세일고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년)

세일고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 분석표 기준 20문항입니다. 배치 단원은 도함수의 활용 (3)이 6문항으로 가장 많고, 정적분·정적분의 활용이 각 5문항입니다. 이 시험의 특징은 상 난이도 두 문항(15·20번)이 같은 유형, “정적분으로 정의된 함수의 극대·극소”라는 점입니다.

핵심 요약

• 분석표 기준 20문항 — 정답 기록 기준 116번 선택형, **1720번 서술형 4문항**
• 난이도: 하 2 / 중 11 / 중상 5 / 상 2
• 배치 단원: 06 도함수의 활용 (3) 6 / 08 정적분 5 / 09 정적분의 활용 5 / 05 도함수의 활용 (2) 2 / 07 부정적분 2
• 반복 유형: 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소(15·20번, 둘 다 상), 실근의 개수(6·11번), 최대·최소를 이용한 미정계수의 결정(5·13번), 움직인 거리(12·18번)
• 가장 까다로운 구간: 11~15번(중상 4 · 상 1), 서술형 20번(상)

세일고 고2 2학기 기말 수학Ⅱ는 어떤 시험인가

세일고등학교는 인천 부평구에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 분석표 기준 20문항이고, 정답 기록을 보면 116번은 선택형, 1720번 네 문항이 서술형입니다.

파트별로 보면 다음과 같습니다.

• 미분 파트(05·06 도함수의 활용) — 8문항 (3·5·6·7·11·13·14·17번)
• 적분 파트(07·08·09) — 12문항 (1·2·4·8·9·10·12·15·16·18·19·20번)

미분 파트 8문항 중 6문항이 06 도함수의 활용 (3)입니다. 그리고 05 도함수의 활용 (2) 단원 문항도 2문항(5·13번)이 함께 나왔습니다. 두 문항 모두 구간에서의 최대·최소로 계수를 정하는 유형입니다.

운동 문항이 5문항입니다. 3번 위로 던진 물체, 7번 두 점의 속도, 9번 그래프에서의 위치와 거리, 12·18번 움직인 거리입니다.

2025학년 난이도 분포 — 중 11문항

1~10번은 하·중만 나옵니다. 그리고 11~15번 다섯 문항이 중상 4문항과 상 1문항으로 묶여 있습니다. 16번은 다시 중입니다.

서술형은 17·18번이 중, 19번이 중상, 20번이 상입니다. 서술형도 번호 순서대로 어려워집니다.

출제 단원 — 도함수의 활용 (3) 6문항이 최다

06 도함수의 활용 (3) 6문항은 실근의 개수 계열 3문항(6·11·14번), 운동 2문항(3·7번), 부등식 1문항(17번)입니다.

08 정적분 5문항에 상 두 문항(15·20번)이 모두 들어 있습니다.

시그니처 유형 — “정적분으로 정의된 함수의 극대·극소” 상 2문항

이 시험의 상 난이도 두 문항은 같은 유형입니다.

• 15번(상, 선택형) — 피적분함수 안에 x가 들어 있는 적분함수를 미분하고 인수분해한 뒤, 극값이 하나뿐인 조건으로 매개변수를 정합니다.
• 20번(상, 서술형) — 적분함수의 도함수 구조에서 극값이 하나뿐이고 그 값이 최솟값이 되는 조건으로 중근의 위치를 정한 뒤 적분값을 구합니다.

두 문항 모두 “정적분으로 정의된 함수 → 미분 → 도함수의 근 구조” 로 이어지는 흐름입니다. 특히 피적분함수에 x가 들어 있으면 바로 미분하지 말고 x를 적분 기호 밖으로 정리한 뒤 미분해야 한다는 점을 정확히 알고 있어야 출발할 수 있습니다.

두 번씩 나온 유형도 있습니다.

• 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 — 6번(중), 11번(중상)
• 함수의 최대·최소를 이용한 미정계수의 결정 — 5번(중), 13번(중상)
• 움직인 거리 — 12번(중상), 18번(서술형 중)

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 실근의 개수와 근의 판별 (6·11·14번)

6번 중 방정식 f(x)=k의 실근의 개수, 11번 중상 방정식 f(x)=k의 실근의 개수, 14번 중상 삼차방정식의 근의 판별.

6번은 수평선과 두 점에서 만나는 조건을 극값 높이로 바꾸고 두 극값의 곱을 구합니다. 11번은 수평선과 두 점에서 만난다는 조건에서 극소 쪽에서 접하는 경우와 극대 쪽에서 접하는 경우를 나누어 삼차함수를 정합니다.

14번은 0이 항상 근인 삼차방정식에서 중근이 생기는 경우를 나누어 따지고, 가능한 k 값을 모두 더하는 문항입니다. 경우를 빠짐없이 나누는 것이 핵심입니다.

