사우고 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년)

사우고 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 20문항입니다. 출제 범위는 함수의 극한부터 도함수의 활용(1)까지입니다. 사우고 2학년 2학기 중간 수학Ⅱ 기출의 난이도 분포를 보면 다른 학교와 결이 다릅니다. 최고난도(상)는 2문항뿐인데, 중상이 무려 10문항(50%) 입니다. 킬러 한두 개로 가르는 시험이 아니라, 적당히 까다로운 문제를 절반 넘게 깔아놓고 실수를 유도하는 시험입니다.

핵심 요약

• 20문항 (1~18번 객관식 / 19·20번 답을 직접 쓰는 형태)
• 난이도: 하 2 / 중 6 / 중상 10(50%) / 상 2
• 단원별: 함수의 극한 7 · 미분계수와 도함수 7 · 함수의 연속 5 · 도함수의 활용(1) 1
• 도함수의 활용(1)은 11번 단 1문항 — 무게중심이 극한·연속·미분계수에 있음
• 반복 출제: 무리식 0/0 꼴 3회 · 연속함수의 성질 3회 · 곱의 미분법 3회

사우고 수학Ⅱ 중간고사는 어떤 시험인가

사우고등학교는 경기도 김포시에 있는 학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ는 총 20문항으로, 1~18번은 다섯 개 선지 중 고르는 객관식, 19·20번은 답을 직접 쓰는 형태입니다. 20번은 (1)·(2)로 나뉜 두 단짜리 문항입니다.

출제 범위는 함수의 극한 ~ 도함수의 활용(1)이지만, 실제로 도함수의 활용(1)에서 나온 건 11번 한 문항뿐입니다. 진도상 마지막 단원이 시험 직전에 끝났다는 뜻으로 읽힙니다. 대신 미분계수와 도함수 단원에서 7문항이 나왔습니다.

2025학년 난이도 분포 — ‘중상’이 절반

이 표가 사우고 시험의 성격을 그대로 보여줍니다. 상 난이도는 13번과 20번 두 문항뿐입니다. 대신 중상이 10문항입니다. 중상은 보통 3단계 논증을 요구하는 구간이라, 한 문제당 시간이 꽤 걸립니다. 20문항 중 12문항이 3단계 이상 사고를 요구하는 셈이라 시간 관리가 곧 점수입니다.

“어려운 문제 하나 버리고 나머지 다 맞히기” 전략이 통하지 않습니다. 버릴 문제가 두 개밖에 없고, 나머지 열 개가 전부 만만치 않기 때문입니다.

단원별 출제 — 극한과 미분계수가 각각 7문항

함수의 극한 7 + 미분계수와 도함수 7 = 14문항(70%) 입니다. 두 단원을 뚫으면 시험의 7할이 해결됩니다. 반면 접선·평균값 정리 같은 도함수의 활용은 11번 한 문항뿐이라, 여기에 시간을 과하게 쓸 이유는 없습니다.

이 시험의 시그니처 — 무리식 유리화와 도형 극한

사우고 시험에서 반복되는 도구가 둘 있습니다.

첫째, 무리식 0/0 꼴의 유리화가 세 번(6·9·16번) 나왔습니다. 6번 중상은 분모가 0으로 수렴하므로 분자도 0이어야 한다는 논증에서 출발하고, 9번 중은 구간별 함수의 미분가능성과 결합, 16번 중상은 이차방정식의 근을 함수로 보고 극한을 잡습니다. 근호가 있는 극한은 무조건 켤레 유리화라는 반사신경을 만들어두면 세 문제를 동시에 가져갑니다.

둘째, 좌표평면 도형에서의 극한이 두 번(16·18번) 나왔습니다. 18번 중상은 두 선분 길이의 차를 t의 식으로 만들어 t가 음의 무한대로 갈 때의 극한을 구합니다. 두 점 사이의 거리 공식이 그대로 필요합니다.

★ 빈출 유형 (2025학년 기출 기준)

1. 미분계수를 이용한 극한값의 계산 (7·10·17번) — 3문항

7번 중은 분모를 미분계수 정의 꼴로 맞추고 상수배를 분리하는 표준형, 17번 중상은 여기에 곱의 미분법이 얹힙니다. 10번 중상은 lim(x→a) 꼴에서 f(1)과 f’(1)을 역추론한 뒤 치환과 곱의 미분법으로 마무리합니다. 증분 꼴을 정의로 되돌리는 변형 연습이 이 시험의 핵심 기술입니다.

