안양여고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년)

경기 안양시 안양여고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 21문항입니다. 범위는 도함수의 활용부터 정적분의 활용까지이고, 미분 11문항, 적분 10문항으로 거의 반반입니다. 하 난이도는 없고 중 10문항, 중상 10문항, 상 1문항(19번) 입니다.

핵심 요약

• 21문항 — 정답 기록 기준 1~20번 선택형, 21번 서술형 1문항
• 난이도: 하 0 / 중 10 / 중상 10 / 상 1
• 배치 단원: 05 도함수의 활용 (2) 5 / 06 도함수의 활용 (3) 5 / 09 정적분의 활용 5 / 08 정적분 4 / 07 부정적분 1 / 03 미분계수와 도함수 1
• 최고 난도: 19번 상 (방정식 f(x)=k의 실근의 개수)
• 고난도 구간: 14~20번 일곱 문항 연속 중상 이상

안양여고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가

안양여자고등학교는 경기 안양시에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 21문항이고, 정답 기록을 보면 1~20번은 선택형, 21번만 서술형입니다.

1~6번은 전부 중입니다. 절댓값 정적분, 극대 조건으로 상수 정하기, 부정적분과 극값, 속도와 운동 방향, 정적분 등식 미분, 구간에서 극값을 가질 조건입니다. 7번부터 중상이 섞이기 시작하고, 14번부터 20번까지는 끊김 없이 중상 이상입니다.

서술형 21번은 닫힌구간에서 함수의 최대·최소를 구하는 중 난이도 문항입니다. 마지막 번호지만 어렵지 않으니 시간이 부족해도 반드시 써야 합니다.

2025학년 난이도 분포 — 중 10, 중상 10, 상 1

하가 없고 중과 중상이 반반입니다. 중 10문항을 다 맞히는 것이 출발선이고, 중상 10문항에서 몇 개를 더 가져오느냐가 등급을 정합니다.

중 난이도는 1~6번, 9·12·13번, 21번에 있습니다. 시험지를 받으면 이 문항들을 먼저 처리하고 중상 구간으로 넘어가는 순서가 좋습니다.

출제 단원 — 미분 11문항, 적분 10문항

도함수의 활용 10문항(05 단원 5, 06 단원 5)에 17번 미분가능성 1문항이 더해져 미분 쪽이 11문항입니다. 17번은 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 미분가능성으로, 도함수의 활용보다 앞 단원인 미분계수와 도함수 내용이 기말에 다시 나왔습니다.

적분 10문항은 정적분의 활용 5, 정적분 4, 부정적분 1입니다. 미분과 적분이 거의 같은 비중이라 어느 한쪽만 준비하면 안 됩니다.

시그니처 — 실근의 개수 2문항과 그래프 높이 판정

방정식 f(x)=k의 실근의 개수가 8번(중상)과 19번(상) 두 번 나왔습니다. 18번(최대·최소로 미정계수 결정)도 같은 발상을 씁니다.

• 8번 중상 — 극값과 절댓값 그래프로 기준 높이를 정하고, 높이 구간마다 실근 개수를 나누어 정확히 다섯 실근이 되는 상수 찾기
• 18번 중상 — 사차함수의 두 극값 높이와 교점 개수가 바뀌는 지점을 연결하고, 주어진 조건과 연립해 함수 결정
• 19번 상 — 삼차함수의 극대 위치와 함숫값으로 높이 범위를 정하고, 자연수 높이별 근의 개수 합 조건에서 함수를 결정

세 문항의 공통점은 그래프를 그리고 수평선을 위아래로 움직이며 교점 수를 세는 것입니다. 극댓값·극솟값 높이에서 교점 수가 바뀐다는 점을 정확히 쓰는 연습이 필요합니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 도함수의 활용 — 극값과 최대·최소 (2·6·12·18·21번)

2번 중 함수의 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정, 6번 중 삼차함수가 주어진 구간에서 극값을 가질 조건, 12번 중 도함수의 그래프의 해석(응용), 18번 중상 함수의 최대·최소를 이용한 미정계수의 결정, 21번 중 서술형 함수의 최대·최소.

6번은 극대·극소가 주어진 구간에 있도록 도함수의 두 근 위치를 정하는 문항입니다. 구간 양 끝에서 도함수의 부호 조건으로 정수 계수를 고릅니다.

21번 서술형은 도함수가 0이 되는 점 중 구간 안에 있는 것만 고르고, 양 끝 값과 비교하는 과정을 씁니다. 구간 밖 임계점을 함께 비교하면 감점입니다.

2. 도함수의 활용 — 방정식·부등식·속도 (4·8·11·13·19번)

4번 중 속도·가속도와 운동 방향, 8번 중상 방정식 f(x)=k의 실근의 개수, 11번 중상 주어진 구간에서 부등식이 항상 성립할 조건, 13번 중 속도·가속도와 운동 방향, 19번 상 방정식 f(x)=k의 실근의 개수.

