문일여고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년)

문일여고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 분석표 기준 21문항입니다. 배치 단원은 도함수의 활용 (2)·(3), 부정적분, 정적분, 정적분의 활용 다섯 단원입니다. 이 시험의 특징은 하 난이도가 1번 한 문항뿐이라는 점, 그리고 서술형 6문항 중 5문항이 중상 이상이라는 점입니다.

핵심 요약

• 분석표 기준 21문항 — 정답 기록 기준 115번 선택형, **1621번 서술형 6문항**
• 난이도: 하 1 / 중 10 / 중상 8 / 상 2
• 배치 단원: 09 정적분의 활용 7 / 06 도함수의 활용 (3) 4 / 08 정적분 4 / 05 도함수의 활용 (2) 3 / 07 부정적분 3
• 최다 반복 유형: 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 3회(10·16·17번)
• 가장 까다로운 구간: 서술형 16~21번(중 1 · 중상 3 · 상 2)

문일여고 고2 2학기 기말 수학Ⅱ는 어떤 시험인가

문일여자고등학교는 인천 남동구에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 분석표 기준 21문항이고, 정답 기록을 보면 115번은 선택형, 1621번 여섯 문항이 서술형입니다.

파트별로 보면 다음과 같습니다.

• 미분 파트(05·06 도함수의 활용) — 7문항 (4·6·7·10·16·17·18번)
• 적분 파트(07·08·09) — 14문항 (1·2·3·5·8·9·11·12·13·14·15·19·20·21번)

적분 파트가 두 배입니다. 그런데 서술형에서는 16·17·18번이 미분, 19·20·21번이 적분으로 정확히 반씩 나뉘어 있습니다.

2025학년 난이도 분포 — 하는 1번 하나

하 난이도는 1번(미적분의 기본정리) 하나입니다. 2번부터 바로 중 난이도가 시작됩니다.

선택형 안에서는 8~11번 네 문항이 연달아 중상입니다. 부정적분 두 문항(8·9번), 실근의 개수(10번), 정적분 등식(11번)이 이어집니다. 12번부터 다시 중 난이도가 섞이니, 8~11번에서 막히면 12·14·15번을 먼저 풀고 돌아오는 것도 방법입니다.

서술형 여섯 문항은 19번(중)을 빼고 모두 중상 이상이고, 상 두 문항(17·21번)도 모두 서술형에 있습니다.

출제 단원 — 정적분의 활용 7문항이 최다

09 정적분의 활용 7문항에는 넓이 문항이 5개(5·14·15·20·21번), 운동 문항이 2개(3·13번) 들어 있습니다. 넓이가 이 시험의 중심입니다.

06 도함수의 활용 (3) 4문항 중 세 문항이 실근의 개수입니다(10·16·17번).

시그니처 유형 — “방정식 f(x)=k의 실근의 개수” 3회

방정식 f(x)=k의 실근의 개수가 10·16·17번에 나왔습니다. 10번은 선택형 중상, 16번은 서술형 중상, 17번은 서술형 상입니다.

• 10번(중상) — 절댓값이 씌워진 삼차함수와 수평선의 교점 개수를 자연수 값마다 따져 더하는 문항입니다.
• 16번(중상, 서술형) — 사차함수의 극값을 구한 뒤 수평선과 세 점에서 만나는 경계값을 찾습니다.
• 17번(상, 서술형) — 적분으로 정의된 함수의 그래프와 수평선이 세 점에서 만나는 조건을 k의 범위로 나타내는 문항입니다.

세 문항 모두 극값을 먼저 구하고, 수평선을 위아래로 움직이며 교점 수가 바뀌는 높이를 찾는 과정이 공통입니다. 그래프를 직접 그리는 연습이 가장 확실한 대비입니다.

그 밖에 곡선과 x축 사이의 넓이가 5번(중)과 21번(서술형 상)에 두 번 나왔습니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 넓이 (5·14·15·20·21번)

5번 중 곡선과 x축 사이의 넓이, 14번 중 두 도형의 넓이가 같을 조건, 15번 중 함수와 그 역함수의 정적분, 20번 중상(서술형) 두 곡선 사이의 넓이의 활용(이등분), 21번 상(서술형) 곡선과 x축 사이의 넓이.

5번은 거듭제곱 꼴 곡선들이 만드는 넓이를 여러 개 더하는 문항입니다. 14번은 접선과 포물선이 만드는 두 넓이가 같다는 조건으로 값을 정합니다. 15번은 함수와 역함수의 정적분 합을 직사각형 넓이의 차로 바꿔 계산합니다.

**20번(서술형)**은 포물선과 현으로 둘러싸인 넓이를 이등분하는 직선을 다룹니다. **21번(서술형, 상)**은 절댓값이 들어간 조건으로 다항식을 정한 뒤 넓이를 구하는 문항입니다.

2. 운동 (3·13번)

3번 중 그래프에서의 위치와 움직인 거리, 13번 중상 움직인 거리.

