모락중 3학년 1학기 기말고사 수학 기출 분석 (2025)

모락중 3학년 1학기 기말 수학은 2025학년 기준 총 24문항입니다. 출제 범위는 이차방정식의 풀이와 이차함수의 그래프입니다. 배치를 보면 구조가 아주 단순합니다. 18번이 이차방정식, 924번이 이차함수로 딱 잘려 있습니다. 그리고 문항의 3분의 2가 이차함수입니다.

핵심 요약

• 24문항 — 18번 이차방정식, 924번 이차함수로 완전히 분리
• 난이도: 하 3 / 중 11 / 중상 8 / 상 2
• 이차함수 16문항(67%) — 이차함수의 그래프 (1) 7문항 + (2) 9문항
• 상 난이도는 22번·24번, 둘 다 이차함수의 그래프의 활용
• 최다 반복 유형 — y=a(x-p)²+q의 그래프 4회, 꼭짓점과 축의 방정식 4회, 그래프의 활용 4회

모락중 중3 1학기 기말은 어떤 시험인가

모락중학교는 경기 의왕시에 있는 중학교입니다. 2025학년 3학년 1학기 기말고사 수학은 총 24문항입니다.

이 시험의 배치는 예외 없이 깔끔합니다. 앞 8문항이 이차방정식, 뒤 16문항이 이차함수입니다. 중간에 단원이 섞이지 않습니다. 그러니 8번을 넘기는 시점이 시험의 절반 지점이라고 보면 됩니다. 8번까지 몇 분이 걸렸는지가 뒤 16문항의 여유를 결정합니다.

문항 수 배분은 이차함수 쪽으로 크게 기울어 있습니다. 이차방정식 8문항(33%), 이차함수 16문항(67%)입니다. 이차방정식은 중간고사에서 이미 다뤘을 가능성이 있고, 기말은 이차함수를 본격적으로 묻는 구성으로 보입니다.

2025학년 난이도 분포 — 상 2문항이 마지막에 배치

하 난이도가 세 문항뿐입니다. 그것도 1번(이차방정식의 중근), 9번(이차함수의 함숫값), 10번(y=a(x-p)²+q의 식 구하기)으로 각 파트의 첫 문항입니다. 파트가 바뀌는 자리에 쉬운 문항을 하나씩 놓아 준 구조입니다.

주의할 점은 이차방정식 파트(1~8번)의 난이도가 만만치 않다는 것입니다. 여덟 문항 중 중상이 다섯 개(3·4·5·7·8번) 입니다. 하 하나, 중 둘, 중상 다섯입니다. 앞부분에서 시간을 잡아먹기 쉬운 구조라 페이스 조절이 중요합니다.

반대로 이차함수 파트의 중반(11~20번)은 열 문항 중 아홉이 중 난이도입니다. 여기서 속도를 회복해야 마지막 22·24번에 시간을 남길 수 있습니다.

출제 단원 — 이차함수의 그래프 (2)가 9문항으로 최다

이차함수의 그래프 (2)가 아홉 문항으로 가장 큽니다. 이 단원은 y=ax²+bx+c 꼴을 다루는 곳입니다. 즉 표준형 변형(완전제곱식 만들기)이 시험 전체를 지배합니다.

이차방정식의 활용은 5번 한 문항뿐입니다. 활용 문제집을 두껍게 돌리는 것보다 풀이 절차를 정확하고 빠르게 하는 쪽에 시간을 쓰는 게 이 시험에는 맞습니다.

시그니처 유형 — 네 번씩 반복된 세 개념

이 시험에서 네 번 이상 쓰인 유형이 세 개입니다.

• 이차함수 y=a(x-p)²+q의 그래프 — 10·12·15·21번
• 이차함수 y=ax²+bx+c의 그래프의 꼭짓점의 좌표와 축의 방정식 — 13·17·18·20번
• 이차함수의 그래프의 활용 — 20·22·23·24번

세 개를 이어 붙이면 이 시험의 뼈대가 나옵니다. y=ax²+bx+c를 y=a(x-p)²+q로 고쳐 꼭짓점과 축을 찾고, 그 그래프로 도형이나 교점을 다룬다. 이 한 줄이 24문항 중 절반을 설명합니다.

이어서 세 번 쓰인 유형이 셋 있습니다.

• 이차방정식의 근의 공식 — 5·6·8번
• y=ax²+bx+c를 y=a(x-p)²+q 꼴로 변형하기 — 13·16·18번
• 이차함수 y=ax²의 그래프가 지나는 점 — 22·23·24번

마지막 세 문항(22·23·24번)이 “그래프의 활용 + 지나는 점”으로 한 세트라는 점을 눈여겨보세요. 22번 상, 23번 중상, 24번 상입니다. 시험의 마지막 구간이 통째로 최고 난도입니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 이차방정식의 풀이 (1) — 1·2·4·7번, 4문항

1번 하 이차방정식의 중근 · 인수분해를 이용한 풀이, 2번 중 두 이차방정식의 공통인 근 · 한 근이 주어졌을 때 미지수 구하기, 4번 중상 한 근이 주어졌을 때 미지수 구하기 · 다른 한 근 구하기, 7번 중상 이차방정식이 중근을 가질 조건 · 인수분해 계수 조건.

