남양주다산고 1학년 2학기 기말고사 공통수학2 기출 분석 (2025학년)

남양주다산고 1학년 2학기 기말고사 공통수학2는 2025학년 기준 총 21문항입니다. 범위는 집합부터 무리함수까지이고, 명제가 7문항으로 가장 많습니다. 이 시험의 특징은 범위가 무리함수까지인데도 무리함수 문항은 서술형 20번 하나뿐이고, 대신 명제와 함수 두 단원이 13문항을 차지한다는 점입니다.

핵심 요약

• 21문항 — 정답 기록 기준 118번 선택형, 1921번 서술형 3문항
• 난이도: 하 6 / 중 11 / 중상 4 / 상 0
• 배치 단원: 07 명제 7 / 08 함수 6 / 09 유리식과 유리함수 3 / 06 집합의 연산 2 / 05 집합의 뜻과 표현 2 / 10 무리식과 무리함수 1
• 명제 7문항 중 필요·충분조건 관련 3문항(13·18·19번)
• 중상 4문항: 10번(코시-슈바르츠), 16번(역함수), 18번(명제 상수 결정), 21번(서술형·역함수 존재 조건)

남양주다산고 고1 2학기 기말은 어떤 시험인가

남양주다산고등학교는 경기 남양주시에 있는 고등학교입니다. 2025학년 1학년 2학기 기말고사 공통수학2는 총 21문항이고, 정답 기록을 보면 118번은 선택형, 1921번은 서술형입니다.

범위는 집합·명제·함수·유리함수·무리함수로 넓습니다. 하지만 문항 수는 고르지 않습니다. 명제 7, 함수 6이 압도적이고, 유리함수 3, 집합 4(뜻과 표현 2·연산 2), 무리함수 1입니다. 명제와 함수를 깊게 준비한 학생이 유리한 시험입니다.

1~5번은 집합·명제·함수·유리함수·집합이 한 문항씩 하 난이도로 나와 범위 전체를 한 번 훑는 도입부입니다. 그 뒤로 명제와 함수 문항이 번갈아 이어집니다.

2025학년 난이도 분포 — 중 11문항

상 난이도는 없고, 중상은 4문항입니다. 하와 중이 17문항, 전체의 81%입니다.

중상 4문항이 10·16·18·21번으로 흩어져 있다는 점이 특징입니다. 10번이 이른 위치에 나오는 중상이라, 앞에서부터 순서대로 풀다 보면 10번에서 시간을 쓰기 쉽습니다. 막히면 표시해 두고 11번으로 넘어가는 판단이 필요합니다.

출제 단원 — 명제 7문항, 함수 6문항

명제 7문항 중 중상이 2문항(10·18번) 이고, 함수 6문항 중 중상은 16번 하나입니다. 유리함수에서는 서술형 21번이 중상입니다.

집합 4문항(1·5·7·17번)은 모두 하 또는 중입니다. 집합 단원은 확실히 가져가야 하는 구간입니다.

시그니처 — 필요·충분조건 3문항

명제 단원 안에서 필요조건·충분조건이 세 문항에 나왔습니다.

• 13번 중 충분·필요조건과 명제의 참, 거짓 — 전기회로의 스위치 연결로 주어진 조건
• 18번 중상 충분·필요·필요충분조건이 되도록 하는 상수 구하기 — ‘모든’이 붙은 명제가 거짓이 되는 조건과 결합
• 19번 중·서술형 충분·필요·필요충분조건과 진리집합 — 절댓값 부등식의 진리집합으로 두 방향 판정

13번은 전기회로 상황이라는 점이 독특합니다. 스위치가 직렬·병렬로 연결된 그림을 조건으로 바꾸고, 필요·충분 두 방향을 모든 스위치 상태에서 판단합니다.

19번 서술형은 절댓값 부등식을 풀어 두 진리집합을 구한 뒤, 포함 관계로 어느 방향이 참인지, 반대 방향은 반례로 거짓임을 보이는 문항입니다. 진리집합을 수직선에 그려 두는 것이 답안의 뼈대가 됩니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 집합 (1·5·7·17번) — 4문항

1번 하 여집합과 차집합, 5번 하 특정한 원소를 갖거나 갖지 않는 부분집합의 개수, 7번 중 유한집합의 원소의 개수의 활용(최댓값과 최솟값), 17번 중 조건을 만족시키는 집합의 개수.

5번은 꼭 빠져야 하는 원소를 빼고 남은 원소로 부분집합 개수를 셉니다.

7번은 두 집합의 교집합 원소 개수가 가질 수 있는 범위를 구하는 문항입니다. 포함 관계가 만들어지는 두 극단의 경우를 떠올리면 최댓값과 최솟값이 나옵니다.

17번은 서로소 조건과 여집합 조건으로 넣을 수 있는 원소를 먼저 정한 뒤, 공집합이 아닌 부분집합 개수를 셉니다.

2. 명제 (2·8·9·10·13·18·19번) — 7문항

2번 하 진리집합, 8번 하 명제와 역, 대우의 참, 거짓, 9번 중 명제의 참, 거짓(증명 빈칸), 10번 중상 코시-슈바르츠 부등식, 13번 중 충분·필요조건과 명제, 18번 중상 필요·충분조건이 되도록 하는 상수 구하기, 19번 중·서술형 필요·충분조건과 진리집합.

9번은 나머지로 경우를 나눈 증명의 빈칸을 채우는 문항입니다. 두 경우의 식을 각각 비교해 빈칸 값을 정합니다.

