인천여고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년, 인천 연수구)

인천여고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 분석표 기준 23문항입니다. 배치 단원은 도함수의 활용 (2)·(3)과 부정적분·정적분·정적분의 활용이 중심이고, 앞 단원(03 미분계수와 도함수) 1문항이 서술형으로 함께 나왔습니다. 가장 큰 특징은 정적분 단원 하나에서 8문항이 나왔다는 점입니다.

핵심 요약

• 분석표 기준 23문항 — 정답 기록상 1~21번 선택형, 22·23번 서술형 2문항
• 난이도: 하 3 / 중 8 / 중상 9 / 상 3
• 배치 단원: 08 정적분 8 / 06 도함수의 활용 (3) 5 / 05 도함수의 활용 (2) 4 / 09 정적분의 활용 3 / 07 부정적분 2 / 03 미분계수와 도함수 1
• 반복 유형: 정적분으로 정의된 함수의 최대·최소(15·16번), 실근의 개수(11·19번), 속도·가속도(5·10번) 등 여섯 유형이 두 번씩
• 상 난이도: 20·21번(선택형 마지막 두 문항), 23번(서술형)

인천여고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가

인천여자고등학교는 인천 연수구에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 분석표 기준 23문항이고, 정답 기록을 보면 1~21번이 선택형, 22·23번이 답을 직접 쓰는 서술형입니다.

단원 구성은 정적분 8문항이 압도적입니다. 도함수의 활용 (3) 5문항, 도함수의 활용 (2) 4문항, 정적분의 활용 3문항, 부정적분 2문항이 뒤따릅니다. 접선을 다루는 도함수의 활용 (1)은 0문항입니다.

23번은 앞 단원인 03 미분계수와 도함수에서 나왔습니다. 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 미분가능성을 묻는 상 난이도 서술형입니다. 22번도 같은 미분가능성을 정적분과 묶어 물었기 때문에, 서술형 두 문항이 모두 “이어지는 점에서의 미분가능 조건” 에서 출발합니다.

2025학년 난이도 분포 — 중상 9문항이 가장 많음

1~10번은 하 3, 중 7로 무난하게 시작합니다. 11번부터 분위기가 바뀌어 11~21번 열한 문항 중 열 문항이 중상 이상입니다(13번만 중).

상 세 문항은 20·21번과 서술형 23번입니다. 20·21번은 모두 도함수의 활용 (2)의 극대·극소 문항이고, 23번은 미분가능성입니다.

10번까지를 얼마나 빨리 끝내는지가 이 시험의 시간 배분을 좌우합니다. 11번 이후는 거의 모든 문항이 중상이라, 앞에서 아낀 시간이 그대로 뒤로 넘어갑니다.

출제 단원 — 정적분 8문항

정적분 8문항 중 5문항이 중상입니다(14·15·16·17·22번). 특히 14~17번은 네 문항 연속 정적분 중상입니다. 주기함수의 정적분, 정적분으로 정의된 함수의 최대·최소 두 문항, 극대·극소 한 문항이 이어집니다.

도함수의 활용 (2) 4문항은 하 1, 중 1, 상 2로 양 끝이 뚜렷합니다. 1번은 기본 계수 결정이고, 20·21번은 이 시험에서 가장 어려운 선택형 문항입니다.

시그니처 유형 — 정적분으로 정의된 함수

정적분 8문항 중 세 문항(15·16·17번)이 정적분으로 정의된 함수를 다룹니다.

• 15번(중상) 정적분으로 정의된 함수의 최대·최소 — 수면이 올라가는 속도를 적분해 높이를 구하고, 주어진 시간 안에서 최대가 되는 시점과 용기 크기를 확인한 뒤 단면의 닮음으로 최대 물의 부피를 구합니다.
• 16번(중상) 정적분으로 정의된 함수의 최대·최소 — 대칭인 변수 구간으로 정의된 적분 함수를 만들고, 최댓값을 구해 기약분수의 분자와 분모의 합을 답합니다.
• 17번(중상) 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소 — 극값의 존재를 삼차식의 부호 변화로 바꾸고, 두 극값의 부호 조건으로 범위를 정한 뒤 중근이 되는 경계를 확인합니다.

세 문항 모두 “적분 함수를 미분하면 피적분함수” 라는 한 줄에서 시작합니다. 15번처럼 실생활 소재로 나와도 같은 원리입니다.

그 밖에 두 번씩 나온 유형은 다음과 같습니다.

• 함수의 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정 — 1·20번
• 정적분의 계산; 적분 구간이 같은 경우 — 3·22번
• 속도·가속도와 운동 방향 — 5·10번
• 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 — 11·19번
• 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 미분가능성 — 22·23번

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 미분계수와 도함수 (23번) — 앞 단원 서술형

23번 상(서술형) 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 미분가능성. 이어지는 점에서의 연속 조건으로 함숫값을 정하고, 좌우 미분계수로 도함수 값을 구한 뒤, 절댓값 때문에 꺾이는 점에서 가능한 기울기를 따져 모든 실수에서 미분가능한 함수를 하나로 정하는 문항입니다.

2. 도함수의 활용 (2) (1·8·20·21번) — 4문항

1번 하 함수의 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정, 8번 중 도함수의 그래프의 해석(응용), 20번 상 함수의 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정, 21번 상 함수의 극대·극소의 활용.

1번은 극소가 되는 위치에서 도함수 조건으로 계수를 구합니다.

8번은 도함수 그래프의 부호와 근의 중복을 읽고 극값의 개수를 판정합니다.

20번 상은 극대 위치와 다른 임계점으로 삼차함수를 세우고, 수평 접선의 높이를 두 극값으로 나눠 경우를 검토합니다. 가능한 함수가 둘이라 두 경우의 값을 모두 구해야 합니다.

