광명고 3학년 1학기 기말고사 미적분 기출 분석 (2025학년)
광명고 3학년 1학기 기말고사 미적분은 2025학년 기준 총 20문항. 출제 범위는 도함수의 활용 ~ 정적분의 활용 로, 미적분 교과의 후반부인 III단원(미분법 활용)과 IV단원(적분법) 전체가 대상입니다. 광명고 3학년 1학기 기말 미적분 시험에서 가장 눈에 띄는 것은 하 난이도가 단 한 문항도 없다는 점입니다. 20문항 전부가 중 이상이고, 그중 중상이 12문항입니다.
핵심 요약
- 20문항 — 객관식 19문항(1~19번) + 서술형 1문항(20번)
- 난이도: 하 0 / 중 4 / 중상 12 / 상 4
- 배치 단원: 07 도함수의 활용(2) 6 / 09 치환적분법과 부분적분법 6 / 10 정적분의 활용 5 / 06 도함수의 활용(1) 3
- 적분 파트(09+10)가 11문항(55%)으로 과반
- 상 4문항: 13번(정적분 등식) · 15번(움직인 거리) · 17번(삼각함수 치환적분) · 19번(두 곡선 사이의 넓이)
광명고 미적분 1학기 기말은 어떤 시험인가
광명고등학교는 경기도 광명시에 위치한 일반계 고등학교입니다. 2025학년 3학년 1학기 기말고사 미적분은 총 20문항으로, 1~19번이 객관식, 20번 한 문항이 소문항 두 개를 요구하는 서술형입니다.
범위는 도함수의 활용(1) → 도함수의 활용(2) → 여러 가지 함수의 적분법 → 치환적분법과 부분적분법 → 정적분의 활용 입니다. 미분법 자체(합성함수·역함수·매개변수 미분)는 독립 문항 대신 다른 유형 안에 계산 도구로 섞여 들어갔고, 평가의 무게중심은 적분 쪽에 있습니다.
2025학년 난이도 분포 — 하 난이도 0문항
| 난이도 | 문항 수 | 비중 |
|---|---|---|
| 하 | 0 | 0% |
| 중 | 4 | 20% |
| 중상 | 12 | 60% |
| 상 | 4 | 20% |
기출 분석에서 하 난이도가 아예 없는 시험은 흔치 않습니다. 가장 쉬운 축이 1번(접점이 주어진 접선의 방정식)·2번(역함수 그래프의 접선)·3번(유리함수를 항별로 분해)·6번(치환으로 지수 형태 단순화) 네 문항이고, 이마저도 중 난이도입니다.
즉 “실수만 안 하면 맞는 문제”가 없는 구조입니다. 4번부터 20번까지 16문항이 중상 이상이라, 문제당 소요 시간이 균등하게 길어집니다. 고3 1학기 기말답게 시간 압박이 실제 변별 요소로 작동합니다.
출제 단원 — 적분 파트가 11문항(55%)
| 배치 중단원 | 문항 수 | 비중 |
|---|---|---|
| 07 도함수의 활용 (2) | 6 | 30% |
| 09 치환적분법과 부분적분법 | 6 | 30% |
| 10 정적분의 활용 | 5 | 25% |
| 06 도함수의 활용 (1) | 3 | 15% |
미분 파트(06+07) 9문항 vs 적분 파트(09+10) 11문항 으로 적분이 앞섭니다. 특히 치환적분법과 부분적분법 6문항 + 정적분의 활용 5문항이 시험의 절반을 넘습니다.
도함수의 활용(1)은 접선의 방정식(1·2번)과 삼각함수의 극대·극소(18번) 3문항으로 비교적 가볍게 다뤄졌고, 도함수의 활용(2)는 변곡점·최대최소·실근 개수·부등식·속도가속도까지 6문항으로 넓게 퍼졌습니다.
광명고 미적분 3-1 기말의 시그니처 — 적분 기법의 전 종목 출제
치환적분·부분적분 관련 코드를 보면 거의 겹치지 않고 종류별로 하나씩 나왔습니다.
