충북외고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년, 충북 청주시)

충북외국어고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 22문항입니다. 이 시험의 특징은 상 난이도가 없고 중상도 18·22번 두 문항뿐이라는 점, 그리고 정적분 7문항 · 도함수의 활용 (3) 6문항 · 도함수의 활용 (2) 5문항이 시험의 대부분을 차지한다는 점입니다. 반대로 정적분의 활용은 2문항으로 적습니다.

핵심 요약

• 22문항 — 118번은 선택형, 1922번은 답을 직접 쓰는 형태
• 난이도: 하 10 / 중 10 / 중상 2 / 상 0
• 배치 단원: 08 정적분 7 / 06 도함수의 활용 (3) 6 / 05 도함수의 활용 (2) 5 / 09 정적분의 활용 2 / 03 미분계수와 도함수 1 / 07 부정적분 1
• 반복 축: 정적분을 포함한 등식 3문항(12·15·21번), 두 그래프의 교점의 개수 2문항(9·10번), 속도·가속도와 운동 방향 2문항(3·17번)
• 서답형 19~21번은 모두 하, 22번만 중상

충북외고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가

충북외국어고등학교는 충북 청주시에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 22문항입니다. 정답 기록을 보면 118번은 선택형, 1922번 네 문항은 답을 직접 쓰는 형태입니다.

배치 단원은 미분계수와 도함수부터 정적분의 활용까지 여섯 개입니다. 대단원으로 묶으면 미분(03·05·06) 12문항, 적분(07~09) 10문항입니다.

문항 배치는 1~7번 중 6문항이 도함수의 활용 (2)·(3) 으로 미분 파트에서 시작합니다. 정적분 문항은 4번에 한 번 나온 뒤 11번부터 본격적으로 이어집니다.

2025학년 난이도 분포 — 하 10 · 중 10 · 중상 2

중상 이상이 두 문항뿐입니다. 18번은 선택형 마지막, 22번은 서답형 마지막 문항입니다. 각 파트의 마지막 문항이 가장 어렵다는 구조입니다.

서답형 19·20·21번은 세 문항 모두 하입니다. 서답형이지만 기본 계산 문항이라 반드시 확보해야 합니다. 대신 선택형 8~17번 구간에 중 난이도가 8문항 몰려 있어 이 구간의 정확도가 점수를 가릅니다.

출제 단원 — 정적분 7문항, 정적분의 활용 2문항

정적분 7문항(32%) 이 가장 많습니다. 그리고 정적분의 활용(넓이·거리)은 2문항뿐입니다. 넓이 계산보다 정적분 자체의 성질과 등식에 무게가 실린 시험입니다.

도함수의 활용 (2) 5문항은 1·2·5·6·7번으로 시험지 앞부분에 몰려 있습니다. 증가·감소, 극대·극소, 최대·최소의 기본 문항들입니다.

시그니처 — 정적분을 포함한 등식 3문항

• 12번 중 아래끝 또는 위끝에 변수가 있는 경우
• 15번 중 아래끝 또는 위끝과 피적분함수에 변수가 있는 경우
• 21번 하 아래끝 또는 위끝에 변수가 있는 경우 (서답형)

세 문항 모두 끝에 x가 들어간 정적분 등식입니다. 풀이의 첫 단계는 같습니다.

• 양변을 x로 미분해 f(x)를 얻습니다.
• 위끝과 아래끝이 같아지는 x값을 대입하면 정적분이 0이 되어 미지수를 구할 수 있습니다.
• 15번처럼 피적분함수에 x가 있으면 x를 적분 밖으로 꺼낸 뒤 곱의 미분을 씁니다.

이 세 줄을 정확히 알고 있으면 세 문항이 같은 틀로 풀립니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 정적분 (4·11·12·13·15·21·22번) — 7문항

4번 중 부정적분의 계산 · 정적분의 계산 (적분 구간이 같은 경우), 11번 하 정적분의 계산 (피적분함수가 같은 경우), 13번 하 주기함수의 정적분, 12·15·21번 정적분을 포함한 등식, 22번 중상 정적분으로 정의된 함수의 최대·최소 (서답형).

4번은 선지마다 부정적분과 정적분을 직접 계산해 확인하는 문항입니다. 계산량이 많아 시간이 걸리는 편입니다.

13번 주기함수는 f(x+p)=f(x)를 이용해 한 주기 적분값을 반복해서 더합니다.

22번은 서답형 유일의 중상입니다. 정적분으로 정의된 함수를 미분해 증감을 파악하고, 최댓값 또는 최솟값을 구합니다.

