심석고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년)
심석고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 21문항입니다. 경기 남양주시에 있는 심석고의 이번 시험은 도함수의 활용이 13문항으로 절반을 넘고, 정적분·정적분의 활용이 7문항입니다. 무엇보다 중상 12문항, 상 2문항으로 중상 이상이 14문항, 전체의 3분의 2입니다.
핵심 요약
- 21문항. 정답 기록 기준 21문항 모두 ①~⑤ 선택지 정답
- 난이도: 하 1 / 중 6 / 중상 12 / 상 2
- 배치 단원: 08 정적분 5 / 06 도함수의 활용 (3) 5 / 04 도함수의 활용 (1) 4 / 05 도함수의 활용 (2) 4 / 09 정적분의 활용 2 / 03 미분계수와 도함수 1
- 반복 유형: 부등식이 항상 성립할 조건(10·19번), 접선의 기울기의 최댓값·최솟값(13·16번)
- 상 2문항은 16번(접선의 기울기와 삼차함수 결정), 21번(미적분의 기본정리의 활용)
심석고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가
심석고 2025학년 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 21문항입니다. 정답 기록 기준으로 모든 문항의 정답이 ①~⑤ 중 하나로 적혀 있습니다.
단원을 미분과 적분으로 나누면 미분 파트(03~06 단원) 14문항, 적분 파트(08·09 단원) 7문항입니다. 2학기 기말인데도 도함수의 활용이 중심이고, 적분은 3분의 1 정도입니다. 07 부정적분 단원으로 배치된 문항은 없습니다.
배치는 미분과 적분이 섞여 있습니다. 1·2번이 정적분, 3번 평균값 정리, 4번 다시 정적분, 510번 도함수의 활용으로 이어지다가 11번 정적분의 활용, 1217번 다시 미분, 18·21번 정적분, 20번 넓이가 나옵니다.
같은 학교 1학년 2학기 기말 공통수학2 분석은 별도 글로 정리돼 있습니다.
2025학년 난이도 분포 — 중상 12문항, 상 2문항
| 난이도 | 문항 수 | 비중 | 문항 번호 |
|---|---|---|---|
| 하 | 1 | 5% | 1 |
| 중 | 6 | 29% | 2·3·4·6·9·12 |
| 중상 | 12 | 57% | 5·7·8·10·11·13·14·15·17·18·19·20 |
| 상 | 2 | 10% | 16·21 |
하 문항은 1번(정적분의 계산) 하나뿐입니다. 중 6문항은 2·3·4·6·9·12번이고, 13번부터 마지막 21번까지 아홉 문항이 전부 중상 이상입니다.
5번에서 이미 첫 중상이 나오고, 7·8번, 10·11번이 연달아 중상입니다. 중 난이도 문항을 빠르고 정확하게 끝내야 뒤쪽 아홉 문항에 쓸 시간이 남습니다.
출제 단원 — 도함수의 활용 13문항
| 배치 단원 | 문항 수 | 문항 번호 |
|---|---|---|
| 08 정적분 | 5 | 1·2·4·18·21 |
| 06 도함수의 활용 (3) | 5 | 6·8·9·10·19 |
| 04 도함수의 활용 (1) | 4 | 3·7·14·16 |
| 05 도함수의 활용 (2) | 4 | 5·12·13·15 |
| 09 정적분의 활용 | 2 | 11·20 |
| 03 미분계수와 도함수 | 1 | 17 |
도함수의 활용 (1)·(2)·(3)을 합치면 13문항(62%) 입니다. 접선(04), 증가·감소와 극값(05), 방정식·부등식과 속도(06)가 고르게 나뉘었습니다.
정적분 5문항 중 3문항(2·4·18번)이 “정적분으로 정의된 함수” 를 다룹니다. 적분 기호 안에 변수가 들어간 함수를 미분해 푸는 유형이 반복된다는 뜻입니다.
