독산고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025)
독산고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 총 21문항입니다. 배치 단원은 도함수의 활용 (1)·(2)·(3), 부정적분, 정적분, 정적분의 활용 여섯 단원입니다. 상 난이도 두 문항이 마지막 20·21번에 나란히 놓여 있다는 점이 이 시험의 특징입니다.
핵심 요약
- 21문항 (정답 기록 기준 모두 ①~⑤ 선지 번호)
- 난이도: 하 1 / 중 12 / 중상 6 / 상 2
- 배치 단원: 05 도함수의 활용 (2) 5 / 06 도함수의 활용 (3) 4 / 08 정적분 4 / 09 정적분의 활용 4 / 04 도함수의 활용 (1) 2 / 07 부정적분 2
- 미분 파트 11문항, 적분 파트 10문항
- 가장 까다로운 구간: 상 2문항(20·21번)이 모두 05 도함수의 활용 (2)
독산고 고2 2학기 기말 수학Ⅱ는 어떤 시험인가
독산고등학교는 서울 금천구에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 21문항이고, 정답 기록은 모두 ①~⑤ 선지 번호입니다.
시험 범위 이름은 “증가감소~정적분의 활용”이지만, 실제로는 04 도함수의 활용 (1) 단원 문항도 2개(10·12번) 나왔습니다. 평균값 정리와 접선 문제입니다. 증가·감소부터만 공부하면 이 두 문항을 놓칩니다.
미분 파트(0406단원) 11문항, 적분 파트(0709단원) 10문항으로 비중이 거의 반반입니다.
2025학년 난이도 분포 — 중 12문항, 상 2문항
| 난이도 | 문항 수 | 비중 | 문항 번호 |
|---|---|---|---|
| 하 | 1 | 5% | 4 |
| 중 | 12 | 57% | 1·2·3·5·6·7·9·10·12·15·17·18 |
| 중상 | 6 | 29% | 8·11·13·14·16·19 |
| 상 | 2 | 10% | 20·21 |
하 난이도는 4번(속도) 한 문항뿐입니다. 1~3번은 중 난이도이지만 각각 증가함수, 극값의 합, 극값으로 계수 정하기라 기본 문항에 가깝습니다.
상 2문항은 마지막 20·21번입니다. 둘 다 4단계 풀이로 분류돼 있습니다. 앞 19문항에서 시간을 아껴 두지 않으면 끝 두 문항은 손대기 어렵습니다.
중상 6문항은 8·11·13·14·16·19번으로 중반 이후에 흩어져 있습니다. 중 문항과 섞여 나오니 막히면 표시해 두고 넘어가는 것이 좋습니다.
출제 단원 — 여섯 단원에 고르게
| 배치 단원 | 문항 수 | 문항 번호 |
|---|---|---|
| 05 도함수의 활용 (2) | 5 | 1·2·3·20·21 |
| 06 도함수의 활용 (3) | 4 | 4·9·11·17 |
| 08 정적분 | 4 | 6·7·8·15 |
| 09 정적분의 활용 | 4 | 14·16·18·19 |
| 04 도함수의 활용 (1) | 2 | 10·12 |
| 07 부정적분 | 2 | 5·13 |
05 도함수의 활용 (2)가 5문항으로 가장 많습니다. 앞 1~3번과 마지막 20·21번이 모두 이 단원이라, 시험의 처음과 끝을 이 단원이 맡고 있습니다.
정적분의 활용 4문항 중 3문항이 중상(14·16·19번)입니다. 적분 쪽에서 점수가 갈리는 곳은 넓이와 움직인 거리입니다.
빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)
1. 증가·감소와 극값 (1·2·3번) — 3문항, 전부 중
1번 함수의 증가와 감소. 도함수가 모든 구간에서 0 이상인지 확인하고, 상수함수를 제외해 증가함수를 고릅니다.
2번 함수의 극대·극소. 삼차함수의 도함수가 0이 되는 두 점을 찾아 두 극값을 더합니다.
3번 함수의 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정. 극솟값 조건으로 계수를 정한 뒤 극댓값을 구합니다.
시험 첫 세 문항입니다. 도함수 구하기와 인수분해 속도가 그대로 시간 차이가 됩니다.
2. 도함수의 활용 (1) (10·12번) — 2문항, 둘 다 중
10번 평균값 정리; 정의를 이용하는 경우. 평균변화율 조건으로 구간 양 끝의 관계를 구합니다.
12번 곡선과 직선이 접할 때. 삼차함수에 수평접선이 생기는 조건에서, 그 접점이 극소점이 되도록 부호를 따져 매개변수를 정합니다.
범위 이름에 없는 단원이라 놓치기 쉬운 두 문항입니다.
3. 방정식·부등식과 운동 (4·9·11·17번) — 4문항
4번 하 속도. 위치를 미분해 순간속도를 구합니다.
9번 중 모든 실수에서 부등식이 항상 성립할 조건. 부등식을 함수의 최솟값 조건으로 바꾸고 사차함수의 최솟값을 구합니다.
11번 중상 두 그래프의 교점의 개수. 두 곡선의 교점 문제를 사차함수와 수평선의 교점으로 바꿉니다. 극값의 높이로 교점이 3개가 되는 경계를 찾습니다.
