노원고 1학년 2학기 기말고사 공통수학2 기출 분석 (2025학년)

노원고 1학년 2학기 기말 공통수학2(2025학년)는 24문항입니다. 범위는 명제부터 무리함수까지이고, 그중 명제가 10문항으로 가장 많습니다. 하 난이도는 1번과 3번 두 문항뿐이고, 중 14문항·중상 8문항이 시험을 채웁니다.

핵심 요약

• 24문항 — 분석표 정답 기록 기준 모두 선지 번호(①~⑤)로 기록
• 난이도: 하 2 / 중 14 / 중상 8 / 상 0
• 배치 단원: 07 명제 10 / 08 함수 7 / 09 유리식과 유리함수 4 / 10 무리식과 무리함수 3
• 두 번씩 나온 유형: 충분·필요·필요충분조건이 되도록 하는 상수 구하기(14·15번), 유리함수의 그래프의 활용(20·24번)
• 4번부터 중상이 등장

노원고 고1 2학기 기말 공통수학2는 어떤 시험인가

노원고등학교는 서울 노원구에 있는 고등학교입니다. 2025학년 1학년 2학기 기말고사 공통수학2는 24문항이고, 분석표의 정답 기록으로는 24문항 모두 ①~⑤ 선지 번호로 적혀 있습니다.

이 시험은 단원 순서대로 나오지 않습니다. 명제와 함수가 앞쪽에서 섞여 나오고, 11번부터 유리함수·무리함수가 끼어듭니다. 마지막 23·24번도 명제와 유리함수입니다. 시험지 전체에 명제가 고르게 흩어져 있다는 점이 특징입니다.

그리고 4번이 벌써 중상입니다. 산술평균과 기하평균 문항이 앞쪽에 나와서, 순서대로 풀다 보면 초반에 시간이 걸릴 수 있습니다.

2025학년 난이도 분포 — 중 14, 중상 8

중 14문항이 시험의 몸통입니다. 상 난이도는 없고, 중상 8문항은 4번을 빼면 13번 이후에 있습니다. 특히 22·23·24번 마지막 세 문항이 연속 중상입니다.

출제 단원 — 명제 10문항

명제가 10문항(42%) 으로 가장 많습니다. 명제 안에서도 진리집합, 대우, 삼단논법, 필요·충분조건, 산술평균과 기하평균까지 단원 전체를 고르게 다룹니다.

중상 8문항을 단원별로 보면 명제 3(4·15·23번), 함수 2(17·22번), 유리함수 2(20·24번), 무리함수 1(13번) 입니다. 유리함수는 4문항 중 절반이 중상이라 비중 대비 어려운 편입니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 명제와 진리집합 (1·2·6·7번) — 4문항

1번 하 명제, 2번 중 명제의 참, 거짓과 진리집합, 6번 중 삼단논법과 명제의 추론, 7번 중 대우를 이용한 명제의 증명.

1번은 참·거짓을 판별할 수 없는 모호한 문장을 고르는 정의 문항입니다.

2번은 “p이면 q이다”를 진리집합의 포함 관계로 바꿔 반드시 성립하는 집합 관계를 고릅니다.

6번은 필요·충분조건을 화살표로 바꾼 뒤 대우와 삼단논법으로 보기를 판정합니다. 화살표 방향을 한 번 헷갈리면 보기 전체가 틀어지니 조건마다 따로 적어 두세요.

7번은 홀수를 일반형으로 나타내 대우를 증명하는 과정의 빈칸을 채웁니다. 전개한 뒤 계수를 비교하는 계산이 들어 있습니다.

2. ‘모든’·‘어떤’이 있는 명제 (8번) — 1문항

8번 중 ‘모든’이나 ‘어떤’이 있는 명제.

존재 명제의 부정을 ‘모든 x에 대해 부등식이 성립한다’로 바꾸고, 구간 양 끝 조건으로 정수의 합을 구합니다. “어떤”의 부정은 “모든”이라는 변환을 정확히 할 수 있어야 합니다.

3. 필요·충분조건으로 상수 구하기 (14·15·23번) — 3문항

14번 중 충분·필요·필요충분조건이 되도록 하는 상수 구하기, 15번 중상 같은 유형, 23번 중상 명제가 참이 되도록 하는 상수 구하기.

같은 유형이 14·15번에 연속으로 나왔습니다. 14번은 진리집합의 포함 관계로 매개변수 후보를 정하고, 집합이 같아지는 조건으로 후보를 골라냅니다. 15번은 모든 실수에서 성립하는 조건이 함께 있어 이차식의 판별식 경계를 먼저 구하고, 공집합 조건을 따진 뒤 가능한 정수 개수를 곱합니다.

23번은 진리집합이 닫힌구간일 때 부등식이 성립하는 경계를 함수의 최댓값·최솟값으로 따지고 정수 최대·최소를 고릅니다. 시험 끝부분에 있는 명제 문항이라 시간 배분이 중요합니다.

4. 산술평균과 기하평균 (4·16번) — 2문항

4번 중상 산술평균과 기하평균의 관계(합의 최솟값 구하기), 16번 중 산술평균과 기하평균의 관계(도형에서의 활용).

4번은 완전제곱식과 양수 부분으로 식을 나눈 뒤 산술·기하평균으로 최솟값을 구하고, 두 등호가 동시에 성립하는지 확인합니다. 4번 자리의 중상이라 초반 페이스 조절이 필요합니다.

16번은 직선의 두 절편의 합을 양수의 비율 합으로 바꿔 산술·기하평균으로 최솟값을 구합니다.

5. 함수의 뜻과 합성함수 (3·5·9·10번) — 4문항

3번 하 항등함수와 상수함수, 5번 중 함수의 뜻, 9번 중 f∘g에 대한 조건이 주어진 경우, 10번 중 역함수와 함숫값.