2. 운동 (3·7·9·12·18번)

3번 중 위로 던진 물체의 위치와 속도, 7번 중 속도, 9번 중 그래프에서의 위치와 움직인 거리, 12번 중상 움직인 거리, 18번 중(서술형) 움직인 거리.

3번은 물체가 지면에 도달하는 시각을 구한 뒤 그 순간의 속도를 구합니다. 7번은 두 점이 다시 만나는 시각을 구하고 그때의 속도를 계산합니다.

12번은 속도가 이차식으로 주어질 때 위치·운동 방향·거리를 보기로 판단합니다. **18번(서술형)**은 가속도가 0이 되는 조건으로 상수를 정한 뒤, 속도 부호가 바뀌는 시각으로 구간을 나누어 거리를 구합니다.

3. 최대·최소와 부등식 (5·13·17번)

5번 중 최대·최소를 이용한 미정계수의 결정, 13번 중상 최대·최소를 이용한 미정계수의 결정, 17번 중(서술형) 모든 실수에서 부등식이 항상 성립할 조건.

5번은 임계점과 끝점의 함숫값을 비교하고 최솟값으로 양수 계수를 정합니다. 13번은 열린 구간에서 최댓값·최솟값이 존재할 조건으로 매개변수의 범위를 정하는 문항입니다. 닫힌 구간이 아니라 열린 구간이라는 점이 함정입니다.

**17번(서술형)**은 사차함수의 최솟값을 구해 부등식이 항상 성립하는 경계를 찾는 문항입니다.

4. 정적분 (1·8·15·16·20번)

1번 하 정적분의 계산, 8번 중 정적분으로 정의된 함수의 극한, 15번 상 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소, 16번 중 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 정적분, 20번 상(서술형) 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소.

8번은 정적분과 함숫값이 들어간 극한이 수렴할 조건에서 함숫값을 먼저 정하는 문항입니다. 16번은 홀수·짝수 구간에 따라 정의가 달라지는 함수를 적분하고 반복되는 합을 이용해 자연수를 구합니다.

5. 넓이 (10·19번)

10번 중 두 곡선 사이의 넓이, 19번 중상(서술형) 두 도형의 넓이가 같을 조건.

10번은 두 포물선의 교점을 구하고 위아래를 확인해 차를 적분하는 기본형입니다. **19번(서술형)**은 대칭인 영역과 오른쪽 영역의 넓이 비 조건에서 k를 정하는 문항입니다.

6. 부정적분 (2·4번)

2번 하 부정적분과 미분의 관계를 이용하여 함수 구하기, 4번 중 부정적분과 함수의 연속성.

4번은 구간마다 따로 적분한 뒤 연결 지점에서 연속이 되도록 적분상수를 맞추는 문항입니다.

주의 문항 — 11~15번과 서술형 19·20번

11번 중상 (실근의 개수로 삼차함수 정하기) — 접하는 위치로 경우를 나눕니다.

12번 중상 (속도 이차식의 위치·방향·거리) — 보기형입니다.

13번 중상 (열린 구간의 최대·최소) — 열린 구간 조건을 놓치기 쉽습니다.

14번 중상 (삼차방정식의 근의 판별) — 중근이 생기는 경우를 모두 찾아야 합니다.

15번 상 (정적분으로 정의된 함수의 극대·극소) — 선택형의 최고 난도입니다.

**19번 중상, 서술형 (넓이 비)**과 20번 상, 서술형 (정적분으로 정의된 함수의 극대·극소) — 서술형 마지막 두 문항입니다.

세일고 고2 2학기 기말 수학Ⅱ 대비 학습 순서

1. 정적분·부정적분 기본 계산 — 1·2번 대비.
2. 구간별 원시함수와 연속성 — 4번 대비.
3. 위로 던진 물체, 두 점의 속도 — 3·7번 대비.
4. 속도 그래프와 움직인 거리 — 9·12·18번 대비.
5. 구간에서의 최대·최소 — 5·13번 대비. 열린 구간까지.
6. 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 — 6·11번 대비.
7. 삼차방정식의 중근 조건 — 14번 대비.
8. 정적분이 포함된 극한 — 8번 대비.
9. 두 곡선 사이 넓이, 넓이 비 — 10·19번 대비.
10. 홀짝 구간으로 정의된 함수의 정적분 — 16번 대비.
11. 사차함수의 최솟값과 부등식 — 17번 서술형 대비.
12. ★ 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소 — 15·20번 대비. 상 두 문항이 모두 이 유형.

자주 나오는 질문

세일고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 분석표 기준 20문항입니다. 정답 기록 기준 116번은 선택형, 1720번은 서술형입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 06 도함수의 활용 (3) 6문항이 가장 많고, 08 정적분과 09 정적분의 활용이 각 5문항입니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도는 15번(선택형)과 20번(서술형) 두 문항이고, 둘 다 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소 유형입니다.

서술형은 몇 문항인가요?

17~20번 4문항입니다. 17번 부등식, 18번 움직인 거리, 19번 넓이, 20번 정적분으로 정의된 함수입니다.

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