부개고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년)
인천 부평구 부개고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 분석표 기준 22문항입니다. 단원은 09 정적분의 활용 7문항, 08 정적분 6문항이 가장 많고, 상 난이도는 19·20번 두 문항입니다. 같은 유형 “방정식 f(x)=k의 실근의 개수”가 10·16·19번에서 중 → 중상 → 상으로 한 단계씩 올라가며 세 번 나온 것이 눈에 띕니다.
핵심 요약
- 분석표 기준 22문항 — 정답 기록 기준 22문항 모두 ①~⑤ 선택형으로 적혀 있음
- 난이도: 하 4 / 중 9 / 중상 7 / 상 2(19·20번)
- 배치 단원: 09 정적분의 활용 7 / 08 정적분 6 / 06 도함수의 활용 (3) 5 / 05 도함수의 활용 (2) 2 / 07 부정적분 2
- 세 번 나온 유형: 방정식 f(x)=k의 실근의 개수(10·16·19번), 곡선과 x축 사이의 넓이(5·17·22번)
- 12번부터 22번까지 11문항 중 9문항이 중상 이상
부개고 수학Ⅱ 2학기 기말은 어떤 시험인가
부개고등학교는 인천 부평구에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 분석표에 22문항이 기록되어 있습니다. 정답 기록을 보면 22문항 모두 ①~⑤ 중 하나로 적혀 있습니다. 서술형 문항이 따로 있었는지는 분석표만으로 알 수 없으니, 실제 시험지에서 확인하세요.
출제 범위 이름은 “도함수의 활용(3)~정적분의 활용”이지만, 실제 배치 단원을 세어 보면 앞 단원인 05 도함수의 활용 (2) 문항도 2문항(12·18번) 함께 나왔습니다. 둘 다 중상 난이도입니다.
미분 쪽(05·06 단원)이 7문항, 적분 쪽(07·08·09 단원)이 15문항입니다. 적분이 전체의 3분의 2를 넘습니다.
2025학년 난이도 분포 — 중 9문항, 중상 이상 9문항
| 난이도 | 문항 수 | 비중 | 문항 번호 |
|---|---|---|---|
| 하 | 4 | 18% | 1·2·3·5 |
| 중 | 9 | 41% | 4·6·7·8·9·10·11·15·17 |
| 중상 | 7 | 32% | 12·13·14·16·18·21·22 |
| 상 | 2 | 9% | 19·20 |
하 4문항은 1·2·3·5번으로 시험지 맨 앞에 모여 있습니다. 부정적분 계산, 미적분의 기본정리, 대칭구간 정적분, 곡선과 x축 사이 넓이로 모두 기본 계산입니다.
11번까지는 하·중만 나옵니다. 중상이 처음 나오는 곳이 12번이고, 그 뒤 11문항 중 15·17번 두 문항만 중이고 나머지 9문항은 중상 또는 상입니다. 시험 후반부에 시간이 몰리는 구조이니 1~11번을 빠르게 지나가는 것이 먼저입니다.
출제 단원 — 적분 15문항, 미분 7문항
| 배치 단원 | 문항 수 | 문항 번호 |
|---|---|---|
| 09 정적분의 활용 | 7 | 5·7·8·14·15·17·22 |
| 08 정적분 | 6 | 2·3·9·13·20·21 |
| 06 도함수의 활용 (3) | 5 | 6·10·11·16·19 |
| 05 도함수의 활용 (2) | 2 | 12·18 |
| 07 부정적분 | 2 | 1·4 |
09 정적분의 활용이 7문항으로 가장 많습니다. 넓이 문항(5·8·14·15·17·22번)이 여섯, 움직인 거리 문항(7번)이 하나입니다. 넓이 계산을 여러 형태로 연습해 두는 것이 가장 직접적인 대비입니다.
06 도함수의 활용 (3)은 5문항 중 3문항이 실근의 개수입니다. 나머지는 속도·가속도(6번)와 부등식이 항상 성립할 조건(11번)입니다.
