인천아라고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년, 인천 서구)

인천아라고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 분석표 기준 21문항입니다. 배치 단원은 도함수의 활용 (2)·(3)과 부정적분·정적분·정적분의 활용입니다. 이 시험의 특징은 두 가지로 정리됩니다. 적분 쪽이 21문항 중 14문항이고, 상 난이도는 없지만 중상이 9문항입니다.

핵심 요약

• 분석표 기준 21문항 — 정답 기록상 1~19번 선택형, 20·21번 서술형 2문항
• 난이도: 하 4 / 중 8 / 중상 9 / 상 0
• 배치 단원: 09 정적분의 활용 6 / 05 도함수의 활용 (2) 4 / 07 부정적분 4 / 08 정적분 4 / 06 도함수의 활용 (3) 3
• 최다 단원: 정적분의 활용 6문항, 그중 4문항이 중상
• 같은 유형이 두 번 나온 경우가 없음 — 21문항이 모두 다른 유형

인천아라고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가

인천아라고등학교는 인천 서구에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 분석표 기준 21문항이고, 정답 기록을 보면 1~19번이 선택형, 20·21번이 답을 직접 쓰는 서술형입니다.

미분 단원은 도함수의 활용 (2) 4문항, 도함수의 활용 (3) 3문항으로 모두 7문항입니다. 접선을 다루는 도함수의 활용 (1)은 한 문항도 없습니다. 나머지 14문항이 부정적분·정적분·정적분의 활용이라 기말 범위 뒤쪽인 적분의 비중이 큽니다.

또 하나 눈에 띄는 점은 21문항의 핵심 유형이 모두 다르다는 것입니다. 한 유형을 반복해서 묻기보다 단원 안의 여러 유형을 한 번씩 훑는 구성입니다. 빠진 유형 없이 넓게 공부해야 하는 시험입니다.

2025학년 난이도 분포 — 상 0, 중상 9

상 난이도가 없습니다. 대신 중상이 9문항으로 가장 많은 구간입니다. 손도 못 댈 문항은 없지만, 중상 문항에서 하나씩 놓치면 그대로 점수 차이가 됩니다.

하 난이도는 1·2·5번과 서술형 20번입니다. 부정적분과 미분의 관계, 가속도, 같은 피적분함수의 정적분, 도함수로 함수 구하기로 모두 기본 계산입니다.

중상은 9번에서 시작해 11번, 13~17번, 19번, 21번으로 이어집니다. 특히 13~17번은 다섯 문항 연속 중상이라, 이 구간에 들어가기 전에 앞 문항을 빠르게 정리해 두어야 합니다.

출제 단원 — 정적분의 활용 6문항

정적분의 활용 6문항 중 4문항(9·13·14·21번)이 중상입니다. 넓이 문제 네 문항, 운동 문제 두 문항으로 구성됩니다.

부정적분 4문항은 하 2, 중상 2로 쉬운 것과 어려운 것이 뚜렷하게 갈립니다. 1·20번은 기본 계산, 16·19번은 함수를 결정하는 응용형입니다.

이 시험의 중심 — 넓이 문제 4문항

정적분의 활용 가운데 넓이를 구하는 문항이 4·9·13·21번 네 개입니다. 유형이 모두 다릅니다.

• 4번(중) 곡선과 직선 사이의 넓이 — 포물선과 수평선 사이 넓이를 구간에 맞춰 계산합니다.
• 9번(중상) 포물선과 직선 사이의 넓이; 1/6 공식 — 종이에 그린 그림에서 포물선의 좌표를 잡고, 세 점으로 이차함수의 계수를 정한 뒤 색칠한 부분의 넓이를 구합니다.
• 13번(중상) 두 곡선 사이의 넓이 — 두 곡선의 위아래가 바뀌는 지점을 찾아 넓이를 나눠 더합니다.
• 21번(중상, 서술형) 두 곡선 사이의 넓이의 활용; 넓이의 최솟값 — 접선과 곡선 사이 넓이를 매개변수의 식으로 세우고 최솟값을 찾습니다.

교점을 찾고, 위아래를 정하고, 구간을 나누는 기본 순서가 네 문항 모두에 들어갑니다. 9번처럼 그림이 실생활 소재로 나와도 좌표만 잡으면 같은 문제입니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 도함수의 활용 (2) (3·6·8·17번) — 4문항

3번 중 함수의 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정, 6번 중 함수의 증가와 감소, 8번 중 함수의 최대·최소, 17번 중상 삼차함수가 주어진 구간에서 극값을 가질 조건.

3번은 극값을 갖는 위치에서 계수를 정하고, 도함수의 부호로 극솟값을 구합니다.

6번은 농도를 나타내는 함수가 증가에서 감소로 바뀌는 시점을 판단하는 문항입니다.

8번은 닫힌구간에서 극값과 양 끝값을 비교해 최댓값과 최솟값의 차를 구합니다.

17번 중상은 양수 구간에서 극값을 두 개 갖도록 도함수가 서로 다른 두 양의 실근을 가질 조건을 세웁니다. 판별식, 근의 합과 곱의 범위를 모두 만족하는 공통 범위를 구하고, 경계가 포함되는지도 확인해야 합니다.

