평촌고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025)

평촌고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 20문항입니다. 도함수의 활용 뒷부분부터 정적분의 활용까지가 배치 단원입니다. 이 시험에서 먼저 볼 숫자는 중상 9문항입니다. 전체의 절반 가까이가 중상이고, 상 3문항까지 더하면 12문항이 중상 이상입니다.

핵심 요약

• 20문항 — 정답 기록 기준 1~18번 선택형, 19·20번 서술형
• 난이도: 하 3 / 중 5 / 중상 9 / 상 3
• 배치 단원: 09 정적분의 활용 7 / 06 도함수의 활용 (3) 5 / 08 정적분 4 / 07 부정적분 3 / 05 도함수의 활용 (2) 1
• 반복 소재: 속도·위치·거리(직선 운동) 5문항(1·3·14·16·20번)
• 상 난이도: 9·10·18번

평촌고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가

평촌고등학교는 경기 안양시에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 20문항이 출제됐습니다. 정답 기록을 보면 118번은 ①⑤ 선택형, 19·20번 두 문항은 서술형입니다.

미분과 적분으로 나눠 보면 미분 파트 6문항(05·06 단원), 적분 파트 14문항(07·08·09 단원) 입니다. 기말 범위의 무게가 적분 쪽에 확실히 실려 있습니다. 그렇다고 미분을 가볍게 볼 수는 없습니다. 상 3문항 중 두 문항(9·10번)이 미분 파트에서 나왔습니다.

2025학년 난이도 분포 — 중상 9, 상 3

하 난이도는 2·3·4번 세 문항뿐입니다. 6번부터 이미 중상이 나오고, 9·10번에 상 두 문항이 연달아 붙어 있습니다. 시험지 앞쪽 3분의 1 지점에서 벌써 고비가 옵니다.

서술형 19·20번은 둘 다 중상입니다. 상 난이도는 아니지만 과정을 써야 하므로, 선택형에서 시간을 너무 쓰면 서술형을 제대로 마무리하지 못할 수 있습니다.

출제 단원 — 정적분의 활용 7문항이 최다

09 정적분의 활용이 7문항으로 가장 많고, 서술형 20번도 여기서 나왔습니다. 넓이와 움직인 거리 두 축을 모두 준비해야 합니다.

05 도함수의 활용 (2)는 10번 한 문항뿐이지만 상 난이도입니다. 문항 수가 적다고 건너뛰면 안 되는 이유입니다.

시그니처 — 속도·위치·거리 5문항

이 시험에서 가장 자주 나온 소재는 수직선 위를 움직이는 점입니다. 미분 단원과 적분 단원에 걸쳐 다섯 문항이 나왔습니다.

• 1번 중 속도·가속도와 운동 방향 (06 도함수의 활용 (3))
• 3번 하 가속도 (06 도함수의 활용 (3))
• 14번 중 위치와 위치의 변화량 (09 정적분의 활용)
• 16번 중상 함수의 최대·최소 · 위치와 위치의 변화량 (09 정적분의 활용)
• 20번 중상(서술형) 움직인 거리 (09 정적분의 활용)

위치를 미분하면 속도, 속도를 적분하면 위치의 변화량이라는 연결을 양방향으로 쓰는 구성입니다. 1번은 위치를 미분해 운동 방향이 바뀌는 시각을 고르고, 14번은 구간별 속도를 적분해 위치를 구합니다. 16번은 두 점의 위치를 각각 구한 뒤 두 점 사이 거리의 최솟값을 묻고, 20번은 방향이 바뀌는 시각을 기준으로 구간을 나눠 움직인 거리를 구합니다.

특히 위치의 변화량과 움직인 거리의 차이(절댓값을 씌우느냐)가 14번과 20번을 가르는 지점입니다. 이 차이를 정확히 구분하는 연습이 필요합니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 정적분의 활용 (4·7·14·15·16·18·20번) — 7문항

4번 하 곡선과 x축 사이의 넓이, 7번 중 두 곡선 사이의 넓이, 14번 중 위치와 위치의 변화량, 15번 중상 함수와 그 역함수의 정적분, 16번 중상 함수의 최대·최소 · 위치와 위치의 변화량, 18번 상 곡선과 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이, 20번 중상(서술형) 움직인 거리.

넓이 4문항, 직선 운동 3문항으로 나뉩니다. 넓이 쪽은 4번(곡선과 x축)에서 7번(두 곡선), 18번(곡선과 접선)으로 갈수록 어려워집니다.

15번 역함수의 정적분은 함수가 증가한다는 성질로 역함수 적분의 끝값을 원래 함수에 대응시키고, 직사각형 넓이에서 원래 함수 쪽 넓이를 빼는 관계를 세우는 문항입니다. 역함수를 직접 구하지 않고 그림으로 넓이를 옮기는 발상이 핵심입니다.

18번은 이 단원의 유일한 상입니다. 원점에서 접한다는 조건과 다른 근 조건으로 사차함수를 인수 형태로 세우고, 곡선과 접선 사이를 적분합니다.

