별가람고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년)

별가람고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 21문항입니다. 범위는 도함수의 활용부터 정적분의 활용까지이고, 정적분의 활용이 7문항으로 가장 많습니다. 이 시험의 가장 큰 특징은 중상이 13문항으로 전체의 62% 라는 점입니다. 7번부터 20번까지 열네 문항 중 열세 문항이 중상이고, 마지막 21번은 상입니다.

핵심 요약

• 21문항 — 정답 기록 기준 116번 선택형, 1721번 서술형 5문항
• 난이도: 하 2 / 중 5 / 중상 13 / 상 1
• 배치 단원: 09 정적분의 활용 7 / 08 정적분 5 / 05 도함수의 활용 (2) 5 / 07 부정적분 2 / 06 도함수의 활용 (3) 2
• 구조: 7~20번 중 15번 하나만 중, 나머지 13문항 중상
• 상 난이도: 21번(서술형·정적분으로 정의된 함수의 최대·최소)

별가람고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가

별가람고등학교는 경기 남양주시에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 21문항이고, 정답 기록을 보면 116번은 선택형, 1721번 다섯 문항은 서술형입니다. 서술형이 다섯 문항이라 답안 작성 시간까지 계산해야 하는 시험입니다.

단원을 크게 묶으면 적분 파트(부정적분·정적분·정적분의 활용) 14문항, 미분 파트(도함수의 활용 (2)·(3)) 7문항입니다. 2학기 기말답게 적분이 전체의 3분의 2입니다. 서술형 다섯 문항 중에서도 네 문항(17·18·20·21번)이 적분 단원이고, 19번만 도함수의 활용 (2)입니다.

2025학년 난이도 분포 — 중상 13문항

1~6번이 하·중 구간입니다. 하 2문항(1·2번)과 중 4문항(3~6번)이 여기 모여 있습니다. 이 여섯 문항을 빠르고 정확하게 끝내는 것이 전부의 출발점입니다.

7번부터는 중상이 이어집니다. 714번 여덟 문항이 연속 중상이고, 15번이 잠깐 중, 다시 1620번이 중상, 21번이 상입니다. 시험의 3분의 2가 중상 이상이라, 중상 문항을 안정적으로 푸는 힘이 곧 점수입니다.

출제 단원 — 정적분의 활용 7문항

정적분의 활용 7문항이 가장 많고, 이 가운데 서술형이 세 문항(17·18·20번)입니다. 넓이와 운동(위치·움직인 거리) 문제가 모두 이 단원에 들어 있습니다.

도함수의 활용 (2) 5문항은 모두 중상입니다(7·9·12·14·19번). 미분 파트는 문항 수가 적지만, 나오는 문항은 전부 어렵게 나왔습니다. 정적분 단원 5문항도 2번(하)을 빼면 모두 중상 이상입니다.

시그니처 — 넓이 문항 5개, 이어 붙인 함수 4개

이 시험에서 반복되는 축은 두 가지입니다.

첫째, 넓이 문항이 다섯 개입니다.

• 5번 중 곡선과 x축 사이의 넓이 — 넓이 값으로 계수 결정
• 8번 중상 두 곡선 사이의 넓이의 활용; 넓이의 최솟값 — 접선과 곡선 사이 넓이의 최소
• 15번 중 두 곡선 사이의 넓이 — 그림의 두 영역 넓이를 정적분 관계로 바꾸기
• 17번 중상·서술형 곡선과 x축 사이의 넓이 — 도함수에서 함수를 구한 뒤 둘러싸인 넓이
• 18번 중상·서술형 두 도형의 넓이가 같을 조건 — 두 영역의 넓이가 같아지는 직선

둘째, 두 식을 이어 붙인 함수(조각함수)가 네 문항에 나옵니다. 7번은 절댓값으로 나뉜 두 구간의 감소 조건, 13번은 이어 붙인 주기함수의 정적분, 14번은 조각함수의 최솟값, 21번은 정적분으로 정의된 조각함수입니다. 네 문항 모두 이어지는 점에서의 연속 또는 미분가능 조건으로 계수를 정하는 단계가 들어갑니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 부정적분 (1·3번) — 2문항

1번 하 부정적분과 미분의 관계, 3번 중 도함수가 주어질 때 함수 구하기.

3번은 도함수를 적분한 뒤 양 끝 함숫값이 같다는 조건으로 적분상수를 정하는 문항입니다.

2. 정적분 (2·11·13·16·21번) — 5문항

2번 하 정적분의 계산(적분 구간이 같은 경우), 11번 중상 정적분을 포함한 등식(위끝과 피적분함수에 변수가 있는 경우), 13번 중상 주기함수의 정적분, 16번 중상 정적분으로 정의된 함수의 최대·최소, 21번 상·서술형 정적분으로 정의된 함수의 최대·최소.

11번은 피적분함수에도 x가 들어 있는 적분 등식입니다. x를 적분 밖으로 꺼낸 뒤 미분해야 하고, 두 번 미분해 함수식을 결정하는 문항입니다.

13번은 이어 붙인 함수가 주기적으로 반복되는 경우입니다. 연속 조건으로 계수를 정하고, 한 주기 적분 값을 이용해 긴 구간의 적분을 계산합니다.

16번과 21번은 같은 유형(정적분으로 정의된 함수의 최대·최소) 입니다. 미적분의 기본정리로 도함수를 얻어 증감을 따지는 것이 공통 출발점입니다. 21번이 이 시험의 유일한 상 난이도로, 조각함수의 연속 조건, 영점 조건의 여러 경우, 수평선과의 교점 개수 조건을 모두 거쳐 계수를 확정하는 서술형입니다.