17번 중 속도의 그래프의 해석. 속도 그래프에서 속도가 0이 되는 점이 그래프를 뚫고 지나는지, 접하는지를 구분해 정지·운동 방향 전환을 판정합니다.
17번은 속도가 0이라고 무조건 방향이 바뀌는 것은 아니다는 점을 묻습니다. 그래프가 x축에 접하면 방향이 바뀌지 않습니다.
4. 부정적분 (5·13번) — 2문항
5번 중 부정적분의 정의. 두 부정적분의 차가 상수라는 성질을 씁니다.
13번 중상 함수와 부정적분 사이의 관계식이 주어질 때 함수 구하기. 등식 양변을 미분한 뒤 다항함수의 차수와 계수를 정합니다.
13번은 차수를 먼저 정하는 것이 핵심입니다. 차수를 잘못 잡으면 계수 비교가 맞지 않습니다.
5. 정적분 (6·7·8·15번) — 4문항
6번 중 정적분을 포함한 등식; 아래끝 또는 위끝에 변수가 있는 경우. 위끝과 아래끝이 같아지는 값을 대입해 매개변수를 정하고, 미분해 요구값을 구합니다.
7번 중 정적분의 계산; 피적분함수가 같은 경우. 구간을 더하고 빼서 정적분을 간단히 합니다.
8번 중상 정적분을 포함한 등식; 아래끝과 위끝이 상수인 경우. 상수 정적분을 미지수로 놓고 방정식을 풉니다.
15번 중 정적분의 계산; 절댓값 기호를 포함한 함수. 절댓값이 두 겹으로 들어간 함수를 구간별로 나눠 적분합니다.
6. 정적분의 활용 (14·16·18·19번) — 4문항
14번 중상 함수와 역함수의 그래프의 y=x 대칭을 이용한 넓이. 역함수 그래프의 대칭으로 y=x까지의 넓이를 두 배 하는 방식입니다.
16번 중상 두 도형의 넓이가 같을 조건. 절댓값이 붙은 포물선이 만드는 세 영역의 넓이가 같아지는 조건을 다룹니다.
18번 중 그래프에서의 위치와 움직인 거리. 꺾은선 속도 그래프의 넓이로 위치와 거리를 구합니다.
19번 중상 움직인 거리. 속도의 부호가 바뀌는 곳에서 적분을 나눠 위치와 거리를 구하고 보기를 모두 검증합니다.
18·19번 모두 위치(변위)와 움직인 거리를 구분하는 것이 핵심입니다. 거리는 속도가 음수인 구간의 넓이도 더해야 합니다.
주의 문항 — 상 2문항, 중상 6문항
20번 상 (함수의 최대·최소) — 이동하는 구간에서 삼차함수의 최솟값을 다룹니다. 중근과 단근으로 삼차식을 세우고, 정수 구간 끝값을 하나씩 검증해야 하는 4단계 풀이입니다.
21번 상 (사차함수가 극댓값 또는 극솟값을 가질 조건) — 사차함수에 절댓값을 씌웠을 때 미분 불가능한 점의 개수를 다룹니다. 4단계 풀이입니다.
중상 6문항(8·11·13·14·16·19번) — 적분 파트에 5문항이 몰려 있습니다. 미분 파트의 중상은 11번 하나입니다.
독산고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서
- 도함수 부호로 증가·감소 판정 — 1번 대비.
- 극값 구하기와 극값으로 계수 정하기 — 2·3번 대비.
- ★ 평균값 정리와 접선 조건 — 10·12번 대비. 범위 이름에 없는 단원이니 따로 챙기기.
- 위치·속도 미분과 속도 그래프 해석 — 4·17번 대비.
- 부등식이 항상 성립할 조건 — 9번 대비. 최솟값으로 바꾸기.
- 사차함수와 수평선의 교점 개수 — 11번 대비.
- 부정적분의 정의와 관계식 — 5·13번 대비. 차수부터.
- 정적분을 포함한 등식 두 가지 — 6·8번 대비.
- 정적분 계산과 절댓값 함수 — 7·15번 대비.
- 역함수 대칭 넓이와 넓이가 같을 조건 — 14·16번 대비.
- ★ 위치와 움직인 거리 구분 — 18·19번 대비.
- 이동하는 구간의 최솟값, 절댓값 사차함수 — 20·21번 상 대비.
자주 나오는 질문
독산고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?
2025학년 기준 21문항입니다. 정답 기록은 모두 ①~⑤ 선지 번호입니다.
어느 단원이 가장 많이 나오나요?
05 도함수의 활용 (2)가 5문항으로 가장 많습니다. 도함수의 활용 (3)·정적분·정적분의 활용이 각 4문항으로 뒤를 잇습니다.
킬러 문항이 있나요?
상 난이도 2문항(20·21번) 이 있습니다. 둘 다 도함수의 활용 (2) 단원이고 시험 마지막에 놓여 있습니다.
범위 밖 단원이 나왔나요?
범위 이름은 증가·감소부터지만, 배치 단원 기준으로 04 도함수의 활용 (1) 문항이 2개(10·12번) 있습니다.
과년도 독산고 기출도 볼 수 있나요?
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