반복 출제 — 같은 유형 2회가 두 쌍
- 주어진 구간에서 부등식이 항상 성립할 조건, 최대·최소의 활용 — 10번(중상), 19번(중상)
- 접선의 기울기의 최댓값 또는 최솟값 — 13번(중상), 16번(상)
10번은 접점에서 상수의 경계를 정하고, 19번은 닫힌 구간에서 삼차함수의 최대·최소로 자연수 범위를 정합니다. 부등식을 “함수의 최솟값 ≥ 0”으로 바꾸는 발상이 두 문항의 공통 출발점입니다.
13번과 16번은 접선의 기울기, 즉 도함수의 최대·최소를 묻습니다. 13번은 매개변수에 따라 달라지는 최솟값을 다시 함수로 보고 최대·최소를 구하고, 16번은 여기에 삼차함수의 계수 결정이 더해진 상 문항입니다.
단원별 문항 정리 (2025 기출 기준)
1. 미분계수와 도함수 (17번) — 1문항
17번 중상 미분계수를 이용한 극한값의 계산. 두 극한 조건에서 다항식의 차수와 최고차항 계수를 정하고, 미분계수로 나머지 근을 구합니다.
2. 도함수의 활용 (1) — 접선과 평균값 정리 (3·7·14·16번) — 4문항
3번 중 평균값 정리. 구간의 평균 기울기와 같은 미분계수를 갖는 점을 고릅니다.
7번 중상 접선의 방정식, 접점의 좌표가 주어진 경우. 홀함수 조건과 접점의 기울기로 삼차함수를 정한 뒤 새 접선의 기울기와 절편을 구합니다.
14번 중상 접선과 좌표축으로 둘러싸인 도형의 넓이. 주어진 접선 조건에서 미분계수를 구하고, 곱의 미분으로 새 함수의 접선을 구해 삼각형 넓이를 계산합니다.
16번 상 접선의 기울기의 최댓값 또는 최솟값. 세 점에서 함숫값이 같다는 조건으로 식의 꼴을 세우고, 평행한 접선과 도함수의 최댓값 조건으로 두 계수를 확정합니다.
3. 도함수의 활용 (2) — 극값과 최대·최소 (5·12·13·15번) — 4문항
5번 중상 주어진 구간에서 삼차함수가 증가 또는 감소하기 위한 조건. 절댓값으로 나뉜 두 식의 도함수를 따로 보고, 한쪽 구간에서 증가할 조건으로 최대 상수를 구합니다.
12번 중 도함수의 그래프를 이용한 함수의 극대·극소. 도함수 그래프의 세 영점 중 부호가 바뀌는 점과 접하는 점을 구별합니다.
13번 중상 접선의 기울기의 최솟값, 함수의 최대·최소. 접선 기울기의 최솟값을 매개변수에 대한 함수로 만든 뒤 닫힌 구간에서 다시 최대·최소를 구합니다.
15번 중상 함수의 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정. 극값 조건으로 다항식의 인수 구조를 정하고 함숫값을 계산합니다.
12번은 도함수 그래프가 x축에 접하는 점은 극값이 아니다라는 점을 확인하는 문항입니다. 중 난이도지만 흔히 실수하는 지점입니다.
4. 도함수의 활용 (3) — 방정식·부등식·속도 (6·8·9·10·19번) — 5문항
6번 중 속도·가속도와 운동 방향. 위치를 미분해 처음으로 운동 방향이 바뀌는 시각을 찾습니다.
8번 중상 방정식 f(x)=k의 실근의 개수. 삼차함수의 극댓값·극솟값으로 두 수평선이 각각 세 점에서 만나는 조건을 동시에 적용해 정수를 셉니다.
9번 중 가속도. 두 점의 위치가 같아지는 시각을 구하고 그때의 가속도를 계산합니다.
10번 중상 주어진 구간에서 부등식이 항상 성립할 조건. 접점에서 상수의 경계를 정하고 최솟값이 0이 되는 조건을 확인합니다.
19번 중상 주어진 구간에서 부등식이 항상 성립할 조건. 닫힌 구간에서 삼차함수의 극값과 양 끝 값을 비교해 자연수 범위를 정합니다.
5. 정적분 (1·2·4·18·21번) — 5문항
1번 하 정적분의 계산, 적분 구간이 같은 경우.