2. 도함수의 활용 (3) (2·10·12번) — 3문항

2번 하 가속도, 10번 중 부등식 f(x)>g(x)가 항상 성립할 조건, 12번 중 방정식 f(x)=k의 실근의 개수.

2번은 위치를 두 번 미분해 조건에 맞는 시각을 찾습니다.

10번은 두 함수의 차를 새 함수로 놓고 최솟값으로 상수의 범위를 정합니다.

12번은 삼차함수의 두 극값을 구한 뒤, 서로 다른 세 실근을 갖게 하는 정수의 개수를 셉니다. 경계값은 포함되지 않는다는 점에 주의하세요.

3. 부정적분 (1·16·19·20번) — 4문항

1번 하 부정적분과 미분의 관계, 16번 중상 함수와 부정적분 사이의 관계식이 주어질 때 함수 구하기, 19번 중상 부정적분과 극대·극소, 20번 하(서술형) 도함수가 주어질 때 함수 구하기.

16번 중상은 관계식을 미분해 다항식의 항등식을 만들고 도함수를 결정합니다.

19번 중상은 그래프로 주어진 두 도함수의 계수를 정한 뒤, 두 도함수의 차의 부호로 증감을 판단하고 적분해서 극값을 구합니다.

20번 서술형은 도함수를 적분하고 주어진 함숫값으로 원래 함수를 구하는 기본형입니다. 서술형이라 적분상수를 구하는 과정을 빠짐없이 적어야 합니다.

4. 정적분 (5·7·11·15번) — 4문항

5번 하 정적분의 계산; 피적분함수가 같은 경우, 7번 중 정적분의 계산; 절댓값 기호를 포함한 함수, 11번 중상 정적분을 포함한 등식; 아래끝 또는 위끝과 피적분함수에 변수가 있는 경우, 15번 중상 정적분을 포함한 등식; 아래끝과 위끝이 상수인 경우.

7번은 절댓값 안의 부호가 바뀌는 점에서 구간을 나눠 적분합니다.

11번 중상은 변수가 들어간 적분식을 미분해서 함수를 결정하고, 처음 등식에 다시 대입해 확인합니다.

15번 중상은 상수 구간의 정적분을 하나의 상수로 놓고 연립해 함수를 정한 뒤, 정적분 꼴의 극한을 함숫값으로 바꿔 답을 구합니다.

5. 정적분의 활용 — 운동 (14·18번)

14번 중상 움직인 거리, 18번 중 그래프에서의 위치와 움직인 거리.

14번은 물체가 최고 높이에 도달할 때 속도가 0이라는 점에서 시작해, 속도가 양수인 구간의 이동 거리를 적분으로 구합니다.

18번은 속도 그래프의 넓이로 위치와 움직인 거리, 운동 방향의 변화를 해석해 보기를 판정합니다.

주의 문항 — 중상 9문항

9번 중상 (1/6 공식 넓이) — 그림에서 좌표를 잡는 데 시간이 걸릴 수 있습니다.

11·15번 중상 (정적분을 포함한 등식) — 하나는 변수 구간, 하나는 상수 구간입니다. 풀이 방법이 다르니 구분해서 익혀 두세요.

13~17번 다섯 문항 연속 중상 — 두 곡선 사이 넓이, 움직인 거리, 정적분 등식, 부정적분 관계식, 극값 조건이 이어집니다.

19번 중상 (부정적분과 극대·극소) — 선택형 마지막 문항입니다.

21번 중상 (서술형, 넓이의 최솟값) — 넓이를 매개변수의 식으로 세우는 것까지가 고비입니다.

인천아라고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서

1. 부정적분과 미분의 관계, 도함수로 함수 구하기 — 1·20번 확보.
2. 가속도, 같은 피적분함수의 정적분 — 2·5번 확보.
3. 극값을 이용한 미정계수 결정 — 3번 대비.
4. 증가·감소 판단, 닫힌구간 최대·최소 — 6·8번 대비.
5. 두 함수의 차로 부등식 판단 — 10번 대비.
6. 삼차방정식의 실근 개수 — 12번 대비.
7. 절댓값 정적분 — 7번 대비.
8. ★ 정적분을 포함한 등식(변수 구간·상수 구간) — 11·15번 대비.
9. 함수와 부정적분 관계식, 부정적분과 극대·극소 — 16·19번 대비.
10. 구간에서 극값을 가질 조건 — 17번 대비.
11. 위치·움직인 거리·속도 그래프 — 14·18번 대비.
12. ★ 넓이 4유형(곡선과 직선, 1/6 공식, 두 곡선, 넓이의 최솟값) — 4·9·13·21번 대비.

자주 나오는 질문

인천아라고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 분석표 기준 21문항입니다. 정답 기록상 1~19번은 선택형, 20·21번은 서술형입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 정적분의 활용 6문항이 가장 많습니다. 도함수의 활용 (2)·부정적분·정적분이 각 4문항, 도함수의 활용 (3)이 3문항입니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도는 한 문항도 없습니다. 대신 중상이 9문항으로 전체의 43%입니다.

서술형은 어떤 문제가 나왔나요?

정답 기록 기준 2문항입니다. 20번은 도함수로 함수를 구하는 기본형(하), 21번은 접선과 곡선 사이 넓이의 최솟값(중상)입니다.

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