속도·가속도 2문항(4·13번) 입니다. 4번은 속도를 인수분해해 중근에서 부호가 바뀌지 않는 점을 걸러 운동 방향이 처음 바뀌는 시각을 찾습니다. 13번은 두 점 사이 거리가 최대일 때의 조건과 운동 방향에 대한 보기를 판정합니다.

11번은 닫힌구간에서 두 함수의 차가 0 이상이 될 조건을 차함수의 최솟값으로 바꿉니다. 임계점과 구간의 양 끝을 모두 비교해야 합니다.

3. 미분가능성 (17번)

17번 중상 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 미분가능성. 도함수에 대한 등식으로 삼차식 계수를 제한하고, 원점에서 좌우 미분계수가 같다는 조건으로 함수를 결정합니다.

4. 부정적분·정적분 (1·3·5·16·20번)

1번 중 정적분의 계산(절댓값 기호를 포함한 함수), 3번 중 부정적분과 극대·극소, 5번 중 정적분을 포함한 등식(위끝에 변수), 16번 중상 정적분을 포함한 등식(끝이 상수), 20번 중상 정적분을 포함한 등식(끝과 피적분함수에 변수).

정적분을 포함한 등식이 세 형태로 모두 나왔습니다(5·16·20번). 5번은 끝값 대입과 미분, 16번은 정적분 값을 상수로 놓고 연립, 20번은 극한 꼴에서 분자가 0이 되는 조건과 미분을 함께 씁니다. 형태별 처리법을 구분해 두어야 합니다.

5. 정적분의 활용 (7·9·10·14·15번) — 5문항

7번 중상 두 도형의 넓이가 같을 조건, 9번 중 위치와 위치의 변화량, 10번 중상 함수와 역함수의 그래프의 y=x 대칭을 이용한 넓이, 14번 중상 두 곡선 사이의 넓이, 15번 중상 곡선과 x축 사이의 넓이.

7번은 두 넓이의 차를 하나의 정적분으로 바꾸어 기울기를 구합니다. 10번은 역함수 그래프와의 넓이를 원래 함수의 정적분으로 바꿉니다. 14번은 대칭이동·평행이동한 포물선과 원래 포물선의 교점, 위아래를 판정한 뒤 넓이를 적분합니다.

주의 문항 — 상 1문항 + 중상 10문항

19번 상 (실근의 개수) — 높이별 근의 개수 합 조건에서 함수를 거꾸로 정합니다.

8·18번 중상 (실근의 개수, 극값 높이) — 19번과 같은 그래프 높이 판정입니다.

11번 중상 (구간에서 부등식 성립) — 끝점 비교를 빠뜨리기 쉽습니다.

17번 중상 (미분가능성) — 앞 단원(미분계수와 도함수) 내용입니다.

16·20번 중상 (정적분 등식) — 형태별 처리법이 다릅니다.

7·10·14·15번 중상 (넓이) — 넓이 관계식을 정적분으로 바꾸는 연습이 필요합니다.

안양여고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서

1. 절댓값 정적분, 부정적분과 극값 — 1·3번 대비.
2. 극대·극소 조건으로 미정계수 결정 — 2번 대비.
3. 구간에서 극값을 가질 조건 — 6번 대비.
4. 도함수 그래프 해석 — 12번 대비.
5. 닫힌구간 최대·최소 서술 — 21번 서술형 대비. 구간 안 임계점만 비교.
6. 속도·가속도와 운동 방향 — 4·13번 대비.
7. 위치와 위치의 변화량 — 9번 대비.
8. ★ 정적분을 포함한 등식 세 형태 — 5·16·20번 대비.
9. 구간에서 부등식이 항상 성립할 조건 — 11번 대비.
10. 구간별 함수의 미분가능성 — 17번 대비. 앞 단원 복습.
11. ★ f(x)=k의 실근 개수와 극값 높이 — 8·18·19번 대비. 이 시험의 중심.
12. 두 도형의 넓이가 같을 조건, 곡선과 x축 사이 넓이 — 7·15번 대비.
13. 두 곡선 사이의 넓이 — 14번 대비.
14. 역함수 그래프와 y=x 대칭 넓이 — 10번 대비.

자주 나오는 질문

안양여고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 21문항입니다. 정답 기록 기준 1~20번은 선택형, 21번은 서술형입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 도함수의 활용 (2), 도함수의 활용 (3), 정적분의 활용이 각 5문항으로 가장 많습니다. 이어서 정적분 4문항, 부정적분 1문항, 미분계수와 도함수 1문항입니다.

킬러 문항이 있나요?

19번(방정식 f(x)=k의 실근의 개수) 이 유일한 상입니다. 중상은 10문항이고, 14~20번이 연속으로 중상 이상입니다.

미분과 적분 중 어느 쪽이 더 많이 나오나요?

미분 11문항, 적분 10문항으로 거의 같습니다. 미분 쪽에는 앞 단원인 미분가능성 문항(17번)도 포함돼 있습니다.

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