토평고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년)

토평고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 21문항입니다. 범위는 도함수의 활용부터 정적분의 활용까지인데, 실제 배치를 보면 정적분 단원이 8문항으로 압도적입니다. 반대로 정적분의 활용은 9번 한 문항뿐입니다. 넓이 문제보다 정적분 계산과 적분 등식을 깊게 물은 시험입니다.

핵심 요약

• 21문항 — 정답 기록 기준 118번 선택형, 1921번 서술형 3문항
• 난이도: 하 4 / 중 10 / 중상 6 / 상 1
• 배치 단원: 08 정적분 8 / 07 부정적분 4 / 06 도함수의 활용 (3) 4 / 05 도함수의 활용 (2) 4 / 09 정적분의 활용 1
• 시그니처: 정적분을 포함한 등식 4문항(2·11·12·17번), 절댓값이 들어간 정적분 2문항(6·20번)
• 상 난이도: 18번(방정식 f(x)=k의 실근의 개수)

토평고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가

토평고등학교는 경기 구리시에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 21문항이고, 정답 기록을 보면 118번은 선택형, 1921번은 서술형입니다.

단원을 크게 묶으면 부정적분·정적분·정적분의 활용 13문항, 도함수의 활용 (2)·(3) 8문항입니다. 적분이 60%를 넘습니다. 그런데 그 13문항 중 정적분의 활용(넓이·거리)은 9번 하나이고, 나머지 12문항은 부정적분과 정적분 자체를 다룹니다. 곡선 사이 넓이 위주로 대비하면 이 시험과 맞지 않습니다.

1~4번은 부정적분·정적분·도함수의 활용이 하 난이도로 나오는 도입부입니다. 5번부터 중 난이도가 시작되고, 9번에서 첫 중상이 나옵니다.

2025학년 난이도 분포 — 중 10문항, 중상 6문항

하 4문항은 1~4번에 모여 있습니다. 이 네 문항이 확보 구간입니다.

중상과 중이 9번 이후로 섞여 나옵니다. 9번 중상, 10번 중, 11번 중상, 12·13번 중, 14·15번 중상, 16번 중, 17번 중상, 18번 상입니다. 14·15번과 17·18번에서 어려운 문항이 두 개씩 붙어 나오기 때문에 이 구간에서 시간이 많이 듭니다.

서술형 세 문항은 19·20번이 중, 21번이 중상입니다. 서술형이 선택형 후반보다 오히려 수월한 편이라, 18번에 매달리기보다 서술형을 먼저 완성하는 것도 방법입니다.

출제 단원 — 정적분 8문항

정적분 단원이 8문항으로 전체의 38% 입니다. 중상 6문항 중 세 문항(11·15·17번)이 정적분입니다.

부정적분 4문항도 적지 않습니다. 1·4번은 하, 14번은 중상, 19번은 서술형입니다.

도함수의 활용 (2)와 (3)은 각 4문항입니다. 상 난이도 18번은 도함수의 활용 (3), 서술형 21번(중상)은 도함수의 활용 (2)입니다.

시그니처 — 정적분을 포함한 등식 4문항

이 시험에서 가장 많이 반복된 유형은 정적분을 포함한 등식입니다.

• 2번 하 아래끝과 위끝이 상수인 경우 — 정적분 값을 계산해 일차 계수 결정
• 11번 중상 아래끝 또는 위끝과 피적분함수에 변수가 있는 경우 — 시작점 조건과 미분 조건을 연립
• 12번 중 아래끝 또는 위끝에 변수가 있는 경우 — 정적분이 0이 되는 점 네 개와 차수 조건
• 17번 중상 아래끝 또는 위끝에 변수가 있는 경우 — 절댓값 함수의 미분가능성과 삼중근 구조

네 문항이 같은 유형 이름 아래 서로 다른 장치를 씁니다. 2번은 계산형, 11번은 피적분함수에 변수가 섞인 형태, 12번은 영점 개수, 17번은 미분가능성까지 연결됩니다.