반복 유형 — 실근의 개수 3회, 곡선과 x축 사이의 넓이 3회
방정식 f(x)=k의 실근의 개수가 10·16·19번에 나왔습니다. 난이도가 10번 중, 16번 중상, 19번 상으로 올라갑니다. 10번은 삼차방정식이 세 실근을 갖게 하는 정수의 개수를 세는 문항이고, 16번과 19번은 실근의 개수를 함수로 놓고 그 함수의 연속성·불연속을 따지는 문항입니다. 그래프와 수평선 y=k의 교점 개수를 극값 높이에 따라 정리하는 연습이 세 문항에 공통으로 필요합니다.
곡선과 x축 사이의 넓이(f(x)≥0 또는 f(x)≤0인 경우) 도 5·17·22번 세 번입니다. 5번은 하, 17번은 중, 22번은 중상으로 역시 난이도가 다릅니다.
정적분으로 정의된 함수의 극대·극소는 20·21번에 연달아 나왔고, 20번이 상, 21번이 중상입니다.
단원별 문항 정리 (2025 기출 기준)
1. 부정적분 (1·4번) — 2문항
1번 하 도함수가 주어질 때 함수 구하기. 도함수와 초기값으로 함수를 구합니다.
4번 중 부정적분과 함수의 연속성. 구간별로 주어진 도함수를 각각 적분하고, 두 구간이 만나는 점에서 연속이라는 조건으로 적분상수를 이어 줍니다.
2. 정적분 (2·3·9·13·20·21번) — 6문항
2번 하 미적분의 기본정리. 정적분 조건으로 상수를 정하는 문항입니다.
3번 하 우함수·기함수의 정적분. 대칭구간에서 다항식을 적분할 때 홀수 차수 항이 사라지는 성질을 씁니다.
9번 중 정적분을 포함한 등식(위끝에 변수가 있는 경우). 아래끝을 대입해 상수를 구하고 미분해 함수를 정합니다.
13번 중상 정적분의 계산(구간에 따라 다르게 정의된 함수). 합과 곱으로 정해지는 두 함수 중 구간마다 큰 쪽을 골라 적분합니다.
20번 상 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소. 적분으로 정의된 함수가 극값을 하나만 갖는 조건을 묻습니다.
21번 중상 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소. 극솟값 조건과 구간 적분이 함께 나옵니다.
3. 정적분의 활용 (5·7·8·14·15·17·22번) — 7문항
5번 하 곡선과 x축 사이의 넓이. 0 이상인 곡선과 x축 사이 넓이입니다.
7번 중 움직인 거리. 위로 던진 물체에서 정지 시각을 기준으로 속도의 부호를 나눠 이동거리를 구합니다.
8번 중 두 도형의 넓이가 같을 조건. 포물선이 만드는 두 넓이의 관계를 대칭성으로 다룹니다.
14번 중상 곡선과 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이. 곡선 밖의 점에서 그은 접선이 나누는 영역의 넓이입니다.
15번 중 함수와 역함수의 그래프가 y=x에 대칭임을 이용한 넓이. 역함수와 직선 사이 넓이를 원래 함수 쪽으로 옮겨 계산합니다.
17번 중 곡선과 x축 사이의 넓이. 매개변수가 들어간 곡선의 넓이 조건을 방정식으로 풉니다.
22번 중상 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 미분가능성 + 곡선과 x축 사이의 넓이. 접합점에서 미분가능 조건으로 계수를 정한 뒤 구간별 넓이를 구합니다.
4. 도함수의 활용 (3) (6·10·11·16·19번) — 5문항
6번 중 속도·가속도와 운동 방향. 운동 방향이 바뀌는 시각의 가속도를 구합니다.
10번 중 방정식 f(x)=k의 실근의 개수. 삼차방정식이 세 실근을 갖도록 하는 정수의 개수를 셉니다.