3. 정적분의 활용 (4·5·8·15·17·18·20번) — 7문항

4번 중 그래프에서의 위치와 움직인 거리, 5번 중 곡선과 x축 사이의 넓이, 8번 중상 넓이의 최솟값, 15번 중 두 곡선 사이의 넓이, 17번 중상·서술형 곡선과 x축 사이의 넓이, 18번 중상·서술형 두 도형의 넓이가 같을 조건, 20번 중상·서술형 위치와 위치의 변화량.

4번은 속도 그래프의 넓이로 위치 변화를 구합니다. x축 아래 넓이는 음의 변위라는 점이 핵심입니다.

8번은 접선과 곡선 사이 넓이를 식으로 세우고 최솟값을 구합니다. 넓이가 매개변수에 대한 식으로 나오고, 그 식의 최소를 찾는 2단 구조입니다.

20번 서술형은 두 점이 만나는 조건을 다룹니다. 두 속도와 출발 위치로 상대 위치를 적분해 구하고, 두 번 만나는 조건을 상대 위치 함수의 극소와 비교해 정합니다. 위치를 함수로 세우는 첫 줄을 정확히 써야 이후 단계가 이어집니다.

4. 도함수의 활용 (2) (7·9·12·14·19번) — 5문항, 모두 중상

7번 주어진 구간에서 삼차함수가 증가 또는 감소하기 위한 조건, 9번 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정(사차함수), 12번 같은 유형, 14번 함수의 최대·최소(조각함수), 19번 서술형 최대·최소의 활용(넓이).

9번과 12번은 같은 유형입니다. 9번은 도함수의 대칭성으로 홀수차 계수를 없애고 극소 조건으로 사차함수를 정합니다. 12번은 극댓값이 0이 되는 조건에서 가능한 값을 모두 구한 뒤 함수의 부호로 하나를 고릅니다.

19번 서술형은 접선과 수선이 만드는 삼각형의 넓이를 최대로 하는 문항입니다. 넓이를 변수에 대한 식으로 세우고, 주어진 열린구간에서 극대가 하나뿐임을 확인합니다.

5. 도함수의 활용 (3) (6·10번) — 2문항

6번 중 속도·가속도와 운동 방향, 10번 중상 삼차방정식의 근의 판별.

10번은 세 실근을 갖는 조건에서 매개변수 범위를 정하고, 근의 곱의 부호와 정수 조건을 결합하는 문항입니다.

주의 문항 — 서술형 5문항

이 시험은 서술형 다섯 문항이 모두 중상 이상입니다.

17번 중상 (곡선과 x축 사이의 넓이) — 도함수에서 함수를 구하고, 세 영점과 부호를 정해 넓이를 계산합니다.

18번 중상 (두 도형의 넓이가 같을 조건) — 넓이가 같다는 조건을 정적분 값의 차가 0이라는 식으로 바꿉니다.

19번 중상 (최대·최소의 활용; 넓이) — 넓이식을 세우는 것이 절반입니다.

20번 중상 (위치와 위치의 변화량) — 상대 위치 함수의 극소로 만남 횟수를 판단합니다.

21번 상 (정적분으로 정의된 함수의 최대·최소) — 이 시험의 최고 난도입니다. 경우를 모두 검토한 흔적을 답안에 남겨야 합니다.

별가람고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서

1. 부정적분과 미분의 관계, 같은 구간 정적분 계산 — 1·2번 대비. 확보 구간.
2. 도함수에서 함수 구하기 — 3·17번 대비.
3. 속도 그래프와 위치 변화 — 4·6번 대비.
4. 곡선과 x축 사이의 넓이 — 5·17번 대비. 부호 구간 나누기.
5. ★ 두 곡선 사이의 넓이와 넓이 조건 — 8·15·18번 대비.
6. ★ 극대·극소로 계수 결정 — 9·12번 대비. 대칭성과 부호로 경우 고르기.
7. 구간에서의 증가·감소 조건 — 7번 대비. 절댓값 구간 나누기.
8. 삼차방정식의 근의 판별 — 10번 대비.
9. 피적분함수에 변수가 있는 적분 등식 — 11번 대비.
10. ★ 이어 붙인 함수의 연속·미분가능 조건 — 13·14·21번 대비.
11. 정적분으로 정의된 함수의 최대·최소 — 16·21번 대비.
12. 넓이의 최대 활용, 두 점의 만남 — 19·20번 대비. 식 세우기 연습.

자주 나오는 질문

별가람고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 21문항입니다. 정답 기록 기준으로 116번은 선택형, 1721번 다섯 문항은 서술형입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 정적분의 활용 7문항이 가장 많고, 정적분 5문항, 도함수의 활용 (2) 5문항, 부정적분 2문항, 도함수의 활용 (3) 2문항 순입니다.

얼마나 어려운 시험인가요?

중상이 13문항(62%) 이고 상이 1문항입니다. 하·중은 1~6번과 15번, 합쳐 7문항뿐입니다.

킬러 문항은 무엇인가요?

상 난이도는 21번 서술형(정적분으로 정의된 함수의 최대·최소) 한 문항입니다.

서술형은 어떤 내용인가요?

17번 곡선과 x축 사이의 넓이, 18번 두 도형의 넓이가 같을 조건, 19번 최대·최소의 활용(넓이), 20번 위치와 위치의 변화량, 21번 정적분으로 정의된 함수의 최대·최소입니다. 17~20번은 중상, 21번은 상입니다.

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