21번 상은 절댓값 함수의 근 구조에서 사차식의 근의 중복도를 정하고, 최댓값을 갖는 위치로 남은 근과 계수의 부호를 결정합니다.

3. 도함수의 활용 (3) (5·9·10·11·19번) — 5문항

5번 중 속도·가속도와 운동 방향, 9번 중 부등식 f(x)>g(x)가 항상 성립할 조건, 10번 중 속도·가속도와 운동 방향, 11번 중상 방정식 f(x)=k의 실근의 개수, 19번 중상 방정식 f(x)=k의 실근의 개수.

5번은 운동 방향이 바뀌는 시각의 가속도를 구하고, 10번은 양의 시간에서 속도의 부호가 바뀌지 않도록 하는 정수 매개변수의 개수를 셉니다.

9번은 두 함수의 차의 최솟값으로 상수의 경계를 정합니다.

11번 중상은 절댓값이 씌워진 삼차방정식의 실근 개수를 묻습니다. 극값과 절댓값 높이로 그래프 모양을 정하고, 실근이 여섯 개가 되는 자연수 높이를 다룹니다.

19번 중상은 실근의 개수를 함숫값으로 하는 함수를 만들고, 그 함수와의 합성이 한 값만 갖는 조건을 높이 범위로 바꿉니다.

4. 부정적분 (2·12번) — 2문항

2번 하 도함수가 주어질 때 함수 구하기, 12번 중상 부정적분과 미분의 관계를 이용하여 함수 구하기.

12번 중상은 다항식 곱의 차수로 두 함수의 차수를 먼저 정하고, 미분 관계와 계수 비교로 두 다항식을 결정합니다.

5. 정적분 (3·7·13·14·15·16·17·22번) — 8문항

15·16·17번은 위 시그니처 유형에서 정리했습니다.

3번 하 정적분의 계산; 적분 구간이 같은 경우 — 다항식의 정적분 계산.

7번 중 정적분을 포함한 등식; 아래끝 또는 위끝에 변수가 있는 경우 — 기준점을 대입해 매개변수를 구하고, 미분해서 함숫값을 정합니다.

13번 중 정적분을 포함한 등식; 아래끝과 위끝이 상수인 경우 — 부분 구간과 전체 구간 적분의 합 조건으로 이차함수의 계수를 연립합니다.

14번 중상 주기함수의 정적분 — 이어지는 점의 연속 조건으로 상수를 정하고, 주기를 이용해 움직인 적분 구간을 기본 구간으로 옮겨 계산합니다.

22번 중상(서술형) 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 미분가능성 · 정적분의 계산 — 이어지는 점의 좌우 미분계수 조건으로 삼차함수를 정하고, 정적분 값으로 양의 매개변수를 구합니다.

6. 정적분의 활용 (4·6·18번) — 3문항

4번 중 곡선과 x축 사이의 넓이, 6번 중 그래프에서의 위치와 움직인 거리, 18번 중상 두 곡선 사이의 넓이.

6번은 속도 그래프의 기울기와 넓이로 가속도와 위치를 구합니다.

18번 중상은 우함수인 사차식의 교점 개수가 홀수라는 조건에서 한 교점의 위치를 끌어내고, 나머지 교점과 위아래 관계를 확인해 넓이를 구합니다.

주의 문항 — 상 3문항, 중상 9문항

20·21번 상 (극대·극소) — 선택형 마지막 두 문항이 연달아 상입니다. 경우 나누기가 길어 시간이 많이 듭니다.

23번 상 (서술형, 미분가능성) — 앞 단원 내용이지만 이 시험의 최고 난도 서술형입니다.

14~17번 정적분 중상 네 문항 — 주기함수, 실생활 최대, 대칭 구간 최대, 극값 범위가 이어집니다.

11·19번 중상 (실근의 개수) — 절댓값과 합성이 붙은 응용형입니다.

인천여고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서

1. 극소 조건으로 계수 구하기, 도함수로 함수 구하기, 정적분 계산 — 1·2·3번 확보.
2. 곡선과 x축 사이 넓이, 속도 그래프 해석 — 4·6번 대비.
3. 속도·가속도와 운동 방향 — 5·10번 대비.
4. 정적분을 포함한 등식(변수 구간·상수 구간) — 7·13번 대비.
5. 도함수 그래프 해석, 두 함수의 차로 부등식 — 8·9번 대비.
6. 절댓값 삼차방정식의 실근 개수 — 11·19번 대비.
7. 부정적분과 미분의 관계로 두 다항식 정하기 — 12번 대비.
8. 주기함수의 정적분 — 14번 대비.
9. ★ 정적분으로 정의된 함수의 최대·최소·극대·극소 — 15·16·17번 대비.
10. 두 곡선 사이 넓이(우함수 성질) — 18번 대비.
11. 극대·수평 접선 조건, 근의 중복도 — 20·21번 대비.
12. ★ 구간별로 정의된 함수의 미분가능성 — 22·23번 서술형 대비.

자주 나오는 질문

인천여고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 분석표 기준 23문항입니다. 정답 기록상 1~21번은 선택형, 22·23번은 서술형입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 정적분 8문항이 가장 많습니다. 도함수의 활용 (3) 5문항, 도함수의 활용 (2) 4문항, 정적분의 활용 3문항, 부정적분 2문항, 미분계수와 도함수 1문항입니다.

어려운 문항은 어디에 있나요?

상 3문항은 20·21·23번입니다. 11번부터 21번까지는 13번 하나를 빼고 모두 중상 이상입니다.

서술형은 어떤 문제가 나왔나요?

정답 기록 기준 2문항입니다. 22번은 미분가능성과 정적분(중상), 23번은 구간별 함수의 미분가능성(상)입니다.

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