- 유리함수의 부정적분, 분자 차수 ≥ 분모 차수 — 3번
- 치환적분법을 이용한 정적분(지수·로그) — 6번
- ∫ f’(x)/f(x) dx 꼴 — 12번
- 치환적분법(삼각함수) — 17번
- 삼각함수를 이용한 치환적분법 — 20번
- 유리함수의 부정적분, 분자 차수 < 분모 차수 — 20번
- 부분적분법 — 6·8·19번
적분 기법을 하나라도 빼먹으면 그 문항은 통째로 못 푸는 구조입니다. 특정 유형을 반복 출제해서 변별하는 방식이 아니라, 넓게 다 물어보는 방식입니다.
2회 이상 반복된 코드는 다음 정도입니다.
- No.4133 변곡점 — 4·9번
- No.4139 로그함수의 최대·최소 — 11·14번
- No.4152 삼각함수의 정적분 — 10·17번
- No.4093 삼각함수의 도함수 — 1·5번
- No.4100 부분적분법을 이용한 정적분 — 6·19번
★ 빈출 유형 (2025학년 실제 기출 기준)
1. 치환적분·부분적분 계산 (3·6·8·12·17·19·20번) — ★ 7문항
3번 중(유리함수 항별 분해), 6번 중(치환 + 부분적분), 8번 중상(급수를 정적분으로 변환 후 부분적분), 12번 중상(f’/f 꼴), 17번 상(삼각함수 치환 + 우함수·기함수), 19번 상(부분적분으로 넓이 계산), 20번 중상 서술(삼각함수 치환 + 부분분수). 적분 기법 훈련의 폭이 그대로 점수가 됩니다.
2. 변곡점과 극대·극소 (4·9·11·18번) — ★ 4문항
4번 중상(변곡점은 f”=0의 부호 변화점, 지수함수 결합), 9번 중상(변곡점 좌표 산출, 유리함수 몫의 미분법), 11번 중상(로그 포함 함수의 최대), 18번 중상(삼각함수의 극대·극소, 덧셈정리 결합). 2계 도함수를 쓰는 문제가 꾸준히 나옵니다.
3. 정적분의 활용 — 넓이·부피·길이·거리 (8·15·16·19·20번) — ★ 5문항
8번 중상(정적분과 급수의 합), 15번 상(평면 위에서 점이 움직인 거리, 매개변수 미분), 16번 중상(단면적 적분으로 입체도형의 부피), 19번 상(두 곡선 사이의 넓이), 20번 중상 서술(곡선 y=f(x)의 길이). 활용 공식 다섯 종류가 하나씩 다 나왔습니다. 넓이만 연습하고 부피·길이·거리를 빼면 3문항을 잃습니다.
4. 실근 개수·부등식 조건 (7·14·19번) — ▲ 3문항
7번 중상(f(x)=k의 실근 개수 판정, 로그함수 극대·극소), 14번 중상(부등식이 항상 성립할 미정계수 조건), 19번 상(f(x)=g(x)의 실근 개수와 넓이 결합). 그래프 개형을 그려 조건을 세우는 사고가 반복 요구됩니다.
5. 접선의 방정식 (1·2번) — ▲ 2문항
1번 중(접점이 주어진 경우, 삼각함수 도함수), 2번 중(역함수 그래프의 접선, 곡선 밖 한 점). 시험 초반 두 문항으로, 이 시험에서 가장 안정적으로 확보할 수 있는 구간입니다.
주의할 상 난이도 4문항
| 번호 | 난이도 | 핵심 내용 | 답 |
|---|---|---|---|
| 13 | 상 | 적분 구간·피적분함수에 변수가 있는 등식 | ① |
| 15 | 상 | 평면 위 점이 움직인 거리 (매개변수 미분 + 삼각함수 치환적분) | ④ (제시) |
| 17 | 상 | 삼각함수 치환적분 + 우함수·기함수의 정적분 | ③ |
| 19 | 상 | 두 곡선 사이의 넓이 + 실근 개수 + 부분적분 | ④ |
상 4문항 중 3문항(15·17·19번)이 적분 쪽입니다. 13번은 정적분을 포함한 등식에서 아래끝(또는 위끝)과 피적분함수 양쪽에 변수가 들어 있는 형태로, 양변을 미분해 함수를 확정하는 표준 절차를 정확히 밟아야 합니다.
