인천해송고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년, 인천 연수구)

인천해송고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 분석표 기준 21문항입니다. 배치 단원은 도함수의 활용 (2)·(3), 부정적분, 정적분, 정적분의 활용이 중심이고, 앞 단원(03 미분계수와 도함수) 1문항이 함께 나왔습니다. 가장 큰 특징은 서술형 비중입니다. 정답 기록상 15~21번 7문항이 서술형입니다.

핵심 요약

• 분석표 기준 21문항 — 정답 기록상 114번 선택형, **1521번 서술형 7문항**
• 난이도: 하 4 / 중 7 / 중상 8 / 상 2
• 배치 단원: 05 도함수의 활용 (2) 6 / 09 정적분의 활용 6 / 08 정적분 4 / 06 도함수의 활용 (3) 2 / 07 부정적분 2 / 03 미분계수와 도함수 1
• 반복 유형: 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소(13·19번)
• 상 난이도: 14번(선택형 마지막), 19번(서술형)

인천해송고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가

인천해송고등학교는 인천 연수구에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 분석표 기준 21문항이고, 정답 기록을 보면 114번이 선택형, 1521번이 답을 직접 쓰는 서술형입니다. 서술형이 전체의 3분의 1입니다.

단원은 도함수의 활용 (2)와 정적분의 활용이 각 6문항으로 가장 많고, 정적분 4문항이 뒤따릅니다. 도함수의 활용 (3)과 부정적분은 2문항씩입니다. 접선을 다루는 도함수의 활용 (1)은 0문항입니다.

10번은 앞 단원인 03 미분계수와 도함수에서 나왔습니다. 미분가능성과 연속성을 묻는 중상 문항이라, 기말 대비라도 절댓값 함수의 미분가능 조건은 다시 정리해 두어야 합니다.

2025학년 난이도 분포 — 서술형 7문항의 난이도가 넓게 퍼짐

선택형 1~7번은 하 3, 중 4로 무난합니다. 그런데 8번부터 14번까지 일곱 문항이 모두 중상 이상입니다(8~13번 중상, 14번 상). 선택형 후반부가 연속으로 어렵습니다.

서술형 7문항은 하 1(15번), 중 3(16·17·20번), 중상 2(18·21번), 상 1(19번) 로 고르게 퍼져 있습니다. 서술형 중 15·16·17·20번 네 문항은 중 이하라 반드시 점수로 바꿔야 하는 구간입니다.

시간 배분이 이 시험의 핵심입니다. 8~14번에서 시간을 다 쓰면 서술형 일곱 문항을 쓸 시간이 부족해집니다.

출제 단원 — 도함수의 활용 (2)·정적분의 활용 각 6문항

도함수의 활용 (2) 6문항 중 3문항이 서술형(16·18·20번)입니다. 극대·극소 계수 결정, 극대·극소의 활용, 부피의 최대가 서술형으로 나왔습니다.

정적분의 활용 6문항은 넓이 4문항(2·6·9·17번)과 운동 2문항(8·21번)입니다.

반복 유형 — 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소

정적분으로 정의된 함수의 극대·극소가 13번(중상)과 19번(상, 서술형) 에 나왔습니다.

• 13번 도함수의 절댓값을 부호가 바뀌는 구간별로 적분하고, 최솟값 조건으로 상수의 경계를 구한 뒤 극대가 존재하는 조건으로 보기를 판정합니다.
• 19번 적분식을 미분해 원래 함수와 도함수의 관계를 구하고, 극값이 하나뿐이라는 조건으로 부호 배치를 하나로 정한 뒤 절댓값 적분을 구간별로 계산합니다.

두 문항 모두 “적분으로 정의된 함수를 미분하면 피적분함수” 라는 출발점은 같습니다. 그 뒤 피적분함수의 부호 변화로 극값을 판단하는 과정이 핵심입니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 미분계수와 도함수 (10번) — 앞 단원 1문항

10번 중상 미분가능성과 연속성. 평균변화율이 일정하다는 조건으로 일차함수를 정하고, 절댓값이 씌워진 함수가 모든 실수에서 미분가능하도록 삼차식이 삼중근 구조를 가져야 한다는 점을 이용합니다. 교점 조건으로 함수를 구한 뒤 함숫값의 곱을 계산합니다.

2. 도함수의 활용 (2) (3·4·14·16·18·20번) — 6문항

3번 하 함수의 최대·최소, 4번 중 함수의 극대·극소, 14번 상 함수의 최대·최소를 이용한 미정계수의 결정, 16번 중(서술형) 함수의 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정, 18번 중상(서술형) 함수의 극대·극소의 활용, 20번 중(서술형) 최대·최소의 활용; 부피.

3번은 구간 안의 극값과 양 끝값을 비교해 최댓값과 최솟값의 합을 구합니다.

4번은 도함수의 세 근 중 극소가 되는 두 점을 부호로 골라 함숫값의 차를 구합니다.

14번 상은 사차함수의 극소점을 모두 조사한 뒤, 매개변수의 부호에 따라 경우를 나눠 주어진 최솟값 조건을 만족하는 매개변수를 찾습니다.

16번 서술형은 증가·감소가 바뀌는 경계로 도함수의 인수를 세우고, 극댓값 조건으로 최고차항 계수를 정해 극솟값을 구합니다.

18번 서술형 중상은 미분 불가능한 점이 하나뿐이라는 조건에서 삼중근 구조를 이끌어내고, 매개변수를 정한 뒤 극솟값을 구합니다.