공통 출발점은 두 가지 기본 조작입니다. 위끝과 아래끝이 같아지는 값을 넣으면 적분이 0이 된다는 것, 그리고 양변을 미분하면 피적분함수가 나온다는 것입니다. 이 두 가지를 바로 꺼낼 수 있어야 네 문항이 모두 열립니다.

여기에 절댓값이 들어간 정적분이 두 문항(6·20번) 있습니다. 6번은 도함수의 절댓값을 적분해 원래 함수의 증감량과 연결하고, 서술형 20번은 대칭축 조건과 절댓값 적분으로 계수를 정합니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 부정적분 (1·4·14·19번) — 4문항

1번 하 부정적분의 계산, 4번 하 부정적분과 미분의 관계, 14번 중상 부정적분과 도함수의 정의를 이용하여 함수 구하기, 19번 중·서술형 함수와 부정적분 사이의 관계식이 주어질 때 함수 구하기.

14번은 극한이 섞인 부정적분 문항입니다. 극한이 존재한다는 조건에서 기준 함숫값을 먼저 정하고, 미분계수의 정의로 도함수 값을 구한 뒤 적분상수를 결정하는 3단계입니다.

19번 서술형은 두 함수가 들어간 관계식을 미분해 도함수를 얻고, 초깃값으로 두 함수를 구하는 문항입니다. 미분 → 적분 → 초깃값 대입 순서를 답안에 그대로 쓰면 됩니다.

2. 정적분 (2·6·10·11·12·15·17·20번) — 8문항

2번 하 정적분을 포함한 등식(상수 끝), 6번 중 절댓값 기호를 포함한 함수의 정적분, 10번 중 미적분의 기본정리, 11번 중상 정적분을 포함한 등식(피적분함수에 변수), 12번 중 정적분을 포함한 등식(변수 끝), 15번 중상 우함수·기함수의 정적분, 17번 중상 정적분을 포함한 등식(변수 끝), 20번 중·서술형 절댓값 기호를 포함한 함수의 정적분.

10번은 곱의 미분 꼴을 거꾸로 알아보는 문항입니다. 피적분함수가 어떤 곱의 도함수인지 보이면 정적분이 바로 계산됩니다.

15번은 도함수가 기함수일 때 원래 함수가 우함수라는 관계로 사차함수를 정하고, 대칭 구간의 정적분과 부등식 보기를 판정합니다.

17번은 이 단원에서 가장 까다로운 문항입니다. 절댓값 함수가 미분가능하려면 근이 어떤 구조여야 하는지 정한 뒤, 적분값 조건으로 함수를 구합니다.

3. 도함수의 활용 (2) (5·13·16·21번) — 4문항

5번 중 도함수의 그래프의 해석, 13번 중 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정, 16번 중 함수의 최대·최소, 21번 중상·서술형 주어진 구간에서 삼차함수가 증가 또는 감소하기 위한 조건.

5번은 도함수 그래프를 보고 네 개의 증감 진술을 판정합니다. 구간 끝점의 포함 여부와 극값 분류에서 실수가 잦습니다.

13번은 우함수인 사차함수에서 홀수차 계수를 없애고 극소 조건으로 계수를 정합니다.

16번은 극값을 갖는 점이 구간 안에 있는지 밖에 있는지에 따라 최솟값이 달라지는 문항입니다.

21번 서술형은 절댓값으로 나뉜 두 구간에서 모두 증가하기 위한 조건입니다. 각 구간의 도함수 조건을 따로 구하고, 이어지는 점의 연속 조건까지 확인한 뒤 가능한 정수의 개수를 셉니다. 소문항이 나뉘어 있어 각 단계의 결론을 따로 적어야 합니다.

4. 도함수의 활용 (3) (3·7·8·18번) — 4문항

3번 하 속도·가속도와 운동 방향, 7번 중 두 그래프의 교점의 개수, 8번 중 주어진 구간에서 부등식이 항상 성립할 조건, 18번 상 방정식 f(x)=k의 실근의 개수.