참고로 15번은 문두의 구간 t=0~π로 계산했을 때 실제 값이 36으로 나와 제시된 선지와 맞지 않는 것으로 분석됐습니다. 실전에서 이런 문항을 만나면 계산을 두 번 확인하되 오래 붙들지 말고 넘어가는 판단이 필요합니다.
선수 학습에서 발목 잡히는 부분
이 시험의 선수 코드는 수학Ⅱ(MJ 계열)가 17회로 압도적입니다.
- 속도(MJ-3715) — 5·15번
- 도함수가 주어질 때 함수 구하기(MJ-3735) — 12·17번
- 미적분의 기본정리(MJ-3757) — 10·20번
- 제곱근의 성질(M31-1907) — 7·15·16번
- 정적분을 포함한 등식(MJ-3768) — 13번
- 우함수·기함수의 정적분(MJ-3766) — 17번
즉 미적분 심화 이전에 수학Ⅱ의 정적분 기본 골격이 그대로 소환됩니다. 특히 13번(정적분 등식)·17번(우함수·기함수)은 수학Ⅱ에서 이미 배운 틀에 미적분 계산을 얹은 형태입니다. 미적분 문제집만 붙들지 말고 수학Ⅱ 적분 파트를 한 번 훑고 들어가는 편이 효율적입니다.
그 밖에 역함수(GS2-3335·3354), 부분분수 변형(GS2-3358), 유리식 계산(GS2-3362) 같은 고1 함수 도구도 계속 필요합니다.
학생·학부모가 체크할 포인트
- 하 난이도 0문항 — 초반부터 계산량이 많습니다. 20문항을 시간 안에 도는 훈련 자체가 대비의 한 축입니다.
- 적분이 11문항(55%) — 미분 파트만 대비하면 절반을 놓칩니다. 치환·부분적분 기법을 종류별로 다 정리해야 합니다.
- 정적분의 활용 공식 5종이 하나씩 다 출제 — 넓이·부피·곡선의 길이·움직인 거리·급수와 정적분. 어느 하나도 버릴 수 없습니다.
- 서술형은 20번 한 문항 — 곡선의 길이 공식을 세우고 삼각함수 치환·부분분수로 적분을 마무리하는 문제입니다(답 (1) ½ln{(1+sin t)/(1-sin t)}, (2) ln 2). 배점이 몰려 있으므로 공식 유도 과정을 정확히 써야 합니다.
남은 학기 대비 학습 순서 제안
- 수학Ⅱ 정적분 기본 골격 복습 — 미적분의 기본정리, 정적분을 포함한 등식, 우함수·기함수
- ★ 적분 기법 종류별 정리 — 유리함수 부정적분(차수 두 경우), 지수·로그 치환, f’/f 꼴, 삼각함수 치환, 부분적분
- ★ 정적분의 활용 5종 공식 암기와 적용 — 넓이 / 입체도형의 부피 / 곡선의 길이 / 평면 위 점이 움직인 거리 / 급수와 정적분
- 변곡점·극대극소 그래프 개형 훈련 — 4·9·11·18번 유형, 2계 도함수 부호 변화
- 실근 개수·부등식 조건 세우기 — 7·14·19번 유형, 그래프 교점으로 환원
- 광명고 2025학년 1학기 기말 기출 실전 풀이 — 20문항 시간 배분, 계산 실수 점검
자주 나오는 질문
광명고 3학년 1학기 기말 미적분은 어디까지 나오나요?
도함수의 활용 ~ 정적분의 활용 까지입니다. 도함수의 활용(1)·(2), 여러 가지 함수의 적분법, 치환적분법과 부분적분법, 정적분의 활용이 모두 범위이고, 실제로 정적분의 활용 5문항이 출제됐습니다.
어느 단원이 제일 많이 나오나요?
도함수의 활용(2)와 치환적분법·부분적분법이 각각 6문항으로 가장 많고, 정적분의 활용이 5문항입니다. 적분 파트를 합치면 11문항(55%) 입니다.
난이도는 어느 정도인가요?
하 난이도가 0문항, 중상이 12문항(60%), 상이 4문항(20%)입니다. 쉬운 문제가 없어 전 구간에서 계산 정확도가 요구됩니다.
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