2. 도함수의 활용 (3) (1·3·5·6·9번) — 5문항

1번 중 속도·가속도와 운동 방향, 3번 하 가속도, 5번 중 부등식 f(x)>g(x)가 항상 성립할 조건, 6번 중상 방정식 f(x)=k의 실근의 부호, 9번 상 방정식 f(x)=k의 실근의 개수.

5번은 두 함수의 차를 새 함수로 놓고 그 최솟값 조건으로 바꾸는 문항입니다. 부등식이 항상 성립할 조건의 표준 풀이 그대로입니다.

6번과 9번은 둘 다 f(x)=k 꼴입니다. 6번은 삼차함수 그래프의 극댓값·극솟값과 y절편 높이를 비교해 양의 근·음의 근의 개수를 맞추고, 9번은 절댓값이 붙은 그래프를 증가·감소 구간으로 나눈 뒤 수평선 높이별로 교점 개수를 빠짐없이 분류합니다. 그래프를 정확히 그리는 것이 두 문항의 출발점입니다.

3. 정적분 (11·12·13·17번) — 4문항

11번 중 우함수·기함수의 정적분, 12번 중상 정적분을 포함한 등식(아래끝 또는 위끝에 변수가 있는 경우), 13번 중상 함수의 최대·최소 · 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 정적분, 17번 중상 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소.

11번은 기함수의 대칭 구간 적분이 0이 되는 성질과 구간 연결을 함께 씁니다. 피적분함수가 주어지지 않은 형태입니다.

12번은 적분 등식에서 다항식의 차수를 먼저 정하고 계수를 맞추는 문항, 17번은 정적분으로 정의된 함수를 미분해 피적분함수의 부호로 극값을 판정하는 문항입니다. 둘 다 “적분으로 정의된 함수는 미분해서 본다”는 원칙 하나로 시작합니다.

4. 부정적분 (2·8·19번) — 3문항

2번 하 부정적분과 미분의 관계, 8번 중상 함수와 부정적분 사이의 관계식이 주어질 때 함수 구하기, 19번 중상(서술형) 부정적분과 도함수의 정의를 이용하여 함수 구하기.

19번 서술형은 함수에 대한 항등식에서 f(0)과 도함수를 차례로 구한 뒤 적분해 함수를 결정하는 흐름입니다. 적분상수를 정하는 단계까지 과정을 빠짐없이 써야 합니다.

5. 도함수의 활용 (2) (10번) — 1문항

10번 상 함수의 최대·최소를 이용한 미정계수의 결정.

절댓값이 붙은 함수가 미분 가능하지 않은 점의 개수를 수평선과의 교점 개수로 해석하고, 그 개수가 바뀌는 높이를 사차함수의 극값과 연결하는 문항입니다. 한 문항이지만 요구하는 단계가 많습니다.

주의 문항 — 상 3문항

9번 상 (f(x)=k의 실근의 개수) — 절댓값 그래프를 구간별로 나눠 높이마다 근의 개수를 세야 합니다.

10번 상 (최대·최소를 이용한 미정계수 결정) — 미분 불가능한 점과 극값을 연결하는 해석이 필요합니다.

18번 상 (곡선과 접선으로 둘러싸인 넓이) — 사차함수의 식을 세우는 단계에서 막히면 넓이 계산까지 가지 못합니다.

9·10번이 연달아 있어 앞쪽에서 시간을 크게 잃기 쉬운 배치입니다. 막히면 표시해 두고 11번 이후로 넘어가는 순서 전략을 생각해 볼 만합니다.

평촌고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서

1. 부정적분과 미분의 관계 — 2번 대비. 확보 구간.
2. 관계식으로 함수 구하기, 적분상수 결정 — 8·19번 대비.
3. 우함수·기함수의 정적분 — 11번 대비.
4. ★ 정적분으로 정의된 함수 미분하기 — 12·17번 공통 도구.
5. 구간별로 정의된 함수의 정적분 — 13번 대비.
6. 부등식이 항상 성립할 조건 — 5번 대비.
7. ★ f(x)=k의 실근 개수·부호 — 6·9번 대비. 그래프 그리기 연습.
8. 절댓값 함수와 미분 가능성, 극값 — 10번 대비.
9. 곡선과 x축, 두 곡선 사이의 넓이 — 4·7번 대비.
10. 역함수의 정적분 — 15번 대비.
11. 곡선과 접선으로 둘러싸인 넓이 — 18번 대비.
12. ★ 속도·가속도, 위치의 변화량과 움직인 거리 — 1·3·14·16·20번. 이 시험의 시그니처.

자주 나오는 질문

평촌고 2학년 2학기 기말 수학은 몇 문항인가요?

2025학년 기준 20문항입니다. 정답 기록 기준으로 1~18번은 선택형, 19·20번은 서술형입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 09 정적분의 활용이 7문항으로 가장 많습니다. 이어서 06 도함수의 활용 (3) 5문항, 08 정적분 4문항입니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도는 9·10·18번 세 문항입니다. 9·10번은 미분 파트, 18번은 넓이 문항입니다. 중상도 9문항이라 전체적으로 난도가 높은 편입니다.

서술형은 어떤 단원에서 나오나요?

19번은 07 부정적분, 20번은 09 정적분의 활용(움직인 거리) 입니다. 둘 다 중상 난이도입니다.

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