5번은 원소가 정해진 정의역에서 모든 함숫값이 공역 안에 있는지 확인해 함수인지 판정합니다.

9번은 일차함수 합성의 계수를 비교해 두 후보를 얻고, 추가로 주어진 함숫값으로 하나를 고릅니다.

10번은 대응식에서 함숫값과 역함수 값을 각각 구해 더합니다.

6. 역함수와 합성의 반복 (17·18·22번) — 3문항

17번 중상 합성함수 fⁿ이 항등함수가 되는 함수의 개수, 18번 중 역함수가 존재하기 위한 조건, 22번 중상 fⁿ 꼴의 합성함수.

17번은 두 번 합성하면 항등함수가 되는 함수(자기 자신이 역함수인 함수)를 원소끼리 짝을 바꾸는 것과 그대로 두는 것으로 나눠 셉니다. 배수 조건이 추가돼 있어 경우를 빠짐없이 세야 합니다.

18번은 절댓값이 들어간 조각 함수에서 두 구간의 기울기 부호가 같아야 역함수가 존재한다는 조건으로 최소 자연수를 구합니다.

22번은 구간별로 역함수를 구한 뒤 여러 번 합성할 때 짝수 번·홀수 번에 따른 규칙을 찾습니다. 규칙을 찾은 뒤 소인수분해로 횟수를 정하는 단계까지 있습니다.

7. 유리함수 (11·19·20·24번) — 4문항

11번 중 유리함수의 그래프의 성질, 19번 중 유리함수의 합성, 20번 중상 유리함수의 그래프의 활용, 24번 중상 유리함수의 그래프의 활용.

11번은 점근선과 대칭의 중심을 구해 그래프 성질 다섯 개를 대조합니다.

19번은 유리함수의 합성식을 구한 뒤 구간에서의 최댓값과 최솟값을 단조성으로 구합니다.

20번은 주기함수의 치역과 유리함수의 수평 점근선을 비교해 교점 개수를 셉니다. 치역의 양 끝까지 교점이 있는지 확인해야 하는 문항입니다.

24번은 두 유리함수의 교점을 이차방정식으로 바꾸고, 매개변수의 부호에 따라 양의 근의 개수를 분류합니다. 시험 마지막 문항입니다.

8. 무리함수 (12·13·21번) — 3문항

12번 중 무리함수의 그래프의 활용(도형의 넓이), 13번 중상 무리함수의 합성함수와 역함수, 21번 중 무리함수의 그래프와 직선의 위치 관계.

12번은 삼각형의 넓이로 높이를 정하고, 두 무리함수 식에 교점을 대입합니다.

13번은 증가하는 무리함수와 그 역함수의 교점은 직선 y=x 위에 있다는 성질로 교점을 구하고, 두 교점 사이의 거리를 계산합니다. 제곱해서 얻은 방정식의 근을 검토하는 단계가 필요합니다.

21번은 선분과 무리함수 그래프가 만날 조건을 매개변수 식으로 세우고, 양 끝값으로 범위를 정합니다.

주의 문항 — 중상 8문항

4번 (산술·기하평균 최솟값) — 앞쪽 중상. 등호 동시 성립 확인.

13번 (무리함수와 역함수의 교점) — y=x 위의 교점, 근 검토.

15번 (필요·충분조건으로 상수 구하기) — 판별식과 공집합 조건.

17번 (두 번 합성하면 항등함수) — 짝 바꾸기와 배수 조건.

20번 (유리함수와 주기함수 교점) — 수평 점근선 비교.

22번 (fⁿ 반복 합성) — 짝수·홀수 규칙.

23번 (명제가 참이 되는 상수) — 경계값과 정수 선택.

24번 (두 유리함수의 교점 개수) — 매개변수 부호별 분류.

노원고 고1 2학기 기말 공통수학2 대비 학습 순서

1. 명제와 진리집합 — 1·2번 대비.
2. 삼단논법과 대우 — 6·7번 대비. 화살표로 정리.
3. ‘모든’·‘어떤’의 부정 — 8번 대비.
4. ★ 필요·충분조건으로 상수 구하기 — 14·15·23번 대비.
5. ★ 산술평균과 기하평균 — 4·16번 대비. 등호 조건.
6. 함수의 뜻, 항등·상수함수 — 3·5번 대비.
7. 합성함수와 역함수 계산 — 9·10번 대비.
8. 역함수가 존재할 조건 — 18번 대비.
9. ★ fⁿ 합성과 항등함수 — 17·22번 대비.
10. 유리함수의 점근선·대칭과 합성 — 11·19번 대비.
11. ★ 유리함수 그래프의 활용(교점 개수) — 20·24번 대비.
12. 무리함수 그래프와 넓이, 직선과의 위치 관계 — 12·21번 대비.
13. 무리함수와 역함수의 교점 — 13번 대비.

자주 나오는 질문

노원고 1학년 2학기 기말 공통수학2는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 24문항입니다. 분석표 정답 기록으로는 모두 ①~⑤ 선지 번호로 적혀 있습니다.

어느 단원이 가장 많이 나왔나요?

명제 10문항입니다. 함수 7문항, 유리식과 유리함수 4문항, 무리식과 무리함수 3문항입니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도는 없습니다. 중상 8문항(4·13·15·17·20·22·23·24번)이 실질적인 고난도이고, 마지막 22~24번이 연속 중상입니다.

어떤 단원부터 공부해야 하나요?

명제부터입니다. 10문항으로 가장 많고, 4·15·23번 중상 문항도 명제에 있습니다. 필요·충분조건으로 상수 구하기 유형은 세 문항에 걸쳐 나왔습니다.

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