20번 서술형은 반구 안에 들어가는 원기둥의 반지름과 높이 관계로 부피 함수를 세우고, 부피가 최대일 때의 높이로 비율을 계산합니다.

3. 도함수의 활용 (3) (1·12번) — 2문항

1번 하 속도, 12번 중상 두 그래프의 교점의 개수.

12번 중상은 절댓값 함수를 경우별로 나누고 각 부분의 극값과 꺾이는 점의 높이를 조사합니다. 그 높이들을 기준으로 교점 개수를 세고, 교점이 두 개가 되는 매개변수만 골라 더합니다.

4. 부정적분 (11·15번) — 2문항

11번 중상 함수와 부정적분 사이의 관계식이 주어질 때 함수 구하기, 15번 하(서술형) 도함수가 주어질 때 함수 구하기.

11번 중상은 관계식을 미분해 계수를 정한 뒤, 서로 다른 두 양의 실근 조건을 판별식과 두 근의 곱으로 바꿔 정수의 개수를 셉니다.

15번 서술형은 도함수를 적분하고 주어진 점의 함숫값으로 적분상수를 정하는 기본형입니다.

5. 정적분 (5·7·13·19번) — 4문항

5번 중 정적분으로 정의된 함수의 극한, 7번 중 우함수·기함수의 정적분; 피적분함수가 주어지지 않은 경우, 13·19번 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소(위 반복 유형 참고).

5번은 아래끝의 함숫값으로 상수를 정하고, 정적분 꼴의 극한을 미분계수로 바꿔 계산합니다.

7번은 이차함수의 대칭축을 기준으로 주어진 두 적분값을 결합해 원하는 식을 정리합니다.

6. 정적분의 활용 (2·6·8·9·17·21번) — 6문항

2번 하 포물선과 직선 사이의 넓이; 1/6 공식, 6번 중 곡선과 x축 사이의 넓이, 8번 중상 그래프에서의 위치와 움직인 거리, 9번 중상 함수와 역함수의 그래프의 y=x 대칭을 이용한 넓이, 17번 중(서술형) 곡선과 직선 사이의 넓이, 21번 중상(서술형) 위치와 위치의 변화량.

6번은 평행이동하기 전과 후의 함수에서 두 구간의 넓이를 합쳐 계산합니다.

8번 중상은 실제 속도 그래프의 꺾이는 점마다 적분해 위치를 구하고, 원점을 지나는 횟수, 가속도, 이동 거리에 대한 보기를 판정합니다.

9번 중상은 역함수 대칭과 두 직선의 대칭으로 도형을 둘로 나눈 뒤 넓이를 구합니다.

17번 서술형은 원점에 대칭인 두 영역의 넓이를 양의 교점까지 적분해 합산합니다.

21번 서술형 중상은 출발 시각이 다른 두 점의 위치 함수를 각각 적분으로 구하고, 출발 후 처음 만나는 시각을 찾습니다.

주의 문항 — 상 2문항, 중상 8문항

14번 상 (최대·최소를 이용한 미정계수) — 매개변수 부호별 경우 나누기가 핵심입니다.

19번 상 (서술형, 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소) — 서술형 중 가장 어렵습니다.

8~13번 중상 여섯 문항 연속 — 운동, 역함수 넓이, 미분가능성, 부정적분과 실근 조건, 교점 개수, 정적분 함수의 극값이 이어집니다.

18·21번 중상 (서술형) — 삼중근 구조, 두 점의 만남. 서술형이라 과정까지 써야 합니다.

인천해송고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서

1. 속도, 1/6 공식 넓이, 닫힌구간 최대·최소 — 1·2·3번 확보.
2. 도함수로 함수 구하기 — 15번 서술형 확보.
3. 극대·극소 판정과 극값 차 — 4번 대비.
4. 증감 구간으로 도함수 세우기, 극댓값으로 계수 결정 — 16번 서술형 대비.
5. ★ 반구 안 원기둥 부피의 최대 — 20번 서술형 대비.
6. 정적분 꼴의 극한, 대칭축을 이용한 정적분 — 5·7번 대비.
7. 곡선과 x축 사이 넓이, 대칭 영역 넓이 — 6·17번 대비.
8. 절댓값 함수의 미분가능성(앞 단원) — 10·18번 대비.
9. 속도 그래프 해석, 두 점의 만남 — 8·21번 대비.
10. 역함수 대칭 넓이 — 9번 대비.
11. 부정적분 관계식과 실근 조건 — 11번 대비.
12. 절댓값 함수와 교점의 개수 — 12번 대비.
13. ★ 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소 — 13·19번 대비.
14. 사차함수의 최솟값과 매개변수 — 14번 대비.

자주 나오는 질문

인천해송고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 분석표 기준 21문항입니다. 정답 기록상 114번은 선택형, 1521번은 서술형입니다.

서술형이 몇 문항인가요?

정답 기록 기준 7문항(15~21번)입니다. 하 1, 중 3, 중상 2, 상 1로 난이도가 고르게 퍼져 있습니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 도함수의 활용 (2)와 정적분의 활용이 각 6문항입니다. 정적분 4문항, 도함수의 활용 (3)과 부정적분 각 2문항, 미분계수와 도함수 1문항입니다.

앞 단원 문항도 나오나요?

10번 1문항이 앞 단원인 03 미분계수와 도함수로 분류됩니다. 미분가능성과 연속성을 묻는 중상 문항입니다.

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