고양일고 1학년 2학기 중간고사 공통수학2 기출 분석 (2025학년)

고양일고 1학년 2학기 중간고사 공통수학2는 2025학년 기준 총 22문항입니다. 출제 범위는 평면좌표부터 집합까지로, 도형의 방정식 전 단원(평면좌표·직선·원·도형의 이동)과 집합의 뜻과 표현·집합의 연산이 들어갑니다. 고양일고 1학년 2학기 중간 공통수학2의 무게중심은 명확합니다. 22문항 중 원의 방정식이 6문항으로 가장 많고, 그중 4문항이 16~19번에 연속 배치돼 있습니다.

핵심 요약

• 22문항, 난이도 하 3 / 중 10 / 중상 7 / 상 2
• 출제 단원: 03 원의 방정식(6) / 06 집합의 연산(4) / 04 도형의 이동(4) / 01 평면좌표(3) / 05 집합의 뜻과 표현(3) / 02 직선의 방정식(2)
• 16~19번이 원의 방정식 4연속 중상 구간
• 상 2문항은 20번(대칭이동+현의 길이), 22번(A⊂X⊂B 집합의 개수)
• 명제와 함수 단원은 이번 범위에서 제외

고양일고 공통수학2 중간고사는 어떤 시험인가

고양일고등학교는 경기도 고양시에 있는 고등학교입니다. 2025학년 1학년 2학기 중간고사 공통수학2는 총 22문항으로, 공통수학2 교과서 기준 I단원 도형의 방정식 전체와 II단원 집합 파트까지를 한 번에 평가합니다.

대단원별로 보면 I 도형의 방정식에서 15문항(68%), II 집합에서 7문항(32%) 입니다. 도형의 방정식 쏠림이 뚜렷하고, 그 안에서도 원의 방정식이 6문항으로 단일 최다입니다. 명제와 함수는 범위에서 빠졌으므로 기말 대비 때 이 두 단원의 비중이 커질 가능성을 염두에 두세요.

난이도 분포 — 하 3문항으로 시작, 중상 7문항이 승부처

하 3문항(2·4·6번) 은 개념 확인 수준입니다. 2번은 ‘맛있는·작은·높은’ 같은 표현이 집합이 되는지 판별하는 정의 문항, 4번은 n(A∪B)=n(A)+n(B)-n(A∩B) 공식에 12=6+n(B)-3을 대입하는 한 줄짜리, 6번은 원 x²+y²=8 위의 점 (-2, 2)에서의 접선을 구하는 문항입니다.

상은 20번과 22번 두 개뿐이지만, 중상이 7문항으로 두껍습니다. 등급을 가르는 실질 구간은 상 2문항이 아니라 16~19번, 21번의 중상 다섯 문항입니다. 이 구간에서 실수 없이 통과하는 것이 1등급 조건입니다.

출제 단원 — 원의 방정식 6문항이 핵심

원의 방정식 6문항 중 5문항이 중상 이상입니다. 6번 하(접선의 방정식)와 12번 중(원이 되기 위한 조건)을 빼면 16·17·18·19번이 모두 중상으로, 시험지 후반부가 사실상 원 단원 집중 구간입니다.

이 시험의 시그니처 — 16~19번 원 4연속 구간

고양일고 중간고사에서 가장 특징적인 구간은 16번부터 19번까지 원의 방정식 문항이 네 개 연달아 나오는 부분입니다. 네 문항 모두 중상 난이도이고, 서로 다른 유형을 다룹니다.

• 16번 — x축, y축에 동시에 접하는 원 — 양 축 접 조건에서 |a|=|b|이므로 b=a와 b=-a로 경우를 나눕니다. b=a에서 a²-9a+20=0의 두 근이 나오고, b=-a에서는 판별식이 음수라 해가 없습니다. 결과적으로 중심이 (4, 4)와 (5, 5)인 원 2개입니다. 경우 분기 후 한쪽이 해가 없음을 확인하는 마무리가 핵심입니다.
• 17번 — 일반형에서 중심과 반지름 구하기 — 양변을 2로 나눈 뒤 완전제곱해 반지름의 제곱 -3a²+6a+10을 얻고, -3(a-1)²+13으로 정리해 최댓값 13, 넓이 13π를 구합니다. 원 문제 안에 이차식의 최대·최소가 들어 있는 결합형입니다.
• 18번 — 원 밖의 점에서 그은 접선 — 점 (1, 5)를 지나는 기울기 m의 직선을 두고 중심까지 거리=반지름 조건에서 2m²+5m-10=0을 유도한 뒤, 두 접선의 기울기 합을 근과 계수의 관계로 -5/2로 처리합니다. 근을 직접 구하지 않는 것이 시간 절약 포인트입니다.
• 19번 — 원 위의 점과 직선 사이의 거리 — AB=3√5와 직선 2x+y-13=0을 먼저 구하고, 중심에서의 거리가 반지름 3보다 크다는 것을 확인해 높이의 최댓값 d+3, 최솟값 d-3을 잡습니다. M×m을 곱셈공식으로 정리하면 279입니다.