2. 곱의 미분법 (10·15·17번) — 3문항

세 문항 모두 다른 유형과 결합되어 나왔습니다. 15번 중상은 다항함수의 결정과, 10·17번은 미분계수 극한과 붙습니다. 단독 공식 문제로는 안 나오고 항상 조합형이라는 게 특징입니다.

3. 연속함수의 성질 (13·14·20번) — 3문항

13번 상은 그래프에서 f의 조각별 식을 읽고 최대·최소 정리, 사잇값 정리, 곱의 연속을 한꺼번에 판정하는 4단계 보기형입니다. 14번 중상은 f(|x|)와 f(x)f(-x)를 각각 구간별로 다시 정리해 불연속점을 세는 문제, 20번 상은 곱함수가 계단함수의 불연속점에서 연속이 되도록 하는 역조건 문항입니다.

4. 무리식 0/0 꼴의 극한 (6·9·16번) — 3문항

앞서 설명한 유리화 3연타입니다. 셋 다 중~중상 구간에 배치되어 있습니다.

5. 사잇값 정리 (3·13번) — 2문항

3번 중은 다섯 구간의 양 끝 함숫값 부호를 계산해 실근이 존재하는 구간을 고르는 기본형입니다. 확실히 챙겨야 할 점수입니다.

상 2문항은 어디에 있나

둘 다 함수의 연속입니다. 5문항밖에 안 되는 단원에서 상 두 개가 전부 나왔습니다. 특히 20번은 원과 직선의 교점 개수를 세는 고1 도형 지식까지 요구합니다.

놓치기 쉬운 선수 학습 포인트

• 절댓값 그래프 (13·14번), 유리함수의 그래프의 점근선 (14번) — 고1 함수 단원
• 점과 직선 사이의 거리, 원과 직선이 두 점에서 만날 조건 (20번) — 고1 원의 방정식
• 두 점 사이의 거리 (18번) — 고1 평면좌표
• 이차식으로 나누었을 때의 나머지 (8번), 인수분해 공식 (1번) — 고1 다항식
• 이차방정식의 풀이 (16번)

13·14·20번 세 문항이 모두 고1 함수·도형 지식을 요구합니다. 상 2문항이 여기 포함된 걸 보면, 고1 복습 없이는 상위권 진입이 어렵다는 뜻입니다.

다음 시험 대비 학습 순서 제안

1. 무리식 극한 유리화 반복 — 6·9·16번형. 켤레 곱하기 → 약분 → 대입을 자동화
2. ★ 미분계수 정의 변형 훈련 — 7·10·17번형. 증분이 -h, -2h, x³-1처럼 바뀌어도 정의로 되돌리기
3. 곱의 미분법 조합형 — 15·17번형. 다항함수 결정이나 극한과 붙은 형태로 연습
4. ★ 연속함수의 성질 보기형 — 13번형. 최대·최소 정리와 사잇값 정리를 함께 판정
5. 곱함수의 연속 역조건 — 20번형. 한 인수의 불연속점에서 다른 인수가 0이어야 한다는 원리
6. 좌표평면 도형 극한 — 16·18번형. 거리 공식으로 식을 세운 뒤 극한 처리
7. 고1 함수·원의 방정식 복습 — 절댓값 그래프, 점근선, 원과 직선의 위치 관계
8. 사우고 2025학년 원문 20문항 실전 — 중상 10문항을 시간 안에 끊는 훈련

자주 나오는 질문

2학년 2학기 중간 수학Ⅱ는 어디까지 나오나요?

사우고는 2025학년 기준 함수의 극한부터 도함수의 활용(1)까지 출제했습니다. 다만 도함수의 활용(1)에서는 11번 한 문항만 나왔습니다. 같은 김포 지역이어도 도함수의 활용(2)까지 나간 학교가 있으니 본인 학교 범위를 먼저 확인하세요.

어느 단원부터 잡아야 하나요?

함수의 극한과 미분계수와 도함수입니다. 둘이 합쳐 14문항, 전체의 70%입니다. 다만 상 난이도 두 문항은 함수의 연속에서 나왔으므로, 1등급을 노린다면 연속 단원의 응용 유형도 반드시 챙겨야 합니다.

중상 10문항은 어떻게 대비하나요?

중상 문항은 대체로 3단계 논증입니다. 개념을 아는 것으로는 부족하고 같은 유형을 여러 번 풀어 절차를 몸에 익히는 것이 핵심입니다. 특히 유리화, 미분계수 정의 변형, 곱의 미분법 조합은 반복량이 그대로 점수가 됩니다.

과년도 사우고 기출은 어디서 보나요?

내신판에 업로드된 원문만 제공합니다. 찾는 시험지가 없으면 내신판에서 요청할 수 있습니다.

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