2번과 4번이 한 짝입니다. 둘 다 “근을 방정식에 대입한다” 는 같은 발상에서 출발합니다. 2번은 두 방정식이 공유하는 근을 찾고, 4번은 알려진 근으로 미지수를 구한 뒤 나머지 근까지 갑니다. 대입 → 미지수 확정 → 원래 식 완성 → 나머지 근이라는 네 단계를 몸에 익히면 두 문항이 같이 열립니다.

7번의 “중근을 가질 조건” 은 x²+ax+b가 완전제곱식이 되는 조건, 즉 b=(a/2)² 하나입니다. 여기에 계수 조건 경우 세기가 붙어 중상이 됐습니다.

2. 이차방정식의 풀이 (2) — 3·6·8번, 3문항

3번 중상 제곱근을 이용한 풀이 · 완전제곱식의 꼴로 고치기, 6번 중 근의 공식 · 근의 공식으로 미지수 구하기, 8번 중상 근의 공식 · 이차방정식의 근의 활용.

3번이 이 시험의 첫 중상이자 초반 함정입니다. (x+p)²=q 꼴로 고친 뒤 제곱근을 취하는 유형인데, 완전제곱식으로 고치는 과정에서 상수항을 양변에 정확히 더하는지가 갈림길입니다. x² 계수가 1이 아니면 먼저 나눠야 한다는 것도 자주 놓칩니다.

8번은 근의 공식을 쓴 다음이 본론입니다. 구한 근을 다시 다른 식에 넣어 값을 구하는 구조라 계산이 길어집니다. 근이 무리수로 나오면 대입 전에 식을 먼저 정리하는 게 시간을 아끼는 방법입니다.

3. 이차방정식의 활용 — 5번, 1문항

5번 중상 이차방정식의 활용; 삼각형과 사각형 · 근의 공식.

활용은 이 한 문항뿐입니다. 도형의 변의 길이를 미지수로 두고 넓이나 길이 조건을 이차방정식으로 옮긴 뒤 근의 공식으로 푸는 유형입니다. 길이는 양수라는 조건으로 근 하나를 버려야 합니다.

4. 이차함수의 그래프 (1) — 9·10·11·14·15·21·23번, 7문항

9번 하 이차함수의 함숫값, 10번 하 y=a(x-p)²+q의 식 구하기 · 그 그래프, 11번 중 y=a(x-p)²의 그래프 · y=ax²의 식 구하기, 14번 중 y=ax²+q의 그래프 · a, p, q의 부호, 15번 중 y=a(x-p)²+q의 그래프 · y=ax²의 그래프의 성질, 21번 중상 그래프가 지나지 않는 사분면의 조건 · y=a(x-p)²+q의 그래프, 23번 중상 y=ax²의 그래프가 지나는 점 · 그래프의 활용.

9·10번은 확보 구간입니다. 함숫값은 x를 대입만 하면 되고, 식 구하기는 꼭짓점 (p, q)를 그대로 읽어 넣으면 됩니다.

14번의 “a, p, q의 부호” 는 그래프 모양에서 부호를 역으로 읽는 유형입니다. a는 볼록 방향, p는 축의 좌우, q는 꼭짓점의 상하입니다. 세 개를 각각 따로 판정하고 마지막에 조합해야 실수가 없습니다.

21번의 “지나지 않는 사분면” 이 이 파트의 고비입니다. 꼭짓점 위치와 볼록 방향, y절편을 종합해 그래프의 대략적 위치를 잡아야 합니다. 좌표축을 직접 그려 놓고 판단하는 게 안전합니다.

5. 이차함수의 그래프 (2) — 12·13·16·17·18·19·20·22·24번, 9문항

12번 중 증가·감소하는 범위 · y=a(x-p)²+q의 그래프, 13번 중 표준형 변형 · 꼭짓점과 축, 16번 중 y=ax²+bx+c의 평행이동 · 표준형 변형, 17번 중 그래프가 축과 만나는 점 · 꼭짓점과 축, 18번 중 표준형 변형 · 꼭짓점과 축, 19번 중상 y=ax²+bx+c의 그래프의 성질 · a, b, c의 부호, 20번 중 그래프의 활용 · 꼭짓점과 축, 22번 상 그래프의 활용 · y=ax²의 그래프가 지나는 점, 24번 상 그래프의 활용 · y=ax²의 그래프가 지나는 점.

13·16·18번이 전부 표준형 변형입니다. 세 문항이 같은 계산을 반복해서 요구합니다. y=ax²+bx+c에서 a로 묶고, (b/2a)²를 더하고 빼는 절차가 손에 붙어 있어야 합니다. 이 세 문항만 합쳐도 24문항 중 3문항, 여기에 12·17·20번까지 표준형을 거치니 사실상 이차함수 파트 전체의 입구입니다.

