등촌고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025)

등촌고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 23문항입니다. 08 정적분 한 단원에서만 9문항이 나왔고, 부정적분·정적분·정적분의 활용을 합친 적분 파트가 17문항입니다. 1~5번이 모두 하 난이도라 시작은 편하지만, 정적분 문항이 중반 이후를 채우고 있습니다.

핵심 요약

• 23문항 — 120번 선택형, **2123번 답을 직접 쓰는 형태(3문항)**
• 난이도: 하 7 / 중 10 / 중상 5 / 상 1
• 배치 단원: 08 정적분 9 / 07 부정적분 4 / 06 도함수의 활용 (3) 4 / 09 정적분의 활용 4 / 05 도함수의 활용 (2) 2
• 반복 유형: 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소(7·17번), 정적분을 포함한 등식; 위끝에 변수(15·16번)
• 유일한 상: 20번 주기함수의 정적분

등촌고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가

등촌고등학교는 서울 강서구에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 23문항입니다. 1~20번은 선택형, 21~23번 세 문항은 답을 직접 쓰는 형태입니다.

단원은 적분 파트 17문항(07 부정적분 4 · 08 정적분 9 · 09 정적분의 활용 4) 과 미분 파트 6문항(05·06 도함수의 활용) 입니다. 범위 라벨에 “증가와 감소”가 들어 있지만, 실제로는 적분이 전체의 4분의 3을 차지합니다. 05 도함수의 활용 (2) 단원은 9·13번 두 문항뿐입니다.

2025학년 난이도 분포 — 1~5번 전부 하

1~5번 다섯 문항이 연속으로 하입니다. 직접 쓰는 21·22번도 하라서 하 7문항을 모두 지키면 기본 점수가 확보됩니다.

중상 이상 6문항은 전부 14번 이후에 있습니다. 6~13번 여덟 문항은 모두 중이고, 14번부터 중상·상이 섞이기 시작합니다. 시험지 앞쪽은 속도전, 뒤쪽은 정확도 싸움입니다.

출제 단원 — 정적분 9문항

08 정적분 9문항이 전체의 39% 입니다. 유일한 상인 20번과 중상 15·19번이 모두 이 단원입니다. 정적분 단원의 완성도가 곧 이 시험의 점수입니다.

시그니처 — 정적분을 포함한 등식 3문항, 절댓값 4문항

정적분을 포함한 등식이 15·16·19번 세 문항입니다.

• 15번 중상 아래끝 또는 위끝에 변수가 있는 경우 — 위끝이 움직이는 적분 항등식
• 16번 중 아래끝 또는 위끝에 변수가 있는 경우 — 이동 구간 적분의 점화 관계
• 19번 중상 아래끝 또는 위끝과 피적분함수에 변수가 있는 경우 — 적분식의 극한과 계수 복원

위끝에 변수가 있으면 양변을 미분해 피적분함수를 꺼낸다는 것이 세 문항의 공통 도구입니다. 19번은 피적분함수에도 변수가 있어 그 변수를 적분 기호 밖으로 빼낸 뒤 미분해야 합니다.

또 하나의 공통 소재는 절댓값입니다. 10·14·17·18번 네 문항에 절댓값이 들어 있습니다(절댓값 적분의 넓이 비, 절댓값 삼차방정식의 실근 수, 원시함수의 극점과 절댓값 적분, 절댓값 포물선과 접선의 넓이). 절댓값 안의 식이 0이 되는 점에서 구간을 나누는 습관이 네 문항 모두에 필요합니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 부정적분 (1·2·5·21번) — 4문항, 전부 하

1번 하 부정적분과 미분의 관계; d/dx∫f(x)dx=f(x) — 원시함수를 미분해 함숫값 구하기. 2번 하 도함수가 주어질 때 함수 구하기 — 원시함수의 초기값과 구간 적분. 5번 하 부정적분과 접선의 기울기 — 접선의 기울기를 적분해 함숫값 구하기. 21번 하(직접 쓰기) 부정적분과 미분의 관계; ∫{d/dx f(x)}dx=f(x)+C — 미분과 적분의 관계, 적분상수.

1번과 21번은 짝입니다. 1번은 “적분한 뒤 미분하면 원래 함수”, 21번은 “미분한 뒤 적분하면 원래 함수 + 적분상수”입니다. 두 순서의 차이(적분상수 C의 유무) 를 정확히 구분하는지가 포인트입니다.

2. 도함수의 활용 (3·9·11·13·14·23번) — 6문항

3번 하 속도·가속도와 운동 방향 — 위치를 미분해 운동 방향의 변화 판정. 9번 중 함수의 최대·최소를 이용한 미정계수의 결정 — 최대·최소 조건으로 미정계수 결정. 11번 중 시각에 대한 길이의 변화율 — 닮음과 그림자 길이의 변화율. 13번 중 최대·최소의 활용; 넓이 — 직사각형 넓이의 최대. 14번 중상 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 — 절댓값 삼차방정식의 실근 수. 23번 중상(직접 쓰기) 삼차방정식의 근의 판별 — 삼차함수의 중근과 수평선의 교점.