원 단원 하나만 제대로 잡아도 이 시험의 4분의 1 이상을 안정적으로 확보할 수 있는 구조입니다.

조심해야 할 상 난이도 2문항

20번 — 점의 대칭이동 + 현의 길이 (상)

A(a, b)와 B(b, a)가 직선 y=x에 대하여 대칭이라는 점에서 출발합니다. AB의 수직이등분선이 y=x이고, P·Q가 원과 y=x의 교점이며 이 직선이 중심을 지나므로 PQ가 지름 6이라는 구조를 스스로 세워야 합니다. 이후 대각선이 수직인 사각형의 넓이 공식으로 AB=√2를 얻고, a²+b²=9와 (a-b)²=1을 곱셈공식으로 결합해 ab=4를 끌어냅니다. 도형 성질 발견 + 곱셈공식 변형이 겹친, 이번 시험 최고난도 문항입니다.

22번 — A⊂X⊂B를 만족시키는 집합의 개수 (상)

A는 20의 약수, B는 6과 서로소인 수로 원소를 나열하는 것이 시작입니다. B∩(A∪X)ᶜ=∅을 B-A⊆X로 변환해 필수 원소 8개를 확정하고, 세 번째 조건의 좌변을 대칭차 형태로 정리해 X⊆A∪B를 도출합니다. 자유 원소가 6개 남아 2⁶=64가 답입니다. 대칭차 변형이 문제에 지시돼 있지 않아서 스스로 구조를 찾아야 합니다.

함께 챙겨야 할 중상 유형

• 9번 — 삼각형의 무게중심 (중상) — 세 내분점의 좌표 합이 세 꼭짓점의 좌표 합과 같아 두 삼각형의 무게중심이 일치한다는 사실을 발견하는 것이 핵심입니다. G((k-1)/3, 2)를 y=2x에 대입해 k=4를 얻습니다.
• 13번 — 조건을 만족시키는 집합 구하기 (중상) — 드모르간의 법칙으로 (A∪Bᶜ)ᶜ=B-A={3, 5, 6}, A∩B={1, 7, 9}를 각각 도출한 뒤 B=(A∩B)∪(B-A)로 복원해 n(B)=6을 구합니다.
• 21번 — 조건을 만족시키는 집합의 개수 (중상) — n(A_m)이 m의 소인수 3의 지수와 같다는 일반화가 관건입니다. 보기 ㄴ은 18과 24를 반례로 확인하고, ㄹ은 27만 해당함을 따집니다.

중학교·고1 선수 내용 점검 포인트

선수 유형을 보면 일차방정식이 4회(1·5·8·9번) 로 가장 많이 걸려 있습니다. 평행이동 역산, 내분점 좌표 결정, 평행·수직 조건에서 미지수 구하기 모두 결국 일차방정식 정리로 끝나므로 계산 실수가 곧 실점입니다.

약수와 배수(21·22번), 공약수와 최대공약수(22번) 도 등장합니다. 집합 문항이 약수·서로소를 소재로 쓰기 때문에 원소나열을 빠르고 빠짐없이 하는 훈련이 필요합니다. 16번은 이차방정식의 풀이와 근의 판별, 17번은 완전제곱을 이용한 최대·최소, 18번은 근과 계수의 관계가 각각 얽혀 있어 공통수학1 내용 복습이 곧 원 단원 대비가 됩니다.

기말 대비 학습 순서 제안

1. 원의 방정식 전 유형 완주 — 접선(원 위의 점·원 밖의 점), 양 축 접, 일반형 판독, 원 위의 점과 직선 사이의 거리까지. 6문항이 걸린 최다 단원입니다.
2. 공통수학1 이차방정식 복습 — 근과 계수의 관계, 판별식, 완전제곱 최대·최소. 원 문항 대부분이 이 도구로 마무리됩니다.
3. 도형의 이동 4유형 정리 — 점의 평행이동·대칭이동, 거리의 최솟값, f(x, y)=0의 이동. 20번 상 문항도 대칭이동이 출발점입니다.
4. 집합 연산 변형 훈련 — 드모르간, 차집합, 대칭차 정리. 13번과 22번이 모두 이 계열입니다.
5. 명제·함수 선행 — 이번 중간에서 빠진 단원이므로 기말 비중이 커질 수 있습니다.
6. 고양일고 2025학년 중간 기출 실전 풀이 — 22문항 시간 배분, 특히 16~19번 원 구간을 몇 분에 통과하는지 재보세요.

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