19번의 “a, b, c의 부호” 는 14번의 확장판입니다. a는 볼록 방향, c는 y절편, ab는 축의 좌우(축이 양수면 a와 b의 부호가 다르다) 라는 세 규칙으로 판정합니다. b의 부호를 직접 읽으려 하지 말고 축의 방정식 x=-b/2a에서 역산하는 게 정석입니다.

22번과 24번이 이 시험의 최고 난도입니다. 둘 다 “이차함수의 그래프의 활용 + y=ax²의 그래프가 지나는 점” 조합입니다. 그래프 위의 점의 좌표를 미지수로 두고, 도형의 넓이나 길이 조건을 세워 푸는 구조입니다. 점의 좌표를 (t, at²)처럼 한 문자로 표현하는 것이 시작점입니다. 여기서 막히면 손을 못 댑니다.

23번(중상)도 같은 계열입니다. 22·23·24번 세 문항이 사실상 하나의 유형이므로, 이 유형 하나를 잡으면 마지막 세 문항이 통째로 열립니다.

주의 문항 — 중상 이상 10문항

3번 중상 (제곱근을 이용한 풀이) — 초반 함정. 완전제곱식 변형에서 갈립니다.

4번 중상 (한 근이 주어졌을 때) — 미지수 확정 후 나머지 근까지 두 단계.

5번 중상 (도형 활용) — 유일한 활용 문항. 근 버리는 조건 확인 필수.

7번 중상 (중근을 가질 조건) — 완전제곱식 조건 b=(a/2)².

8번 중상 (근의 활용) — 계산이 길어지는 구간.

19번 중상 (a, b, c의 부호) — 축의 방정식으로 b를 역산.

21번 중상 (지나지 않는 사분면) — 그래프를 직접 그려야 안전.

23번 중상 (그래프 위의 점) — 22·24번과 한 세트.

22번 상 · 24번 상 (그래프의 활용) — 좌표를 한 문자로 두는 게 출발점.

중상 이상 열 문항 중 넷(19·21·22·23·24번)이 마지막 여섯 문항 안에 있습니다. 앞에서 시간을 벌어야 하는 이유입니다.

모락중 중3 1학기 기말 대비 학습 순서

1. 인수분해를 이용한 이차방정식과 중근 — 1번 확보 구간.
2. 한 근 대입으로 미지수 구하기 — 2·4번 대비. 대입 → 확정 → 나머지 근.
3. ★ 완전제곱식으로 고쳐 제곱근으로 풀기 — 3번 대비. 초반 함정.
4. 근의 공식 — 6·8번 대비. 5번의 마무리 도구이기도 합니다.
5. 중근을 가질 조건 b=(a/2)² — 7번 대비.
6. 이차방정식의 도형 활용 — 5번 대비. 근 하나 버리기.
7. 이차함수의 함숫값과 y=a(x-p)²+q 읽기 — 9·10번 확보 구간.
8. y=ax²와 y=a(x-p)²의 그래프 비교 — 11·15번 대비.
9. a, p, q의 부호 판정 — 14번 대비. 하나씩 따로 판정하기.
10. ★ y=ax²+bx+c를 표준형으로 변형 — 12·13·16·17·18·20번을 관통하는 최중요 절차.
11. 증가·감소 범위 — 12번 대비. 축부터 구하기.
12. 그래프가 축과 만나는 점 — 17번 대비. y=0, x=0 대입.
13. a, b, c의 부호 판정 — 19번 대비. 축의 방정식에서 b 역산.
14. 지나지 않는 사분면의 조건 — 21번 대비.
15. ★ 그래프 위의 점을 문자로 두고 도형 다루기 — 22·23·24번 대비. 이 시험의 마지막 관문.

자주 나오는 질문

모락중 3학년 1학기 기말 수학은 몇 문항인가요?

2025학년 기준 24문항입니다. 18번이 이차방정식, 924번이 이차함수로 배치돼 있습니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

이차함수의 그래프 (2)가 9문항으로 가장 많고, 이차함수의 그래프 (1)이 7문항입니다. 이차함수만 합쳐 16문항(67%) 입니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도는 22번과 24번입니다. 둘 다 이차함수의 그래프의 활용 유형이고, 중상인 23번까지 합쳐 마지막 세 문항이 한 세트입니다.

이차방정식은 얼마나 나오나요?

1~8번 여덟 문항(33%) 입니다. 그런데 그중 중상이 다섯 문항이라 문항 수에 비해 체감 난도가 높습니다. 활용은 5번 한 문항뿐입니다.

어떤 단원부터 공부해야 하나요?

y=ax²+bx+c를 y=a(x-p)²+q로 고치는 표준형 변형부터입니다. 12·13·16·17·18·20번 여섯 문항이 이 절차를 거칩니다. 그다음이 마지막 세 문항(22·23·24번)의 그래프 활용입니다.

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