11번 그림자 문제는 닮음으로 그림자 길이를 식으로 나타낸 뒤 시각에 대해 미분하는 유형입니다. 14·23번은 그래프와 수평선의 교점으로 근을 세는 같은 계열입니다. 23번은 직접 쓰는 문항의 마지막이자 가장 어려운 문항입니다.

3. 정적분 (4·6·7·10·15·16·17·19·20번) — 9문항

4번 하 정적분의 계산; 적분 구간이 같은 경우 — 다항식의 정적분 계산. 6번 중 우함수·기함수의 정적분; 피적분함수가 주어진 경우 — 대칭 구간에서 홀수 차수 항 소거. 7번 중 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소 — 그림의 부호로 적분함수의 극소 판정. 10번 중 정적분의 계산; 절댓값 기호를 포함한 함수 — 절댓값 적분의 넓이 비. 15·16·19번 정적분을 포함한 등식 — 위에서 정리한 세 문항. 17번 중 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소 — 원시함수의 극점과 절댓값 적분. 20번 상 주기함수의 정적분 — 주기함수, 이동 구간의 최댓값, 정적분.

7·17번이 같은 유형입니다. 정적분으로 정의된 함수를 미분하면 피적분함수가 되므로, 피적분함수의 부호가 바뀌는 점이 극값이 됩니다.

6번은 대칭 구간 적분의 기본입니다. 구간 [-a, a]에서 홀수 차수 항은 적분값이 0이 되니 짝수 차수 항만 계산하면 됩니다.

20번 주기함수의 정적분이 이 시험의 유일한 상입니다. 주기가 같은 구간에서는 적분값이 같다는 성질을 써서 긴 구간을 한 주기 단위로 나눠 생각하는 것이 출발점입니다.

4. 정적분의 활용 (8·12·18·22번) — 4문항

8번 중 움직인 거리 — 속도의 부호에 따라 나눈 이동 거리. 12번 중 그래프에서의 위치와 움직인 거리 — 속도 그래프로 위치·거리 판정. 18번 중상 곡선과 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이 — 절댓값 포물선과 접선의 넓이. 22번 하(직접 쓰기) 곡선과 x축 사이의 넓이 — 포물선과 x축 사이 넓이.

8·12번은 운동 문제입니다. 위치의 변화량은 속도를 그대로 적분하고, 움직인 거리는 속도의 절댓값을 적분합니다. 12번은 속도 그래프의 넓이로 이 둘을 판정합니다.

주의 문항 — 상 1문항, 중상 5문항

20번 상 (주기함수의 정적분) — 선택형 마지막 문항입니다.

14번 중상 (절댓값 삼차방정식의 실근 수) — 이 시험의 첫 중상입니다.

15·19번 중상 (정적분을 포함한 등식) — 위끝 변수, 피적분함수 속 변수를 처리하는 단계가 필요합니다.

18번 중상 (절댓값 포물선과 접선의 넓이) — 절댓값으로 꺾인 그래프와 접선을 함께 다룹니다.

23번 중상 (삼차방정식의 근의 판별, 직접 쓰기) — 중근 조건과 수평선 교점을 연결해야 합니다.

등촌고 고2 2학기 기말 수학Ⅱ 대비 학습 순서

1. ★ 부정적분과 미분의 관계(두 순서의 차이) — 1·21번 대비. 확보 구간.
2. 도함수로 함수 구하기, 접선의 기울기와 부정적분 — 2·5번 대비.
3. 다항식의 정적분, 대칭 구간 적분 — 4·6번 대비.
4. 속도·가속도와 움직인 거리 — 3·8·12번 대비.
5. 최대·최소 조건과 넓이 최대 — 9·13번 대비.
6. 시각에 대한 길이의 변화율(그림자) — 11번 대비.
7. 절댓값이 있는 정적분 — 10·17번 대비.
8. 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소 — 7·17번 대비.
9. ★ 정적분을 포함한 등식(위끝 변수, 피적분함수 변수) — 15·16·19번 대비.
10. 실근의 개수와 삼차방정식의 근의 판별 — 14·23번 대비.
11. 곡선과 x축·접선으로 둘러싸인 넓이 — 18·22번 대비.
12. 주기함수의 정적분 — 20번(상) 대비.

자주 나오는 질문

등촌고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 23문항입니다. 120번은 선택형, 2123번은 답을 직접 쓰는 형태입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 08 정적분이 9문항으로 가장 많습니다. 07 부정적분, 06 도함수의 활용 (3), 09 정적분의 활용이 각 4문항, 05 도함수의 활용 (2)가 2문항입니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도는 20번 한 문항(주기함수의 정적분)입니다. 중상은 14·15·18·19·23번 다섯 문항이고, 중상 이상은 모두 14번 이후에 있습니다.

쉬운 문항은 어디인가요?

1~5번과 21·22번, 모두 7문항이 하입니다. 1~5번은 연속으로 하 난이도라 빠르게 풀고 넘어가면 됩니다.

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