10번은 산술·기하평균과 코시-슈바르츠 부등식이 연결된 문항입니다. 산술·기하평균의 등호 조건을 먼저 세우고, 제곱합이 고정된 상태에서 일차식의 최솟값을 구한 뒤, 두 최솟값이 동시에 성립하는지 확인합니다. 등호 조건까지 맞춰야 하는 3단계 문항입니다.

18번은 ‘모든’이 붙은 명제가 거짓이 되는 조건과, 다른 조건의 충분조건이 성립하지 않는 조건을 함께 따져 상수를 정합니다.

3. 함수 (3·6·11·12·14·16번) — 6문항

3번 하 합성함수의 함숫값, 6번 중 항등함수와 상수함수, 11번 중 합성함수와 역함수, 12번 중 fⁿ 꼴의 합성함수, 14번 중 서로 같은 함수, 16번 중상 역함수의 성질.

6번은 나머지로 정의된 함수와 상수함수 조건을 함께 쓰는 문항입니다.

11번은 역함수를 합성한 식을 세운 뒤 계수를 비교해 두 상수를 구합니다.

12번은 두 번 합성하면 항등함수가 되는 함수입니다. 합성 횟수가 짝수인지 홀수인지로 값을 정합니다.

14번은 두 함수가 같아지는 정의역을 찾는 문항입니다. 함숫값이 같은 원소들을 구한 뒤, 그 원소들로 만들 수 있는 정의역(공집합이 아닌 부분집합)의 개수를 셉니다.

16번은 자기 자신이 역함수인 일차함수에서 계수의 경우를 나누고, 열린구간에서 이차함수가 최솟값을 갖는 조건과 결합합니다. 꼭짓점이 구간 안에 있어야 최솟값이 존재한다는 점이 핵심입니다.

4. 유리함수와 무리함수 (4·15·20·21번) — 4문항

4번 하 유리함수의 그래프의 점근선, 15번 중 유리함수 절댓값 그래프와 수평선의 교점 개수, 20번 중·서술형 무리함수의 합성함수와 역함수, 21번 중상·서술형 역함수가 존재하기 위한 조건 · 유리함수의 그래프의 점근선.

15번은 절댓값이 씌워진 유리함수 그래프와 수평선의 교점 개수를 높이별로 정리하는 문항입니다. 높이가 0일 때와 수평 점근선 높이일 때 교점 수가 달라지므로 특별한 높이를 따로 확인해야 합니다.

20번 서술형은 무리함숫값을 구한 뒤 그 값을 유리함수의 역함수에 넣는 문항입니다. 역함숫값을 구할 때 원래 함수의 정의역 조건으로 답을 하나로 정해야 합니다.

21번 서술형은 두 식을 이어 붙인 함수의 역함수가 존재하기 위한 조건을 다룹니다. 두 조각이 각각 일대일이고 치역이 겹치지 않으면서 빈틈없이 채워져야 하므로, 이어지는 점의 높이 조건과 증가·감소 조건을 함께 써야 합니다.

주의 문항 — 중상 4문항

10번 중상 (코시-슈바르츠 부등식) — 앞쪽에 나오는 중상입니다. 등호 조건을 끝까지 확인하세요.

16번 중상 (역함수의 성질) — 계수의 두 경우와 이차함수 최소 조건을 결합합니다.

18번 중상 (필요·충분조건이 되도록 하는 상수) — ‘모든’이 붙은 명제의 부정을 정확히 써야 합니다.

21번 중상·서술형 (역함수 존재 조건) — 시험의 마지막 문항입니다. 조건을 단계별로 정리해 답안에 남기세요.

남양주다산고 고1 2학기 기말 대비 학습 순서

1. 여집합·차집합, 부분집합의 개수 — 1·5번 대비. 확보 구간.
2. 원소의 개수의 최대·최소 — 7번 대비.
3. 조건을 만족하는 집합의 개수 — 17번 대비.
4. 진리집합, 역과 대우 — 2·8번 대비.
5. 경우를 나눈 증명의 빈칸 — 9번 대비.
6. ★ 산술·기하평균과 코시-슈바르츠 부등식 — 10번 대비. 등호 조건까지.
7. ★ 필요·충분조건과 진리집합 — 13·18·19번 대비. 포함 관계와 반례.
8. 합성함수, 항등함수와 상수함수 — 3·6번 대비.
9. 역함수와 계수 비교, fⁿ 합성 — 11·12번 대비.
10. 서로 같은 함수 — 14번 대비.
11. 자기 자신이 역함수인 함수 — 16번 대비.
12. 유리함수 점근선과 절댓값 그래프 — 4·15번 대비.
13. ★ 무리함수의 합성, 역함수 존재 조건 서술 — 20·21번 대비.

자주 나오는 질문

남양주다산고 1학년 2학기 기말 공통수학2는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 21문항입니다. 정답 기록 기준으로 118번은 선택형, 1921번은 서술형입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 명제 7문항, 함수 6문항이 가장 많습니다. 유리식과 유리함수 3문항, 집합의 연산 2문항, 집합의 뜻과 표현 2문항, 무리식과 무리함수 1문항이 이어집니다.

무리함수는 얼마나 나오나요?

범위에는 무리함수까지 들어가지만, 배치 단원 기준 무리함수 문항은 서술형 20번 한 문항입니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도는 없습니다. 최고 난도는 중상 4문항(10·16·18·21번)입니다.

서술형은 어떤 내용인가요?

19번(중) 필요·충분조건과 진리집합, 20번(중) 무리함수의 합성함수와 역함수, 21번(중상) 역함수가 존재하기 위한 조건입니다.

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