2. 도함수의 활용 (3) (3·8·9·10·17·20번) — 6문항

3번 하·17번 중 속도·가속도와 운동 방향, 8번 중 방정식 f(x)=k의 실근의 부호, 9번 중·10번 중 두 그래프의 교점의 개수, 20번 하 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 (서답형).

9·10번이 연속으로 교점의 개수입니다. 두 그래프의 교점은 f(x)−g(x)=0의 실근과 같으니, 차함수의 극값을 보고 판단합니다.

20번은 실근의 개수 조건을 만족하는 k의 범위를 쓰는 서답형입니다. 극댓값과 극솟값 사이에 k가 있을 때 실근이 몇 개인지를 그래프로 확인하세요.

3번과 17번은 운동 방향입니다. 속도 v(t)의 부호가 바뀌는 시각에서 방향이 바뀝니다.

3. 도함수의 활용 (2) (1·2·5·6·7번) — 5문항

1번 하 함수의 증가와 감소, 2번 하 함수의 극대·극소, 5번 중 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정, 6번 하 실수 전체에서 삼차함수가 증가 또는 감소하기 위한 조건, 7번 하 함수의 최대·최소.

6번은 도함수(이차식)의 판별식 D≤0 으로 푸는 표준형입니다. 7번 닫힌구간 최대·최소는 극값 후보와 양 끝 값을 모두 비교하고, 구간 밖의 극값 후보는 버립니다.

4. 정적분의 활용 (16·18번) — 2문항

16번 중 포물선과 직선 사이의 넓이 (1/6 공식), 18번 중상 두 그래프의 교점의 개수 · 곡선과 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이.

18번은 접선 조건과 교점 조건을 먼저 정리한 뒤 넓이를 구하는 선택형 마지막 문항입니다. 16번의 1/6 공식은 이차함수와 직선이 두 점에서 만날 때 바로 쓸 수 있습니다.

5. 기타 (14·19번)

14번 중 미분계수를 이용한 극한값의 계산 (lim (f(x)−f(a))/(x−a) 꼴), 19번 하 도함수가 주어질 때 함수 구하기 (서답형).

14번은 1학기 미분계수 정의 문항입니다. 분모와 분자를 f’(a) 꼴로 맞추면 됩니다.

주의 문항

18번 중상 (교점의 개수 · 곡선과 접선으로 둘러싸인 넓이) — 선택형 마지막 문항으로 두 개념이 결합됐습니다.

22번 중상 (정적분으로 정의된 함수의 최대·최소) — 서답형 마지막 문항입니다.

15번 중 (피적분함수에 변수가 있는 정적분 등식) — x를 적분 밖으로 꺼내지 않으면 미분 단계에서 틀립니다.

4번 중 (부정적분·정적분 계산 선지 판단) — 선지 하나하나를 계산해야 해서 시간이 많이 듭니다.

충북외고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서

1. 증가·감소, 극대·극소, 최대·최소 기본 — 1·2·7번 대비. 확보 구간.
2. 삼차함수 증가 조건과 판별식 — 6번 대비.
3. 극대·극소로 미정계수 결정 — 5번 대비.
4. 속도·가속도와 운동 방향 — 3·17번 대비.
5. ★ 두 그래프의 교점 개수, 실근의 부호와 개수 — 8·9·10·20번 대비.
6. 미분계수를 이용한 극한값 — 14번 대비. 1학기 복습.
7. 도함수로 함수 구하기, 부정적분·정적분 계산 — 4·11·19번 대비.
8. 주기함수의 정적분 — 13번 대비.
9. ★ 정적분을 포함한 등식 — 12·15·21번 대비.
10. 정적분으로 정의된 함수의 최대·최소 — 22번 대비.
11. 1/6 공식, 접선으로 둘러싸인 넓이 — 16·18번 대비.

자주 나오는 질문

충북외고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 22문항입니다. 118번은 선택형, 1922번은 답을 직접 쓰는 형태입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 정적분이 7문항으로 가장 많습니다. 도함수의 활용 (3) 6문항, 도함수의 활용 (2) 5문항, 정적분의 활용 2문항, 미분계수와 도함수·부정적분이 각 1문항입니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도는 없습니다. 가장 어려운 문항은 중상인 18번과 22번입니다.

서답형은 어려운가요?

19~22번 네 문항 중 19·20·21번은 하, 22번만 중상입니다. 앞의 세 문항은 반드시 확보해야 하는 구간입니다.

과년도 충북외고 기출도 볼 수 있나요?

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