7번은 두 곡선의 교점 문제를 차함수로 바꾸고, 차함수의 극값과 수평선의 관계로 교점 수를 셉니다.

8번은 구간에서 최솟값이 0 이상이어야 한다는 조건으로 정리하는 문항입니다.

18번이 이 시험의 유일한 상 난이도입니다. 공통 영점 조건에서 삼차함수의 꼴을 정하고, 수평선의 높이가 양수일 때와 음수일 때로 나눠 전체 실근의 개수를 셉니다. 가능한 경우를 모두 찾아 더하는 4단계 문항이라 경우 정리가 관건입니다.

5. 정적분의 활용 (9번) — 1문항

9번 중상 움직인 거리.

위로 던진 물체의 높이를 속도 적분으로 구하고, 최고점·떨어지는 시각에 대한 진술과 실제 움직인 거리를 판정하는 보기형입니다. 위치의 변화량과 움직인 거리를 구분하는 것이 핵심입니다.

주의 문항 — 중상·상 7문항

9번 중상 (움직인 거리) — 첫 중상입니다. 변위와 거리를 혼동하지 마세요.

11번 중상 (피적분함수에 변수가 있는 적분 등식) — 시작점 조건과 미분 조건을 각각 세워 연립합니다.

14번 중상 (부정적분과 도함수의 정의) — 극한 조건에서 함숫값부터 정합니다.

15번 중상 (우함수·기함수의 정적분) — 도함수의 대칭성으로 원래 함수를 정하는 단계가 있습니다.

17번 중상 (적분 등식과 미분가능성) — 근의 구조를 먼저 잡아야 합니다.

18번 상 (f(x)=k의 실근의 개수) — 경우를 빠짐없이 나눠야 합니다.

21번 중상·서술형 (구간에서 증가하기 위한 조건) — 소문항별 결론과 연속 조건을 모두 써야 합니다.

토평고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서

1. 부정적분 계산, 부정적분과 미분의 관계 — 1·4번 대비. 확보 구간.
2. 속도와 운동 방향 — 3번 대비.
3. ★ 정적분을 포함한 등식 네 가지 형태 — 2·11·12·17번 대비. 같은 끝값 대입과 미분.
4. 절댓값이 들어간 정적분 — 6·20번 대비. 구간 나누기.
5. 미적분의 기본정리, 곱의 미분 역이용 — 10번 대비.
6. 우함수·기함수의 정적분 — 15번 대비.
7. 극한이 섞인 부정적분 — 14번 대비.
8. 두 함수 관계식에서 함수 구하기 — 19번 대비.
9. 도함수 그래프 해석 — 5번 대비.
10. 극대·극소 계수 결정, 구간 최대·최소 — 13·16번 대비.
11. 교점 개수와 항상 성립하는 부등식 — 7·8번 대비.
12. ★ f(x)=k의 실근의 개수 — 18번 대비.
13. 구간별 증가 조건 서술 — 21번 대비.
14. 움직인 거리와 변위 — 9번 대비.

자주 나오는 질문

토평고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 21문항입니다. 정답 기록 기준으로 118번은 선택형, 1921번은 서술형입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 정적분 8문항이 가장 많습니다. 부정적분, 도함수의 활용 (2), 도함수의 활용 (3)이 각 4문항, 정적분의 활용이 1문항입니다.

넓이 문제가 많이 나오나요?

아닙니다. 정적분의 활용 문항은 9번(움직인 거리) 하나입니다. 이 시험은 정적분 계산과 적분 등식 비중이 큽니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도는 18번(방정식 f(x)=k의 실근의 개수) 한 문항입니다. 중상은 6문항(9·11·14·15·17·21번)입니다.

서술형은 어떤 내용인가요?

19번(중) 함수와 부정적분 사이의 관계식, 20번(중) 절댓값이 들어간 정적분, 21번(중상) 구간에서 삼차함수가 증가하기 위한 조건입니다.

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