11번 중 모든 실수에서 부등식이 항상 성립할 조건. 사차함수가 항상 0 이상이 되는 조건입니다.
16번 중상 방정식 f(x)=k의 실근의 개수. 실근의 개수를 나타내는 함수의 곱이 연속이 되는 조건을 따집니다.
19번 상 방정식 f(x)=k의 실근의 개수. 실근의 개수를 나타내는 함수들의 합에서 불연속이 서로 상쇄되는 조건을 다룹니다.
5. 도함수의 활용 (2) (12·18번) — 2문항, 둘 다 중상
12번 중상 도함수의 그래프의 해석(응용). 도함수 그래프에서 함수의 극값과 영점을 읽어 냅니다.
18번 중상 함수의 최대·최소를 이용한 미정계수의 결정. 대칭인 구간이 움직일 때 최솟값이 어떻게 바뀌는지 따집니다.
주의 문항 — 상 2문항과 후반 중상
19번 상 (실근의 개수) — 10·16번과 같은 유형의 가장 어려운 단계입니다. 10번과 16번을 먼저 정확히 풀 수 있어야 19번에 손을 댈 수 있습니다.
20번 상 (정적분으로 정의된 함수의 극대·극소) — 적분으로 정의된 함수를 미분해 피적분함수의 부호를 따지는 문항입니다. 바로 다음 21번이 같은 유형의 중상이니 두 문항을 묶어 준비하세요.
13번 중상 (구간에 따라 다르게 정의된 함수의 적분) — 구간마다 어떤 함수가 큰지 정하지 않으면 적분식을 세울 수 없습니다.
14번 중상 (곡선과 접선 사이 넓이) — 접점을 먼저 구해야 영역의 경계가 정해집니다.
22번 중상 (미분가능성 + 넓이) — 미분 단원 조건과 적분 단원 계산이 한 문항에 들어 있습니다.
부개고 수학Ⅱ 2학기 기말 대비 학습 순서
- 부정적분과 미적분의 기본정리 — 1·2번 대비. 확보 구간입니다.
- 우함수·기함수의 정적분 — 3번 대비.
- 곡선과 x축 사이의 넓이 — 5·17·22번 대비. 세 번 나온 유형입니다.
- 구간별 도함수의 적분과 연속 조건 — 4번 대비.
- 속도·가속도와 움직인 거리 — 6·7번 대비. 정지 시각에서 속도의 부호가 바뀌는지 확인하는 습관.
- 정적분을 포함한 등식 — 9번 대비. 아래끝 대입과 미분.
- ★ 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 — 10·16·19번 대비. 극값 높이에 따라 교점 개수를 정리하는 표를 직접 만들어 보세요.
- 부등식이 항상 성립할 조건 — 11번 대비. 최솟값이 0 이상인지 확인.
- 도함수 그래프 해석과 최대·최소 — 12·18번 대비.
- 곡선과 접선, 역함수를 이용한 넓이 — 14·15번 대비.
- 두 도형의 넓이가 같을 조건 — 8번 대비.
- ★ 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소 — 20·21번 대비.
자주 나오는 질문
부개고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?
2025학년 분석표 기준 22문항입니다. 정답 기록 기준으로는 22문항 모두 ①~⑤ 선택형으로 적혀 있습니다.
어느 단원이 가장 많이 나오나요?
배치 단원 기준 09 정적분의 활용 7문항, 08 정적분 6문항 순입니다. 06 도함수의 활용 (3)이 5문항, 05 도함수의 활용 (2)와 07 부정적분이 각 2문항입니다.
범위에 없는 단원도 나왔나요?
출제 범위 이름은 도함수의 활용 (3)부터지만, 배치 단원으로는 05 도함수의 활용 (2) 2문항(12·18번) 이 함께 나왔습니다.
가장 어려운 문항은 몇 번인가요?
상 난이도는 19번(실근의 개수) 과 20번(정적분으로 정의된 함수의 극대·극소) 두 문항입니다.
과년도 부개고 기출도 볼 수 있나요?
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