인일여고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년, 인천 중구)

인일여고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 분석표 기준 22문항입니다. 배치 단원은 도함수의 활용 (1)~(3)과 부정적분·정적분·정적분의 활용으로, 미분과 적분이 11문항씩 정확히 반반입니다. 이 시험의 성격은 하 7문항, 중 10문항으로 중 이하가 22문항 중 17문항이라는 점에서 드러납니다.

핵심 요약

• 분석표 기준 22문항 — 정답 기록상 118번 선택형, **1922번 서술형 4문항**
• 난이도: 하 7 / 중 10 / 중상 4 / 상 1
• 배치 단원: 08 정적분 6 / 05 도함수의 활용 (2) 5 / 04 도함수의 활용 (1) 3 / 06 도함수의 활용 (3) 3 / 09 정적분의 활용 3 / 07 부정적분 2
• 같은 유형이 두 번 나온 경우가 없음 — 22문항이 모두 다른 유형
• 상 난이도: 18번 하나(정적분으로 정의된 함수의 극대·극소)

인일여고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가

인일여자고등학교는 인천 중구에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 분석표 기준 22문항이고, 정답 기록을 보면 118번이 선택형, 1922번이 답을 직접 쓰는 서술형입니다.

단원은 여섯 개에 고르게 나뉘었습니다. 정적분 6문항이 가장 많고, 도함수의 활용 (2) 5문항, 나머지 네 단원이 2~3문항씩입니다. 접선과 평균값 정리를 다루는 도함수의 활용 (1)도 3문항 나왔습니다.

22문항의 핵심 유형이 모두 다릅니다. 같은 유형을 반복하지 않고 여섯 단원의 기본 유형을 한 번씩 확인하는 구성이라, 빠진 유형 없이 교과서 수준 문제를 넓게 풀어 두는 것이 가장 효과적인 대비입니다.

2025학년 난이도 분포 — 하 7, 중 10

1~7번 일곱 문항 중 여섯 문항이 하입니다(5번만 중). 접선의 방정식, 도함수로 함수 구하기, 운동 방향, 정적분 계산, 평균값 정리, 증가 구간까지 기본 개념을 차례로 확인합니다.

중상 이상은 5문항뿐이고 12·16·17·18번과 서술형 21번입니다. 상 난이도는 18번 하나입니다. 어려운 문항 수가 적은 만큼 중 난이도 10문항에서 실수를 줄이는 것이 점수를 가릅니다.

서술형 4문항은 19번 중, 20번 하, 21번 중상, 22번 중입니다.

출제 단원 — 정적분 6문항, 나머지 고르게

정적분 6문항은 하 2, 중 3, 상 1입니다. 정적분 계산 두 문항, 정적분을 포함한 등식, 주기함수의 정적분, 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소와 극한이 한 문항씩입니다. 유일한 상 문항(18번)도 정적분 단원입니다.

도함수의 활용 (2) 5문항 중 2문항이 서술형(19·21번)입니다. 부피의 최대와 최솟값을 이용한 미정계수 결정이 서술형으로 나왔습니다.

이 시험의 특징 — 접선 3문항과 정적분 6문항

범위 앞쪽의 접선과 평균값 정리, 범위 뒤쪽의 정적분이 모두 비중 있게 나왔습니다.

• 1번(하) 접선의 방정식; 접점의 좌표가 주어진 경우 — 접점에서 접선의 방정식을 구합니다.
• 6번(하) 평균값 정리; 정의를 이용하는 경우 — 평균값 정리를 만족하는 구간 안의 값을 정합니다.
• 9번(중) 접선과 수직인 직선의 방정식 — 수직 조건으로 기울기를 정하고, 접점을 모르는 상태에서 접선의 식을 구합니다.

접선 세 문항이 하·하·중이라 앞쪽 점수를 확보하는 구간입니다. 반면 정적분 6문항에는 상 난이도 18번이 들어 있어, 범위 뒤쪽을 더 깊이 준비해야 합니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 도함수의 활용 (1) (1·6·9번) — 3문항

위 특징 부분에서 정리했습니다. 9번은 접선에 수직인 직선의 기울기를 정확히 구하는 것부터 시작합니다.

2. 도함수의 활용 (2) (7·13·17·19·21번) — 5문항

7번 하 함수의 증가와 감소, 13번 중 함수의 극대·극소를 이용한 삼차함수의 계수의 부호 결정, 17번 중상 함수의 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정, 19번 중(서술형) 최대·최소의 활용; 부피, 21번 중상(서술형) 함수의 최대·최소를 이용한 미정계수의 결정.

7번은 함수가 증가하는 구간의 최대 길이를 구합니다.

13번은 삼차함수의 그래프에서 극점의 위치로 계수의 부호를 판정하고, 이를 바탕으로 선지의 이차함수 그래프를 고릅니다.

17번 중상은 삼차식의 인수를 어떻게 나눌지 경우를 나누고, 극대 조건으로 하나를 골라 도함숫값을 구합니다.

19번 서술형은 원기둥의 부피를 최대로 하는 크기를 구하는 활용 문항입니다.

21번 서술형 중상은 구간별로 정의된 함수에서 매개변수의 부호에 따른 경우를 걸러내고, 최솟값과 극대 조건을 차례로 적용합니다.