3번은 위치 그래프에서 접선의 기울기 부호로 운동 방향을 읽는 문항입니다. 속도 그래프가 아니라 위치 그래프라는 점을 먼저 확인해야 합니다. 13번은 두 점의 속도 부호표를 만들어 서로 반대 방향으로 움직이는 구간을 찾고, 그 구간의 거리를 더합니다.

3. 부정적분 (2·8·9번)

2번 중 부정적분과 접선의 기울기, 8번 중상 부정적분과 미분계수, 9번 중상 부정적분과 극대·극소.

2번은 접선의 기울기를 적분해 함수를 구하고 최솟값 조건으로 적분상수를 정합니다. 8번은 함수방정식을 미분계수의 정의로 처리해 도함수를 구한 뒤 적분하는 문항입니다. 9번은 부정적분 관계식을 미분해 함수를 구하고, 양의 구간에서 함숫값이 음이 아니라는 조건으로 상수의 범위를 정합니다.

4. 정적분 (1·11·12·19번)

1번 하 미적분의 기본정리, 11번 중상 정적분을 포함한 등식(아래끝 또는 위끝에 변수), 12번 중 절댓값 기호를 포함한 함수의 정적분, 19번 중(서술형) 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 정적분.

11번은 양변을 미분해 함수를 표현하고, 아래끝 대입과 정적분 상수 조건을 함께 써서 계수를 연립합니다. **19번(서술형)**은 그래프로 주어진 함수의 값 범위에 따라 어떤 식을 쓸지 고른 뒤 적분하는 문항입니다.

5. 도함수의 활용 (2) (4·6·18번)

4번 중 최대·최소를 이용한 미정계수의 결정, 6번 중 함수의 최대·최소, 18번 중상(서술형) 사차함수가 극댓값 또는 극솟값을 가질 조건.

6번은 점과 직선 사이의 거리를 식으로 세우고 그 최댓값을 구하는 문항입니다. 거리가 절댓값 꼴로 나오니 극점과 구간 끝점에서 절댓값을 비교해야 합니다.

**18번(서술형)**은 대칭인 사차함수가 극댓값을 갖지 않을 조건을 이용해 계수를 정합니다.

6. 부등식 (7번)

7번 중 주어진 구간에서 부등식이 항상 성립할 조건. 열린 구간에서 부등식이 성립하도록 끝점에서의 값을 따져 자연수 범위를 정하는 문항입니다.

주의 문항 — 상 2문항과 중상 8문항

17번 상, 서술형 (방정식 f(x)=k의 실근의 개수) — 적분으로 정의된 함수의 그래프를 그려야 하는 문항입니다.

21번 상, 서술형 (곡선과 x축 사이의 넓이) — 조건으로 함수를 먼저 정하고 넓이까지 서술해야 합니다.

8·9·10·11번 중상 — 선택형 중반의 고비입니다. 부정적분 응용 두 문항이 연달아 나오는 점이 특징입니다.

13번 중상 (반대 방향 구간의 거리) — 두 점의 운동을 동시에 다룹니다.

16·18·20번 중상, 서술형 — 실근 개수, 사차함수 극값 조건, 넓이 이등분입니다.

문일여고 고2 2학기 기말 수학Ⅱ 대비 학습 순서

1. 미적분의 기본정리와 정적분 계산 — 1번 대비.
2. 기울기로 함수 구하기 — 2번 대비.
3. 위치 그래프·속도 그래프 읽기 — 3·13번 대비.
4. 구간에서의 최대·최소, 거리의 최댓값 — 4·6번 대비.
5. 곡선과 x축 사이 넓이 — 5·21번 대비.
6. 열린 구간에서 항상 성립하는 부등식 — 7번 대비.
7. 부정적분과 미분계수의 정의, 부정적분과 극대·극소 — 8·9번 대비.
8. ★ 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 — 10·16·17번 대비. 이 시험의 시그니처.
9. 정적분을 포함한 등식, 절댓값 함수의 정적분 — 11·12번 대비.
10. 넓이가 같을 조건과 넓이 이등분 — 14·20번 대비.
11. 함수와 역함수의 정적분 — 15번 대비.
12. 사차함수의 극값 조건 — 18번 서술형 대비.
13. 그래프로 주어진 함수의 정적분 — 19번 서술형 대비.

자주 나오는 질문

문일여고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 분석표 기준 21문항입니다. 정답 기록 기준 115번은 선택형, 1621번은 서술형입니다.

서술형은 몇 문항인가요?

16~21번 6문항입니다. 중 1문항(19번), 중상 3문항(16·18·20번), 상 2문항(17·21번)입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 09 정적분의 활용 7문항이 가장 많습니다. 나머지 네 단원은 3~4문항씩입니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도는 17번(실근의 개수)과 21번(곡선과 x축 사이의 넓이) 두 문항이고, 둘 다 서술형입니다.

과년도 문일여고 기출도 볼 수 있나요?

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