2번 중 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소. 미적분의 기본정리로 도함수가 0인 점을 구하고 부호 변화를 확인합니다.
4번 중 정적분으로 정의된 함수의 극한. 적분 구간의 이동을 미분계수로 바꿔 계산합니다.
18번 중상 정적분을 포함한 등식, 위끝에 변수가 있는 경우. 양변을 미분해 두 함수를 구하고 적분상수까지 확인합니다.
21번 상 미적분의 기본정리의 활용. 도함수에 대한 부등식 조건에서 함수가 가질 수 있는 위·아래 한계를 찾고, 정적분의 최댓값과 최솟값의 차를 구하는 마지막 문항입니다.
6. 정적분의 활용 (11·20번) — 2문항
11번 중상 그래프에서의 위치와 움직인 거리. 속도 그래프의 부호 구간별로 위치와 움직인 거리, 운동 방향을 각각 따집니다.
20번 중상 곡선과 직선 사이의 넓이. 두 영역의 넓이 비 조건으로 교점과 계수를 정합니다.
주의 문항 — 중상 이상 14문항 중 핵심
5번 중상 (구간별 증가 조건) — 시험 초반의 첫 중상 문항입니다. 절댓값으로 나뉜 구간을 정확히 분리해야 합니다.
8번 중상 (실근의 개수) — 두 수평선 조건을 동시에 만족해야 하고, 접하는 경우를 제외해야 합니다.
11번 중상 (위치와 움직인 거리) — 위치의 변화량과 움직인 거리를 혼동하면 틀리는 대표 유형입니다.
13번 중상 (접선 기울기의 최솟값의 최대·최소) — 최솟값을 구한 뒤 그것을 다시 함수로 보는 2단 구조입니다.
16번 상 (접선 기울기와 삼차함수 결정) — 조건이 여러 개라 순서대로 정리하는 것이 핵심입니다.
18번 중상 (정적분을 포함한 등식) — 미분한 뒤 원래 식에 다시 넣어 적분상수를 확인해야 합니다.
21번 상 (미적분의 기본정리 활용) — 시험의 마지막 문항입니다. 도함수 부등식에서 함수의 범위를 끌어내는 발상이 필요합니다.
심석고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서
- 정적분의 계산 — 1번 대비. 확보 구간.
- ★ 정적분으로 정의된 함수(극값·극한·등식) — 2·4·18번 대비. 미분해서 푸는 습관.
- 평균값 정리 — 3번 대비.
- 도함수 그래프로 극값 판정 — 12번 대비. 접하는 영점 구별.
- 속도·가속도와 운동 방향 — 6·9번 대비.
- 접선의 방정식과 접선이 만드는 넓이 — 7·14번 대비.
- 구간에서의 증가·감소 조건 — 5번 대비.
- 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 — 8번 대비.
- ★ 부등식이 항상 성립할 조건 — 10·19번 대비.
- ★ 접선 기울기의 최댓값·최솟값 — 13·16번 대비.
- 극값 조건으로 미정계수 결정, 미분계수와 극한 — 15·17번 대비.
- 위치와 움직인 거리, 곡선과 직선 사이의 넓이 — 11·20번 대비.
- 미적분의 기본정리 응용 — 21번 대비.
자주 나오는 질문
심석고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?
2025학년 기준 21문항입니다. 정답 기록 기준으로 21문항 모두 ①~⑤ 선택지 정답으로 적혀 있습니다.
어느 단원이 가장 많이 나오나요?
배치 단원 기준 정적분과 도함수의 활용 (3)이 각 5문항으로 가장 많습니다. 도함수의 활용 (1)·(2)를 합치면 도함수의 활용이 13문항입니다.
부정적분 문항도 나오나요?
07 부정적분 단원으로 배치된 문항은 없습니다. 적분 파트 7문항은 정적분 5문항, 정적분의 활용 2문항입니다.
킬러 문항이 있나요?
상 난이도는 16번과 21번입니다. 그 외에 중상이 12문항이라, 13번 이후는 전부 중상 이상입니다.
과년도 심석고 기출도 볼 수 있나요?
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