3. 도함수의 활용 (3) (3·11·14번) — 3문항

3번 하 속도·가속도와 운동 방향, 11번 중 모든 실수에서 부등식이 항상 성립할 조건, 14번 중 방정식 f(x)=k의 실근의 개수.

3번은 위치를 미분해 속도의 부호가 바뀌는 시각을 구합니다.

11번은 전체 구간에서의 최솟값으로 부등식 조건을 세우고, 정수인 상수의 범위를 구합니다.

14번은 삼차방정식이 서로 다른 두 실근을 갖는 조건을 묻습니다. 극값의 높이를 먼저 구한 뒤 조건을 확인합니다.

4. 부정적분 (2·8번) — 2문항

2번 하 도함수가 주어질 때 함수 구하기, 8번 중 부정적분과 극대·극소.

8번은 적분상수를 먼저 정한 뒤 부정적분으로 구한 함수의 두 극값을 판정합니다.

5. 정적분 (4·5·10·15·18·20번) — 6문항

4번 하 정적분의 계산; 피적분함수가 같은 경우, 5번 중 정적분의 계산; 적분 구간이 같은 경우, 10번 중 정적분을 포함한 등식; 아래끝과 위끝이 상수인 경우, 15번 중 주기함수의 정적분, 18번 상 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소, 20번 하(서술형) 정적분으로 정의된 함수의 극한.

4번은 이어지는 적분 구간을 하나로 합칩니다.

5번은 구간 방향을 맞춰 정적분을 결합하고, 피적분식을 인수분해해 간단히 한 뒤 계산합니다.

10번은 상수 구간의 정적분을 한 문자로 놓고 식을 연립합니다.

15번은 주기를 이용해 적분 구간을 나누고, 구간별 식으로 적분합니다.

18번 상은 적분식을 미분한 뒤, 극점이 하나뿐이라는 조건에서 중근 구조를 찾아 계수를 연립합니다.

20번 서술형은 정적분 꼴의 극한을 함숫값으로 바꾸는 기본형입니다.

6. 정적분의 활용 (12·16·22번) — 3문항

12번 중상 곡선과 직선 사이의 넓이, 16번 중상 움직인 거리, 22번 중(서술형) 두 곡선 사이의 넓이.

12번 중상은 절댓값이 들어간 곡선과 수평선 사이 넓이입니다. 절댓값을 경우별로 나누고, 교점을 구한 뒤 세 영역으로 나눠 적분합니다.

16번 중상은 두 점이 양수 시각에서 한 번만 만나는 조건으로 매개변수를 정하고, 움직인 거리를 구간별로 나눠 구합니다.

22번 서술형은 두 곡선의 세 교점으로 위아래를 나누고, 영역별 넓이를 더합니다.

주의 문항 — 상 1문항, 중상 4문항

18번 상 (정적분으로 정의된 함수의 극대·극소) — 이 시험의 최고 난도 문항입니다.

12번 중상 (절댓값 곡선과 수평선 사이 넓이) — 영역을 셋으로 나누는 과정에서 실수가 생기기 쉽습니다.

16번 중상 (움직인 거리) — 만나는 조건과 이동 거리 계산이 이어집니다.

17번 중상 (극대·극소를 이용한 미정계수) — 경우를 나눈 뒤 하나를 골라내야 합니다.

21번 중상 (서술형, 최솟값을 이용한 미정계수) — 서술형 중 가장 어렵습니다.

인일여고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서

1. 접선의 방정식, 평균값 정리 — 1·6번 확보.
2. 도함수로 함수 구하기, 정적분 기본 계산 — 2·4·5번 확보.
3. 속도와 운동 방향, 증가 구간 — 3·7번 확보.
4. 접선에 수직인 직선 — 9번 대비.
5. 부정적분과 극대·극소 — 8번 대비.
6. 정적분을 포함한 등식(상수 구간), 주기함수의 정적분 — 10·15번 대비.
7. 항상 성립하는 부등식, 실근의 개수 — 11·14번 대비.
8. 삼차함수 그래프와 계수의 부호 — 13번 대비.
9. 정적분 꼴의 극한 — 20번 서술형 확보.
10. 원기둥 부피의 최대, 두 곡선 사이 넓이 — 19·22번 서술형 대비.
11. 절댓값 곡선의 넓이, 움직인 거리 — 12·16번 대비.
12. 극대·극소·최솟값을 이용한 미정계수 — 17·21번 대비.
13. ★ 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소 — 18번 대비.

자주 나오는 질문

인일여고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 분석표 기준 22문항입니다. 정답 기록상 118번은 선택형, 1922번은 서술형입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 정적분 6문항이 가장 많습니다. 도함수의 활용 (2) 5문항, 도함수의 활용 (1)·(3)과 정적분의 활용이 각 3문항, 부정적분 2문항입니다.

많이 어려운 시험인가요?

하 7문항, 중 10문항으로 중 이하가 77%입니다. 상은 18번 하나, 중상은 4문항입니다.

서술형은 어떤 문제가 나왔나요?

정답 기록 기준 4문항입니다. 원기둥 부피의 최대(19번), 정적분 꼴의 극한(20번), 최솟값을 이용한 미정계수(21번), 두 곡선 사이 넓이(22번)입니다.

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