의 활용 (2) 6문항 순입니다. 정적분 5문항, 부정적분과 정적분의 활용은 각 1문항입니다.

가장 많이 나온 유형은 무엇인가요?

방정식 f(x)=k의 실근의 개수가 5문항(5·12·17·19·20번)입니다. 상 난이도 두 문항과 서술형 두 문항이 이 유형입니다.

기말인데 적분은 얼마나 나오나요?

부정적분 1, 정적분 5, 정적분의 활용 1로 적분 쪽은 7문항입니다. 나머지 13문항이 도함수의 활용입니다.

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