인천고잔고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년, 인천 남동구)

인천고잔고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 분석표 기준 21문항입니다. 배치 단원은 도함수의 활용 (1)~(3)과 부정적분·정적분·정적분의 활용입니다. 이 시험은 한 단원에 무게가 실려 있습니다. 정적분의 활용이 21문항 중 8문항이고, 상 난이도 세 문항이 모두 이 단원입니다.

핵심 요약

• 분석표 기준 21문항 — 정답 기록상 1~19번 선택형, 20·21번 서술형 2문항
• 난이도: 하 2 / 중 8 / 중상 8 / 상 3
• 배치 단원: 09 정적분의 활용 8 / 05 도함수의 활용 (2) 3 / 06 도함수의 활용 (3) 3 / 08 정적분 3 / 04 도함수의 활용 (1) 2 / 07 부정적분 2
• 반복 유형: 두 곡선 사이의 넓이의 활용; 넓이의 최솟값(19·21번, 둘 다 상), 위치와 위치의 변화량(5·17번), 함수의 증가와 감소(11·20번)
• 상 난이도: 15·19·21번 — 모두 넓이 문항

인천고잔고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가

인천고잔고등학교는 인천 남동구에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 분석표 기준 21문항이고, 정답 기록을 보면 1~19번이 선택형, 20·21번이 답을 직접 쓰는 서술형입니다.

단원 구성에서 정적분의 활용 8문항이 단연 많습니다. 나머지 다섯 단원은 2~3문항씩입니다. 미분 쪽은 도함수의 활용 (1) 2, (2) 3, (3) 3으로 8문항, 적분 쪽은 부정적분 2, 정적분 3, 정적분의 활용 8로 13문항입니다.

정적분의 활용 8문항은 넓이 4문항(4·15·19·21번)과 운동 4문항(5·13·17·18번) 으로 정확히 반씩 나뉩니다. 넓이와 운동, 두 축을 모두 깊이 준비해야 하는 시험입니다.

2025학년 난이도 분포 — 중상 이상 11문항

하 난이도는 1·5번 두 문항입니다. 평균값 정리와 속도를 적분한 위치의 변화량입니다.

2~9번은 5번을 빼고 모두 중입니다. 여기까지가 점수를 쌓는 구간이고, 10번부터는 13번 하나를 빼고 모두 중상 이상입니다. 선택형 10~19번 열 문항 중 아홉 문항이 중상 이상입니다.

상 세 문항은 15·19·21번이고, 모두 넓이를 다룹니다. 서술형은 20번 중상, 21번 상입니다.

출제 단원 — 정적분의 활용 8문항

정적분의 활용 8문항의 난이도는 하 1, 중 2, 중상 2, 상 3입니다. 이 단원 안에 쉬운 문항과 가장 어려운 문항이 모두 들어 있습니다.

도함수의 활용 (2) 3문항은 모두 중상입니다(10·11·20번). 합성함수의 최댓값, 구간별 함수의 증감, 절댓값 삼차함수의 감소 조건이 나왔습니다.

시그니처 유형 — 넓이의 최솟값과 이등분

상 세 문항이 모두 넓이 문항입니다.

• 15번(상) 두 곡선 사이의 넓이의 활용; 이등분 — 넓이를 이등분하는 조건에서 근의 대칭을 이용하고, 두 넓이 식과 근의 곱을 연립해 이차함수를 정합니다.
• 19번(상) 두 곡선 사이의 넓이의 활용; 넓이의 최솟값 — 곡선과 직선 사이 넓이를 반직선 위 두 영역으로 나눠 식을 세우고, 제한된 범위 안에서 최솟값을 찾습니다.
• 21번(상, 서술형) 두 곡선 사이의 넓이의 활용; 넓이의 최솟값 — 선분과 곡선이 이어진 함수에서 두 영역 넓이를 세우고, 끝점 조건과 함께 최솟값을 구합니다.

19·21번은 같은 유형이 선택형과 서술형의 마지막 자리에 하나씩 놓였습니다. 넓이를 매개변수의 함수로 세우고, 그 함수를 미분해 최솟값을 찾는 흐름을 익혀 두면 두 문항에 함께 대비할 수 있습니다. 미분과 적분이 한 문항 안에서 만나는 유형입니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 도함수의 활용 (1) (1·7번) — 2문항

1번 하 평균값 정리; 정의를 이용하는 경우, 7번 중 접선의 방정식; 기울기가 주어진 경우.

1번은 평균값 정리의 정의대로 구간의 평균 기울기와 미분계수를 같게 놓습니다.

7번은 접선과 할선이 평행한지를 판정하는 문항입니다.

2. 도함수의 활용 (2) (10·11·20번) — 3문항

10번 중상 함수의 최대·최소를 이용한 미정계수의 결정, 11번 중상 함수의 증가와 감소, 20번 중상(서술형) 함수의 증가와 감소.

10번은 합성함수의 최댓값 조건에서 안쪽 함수의 치역을 먼저 구하고, 바깥 함수와 비교해 상수의 범위를 정합니다.

11번은 구간별로 정의된 함수에서 각 구간의 증감 조건을 따져 상수의 범위를 구합니다.

20번 서술형은 절댓값이 붙은 삼차함수가 실수 전체에서 감소하도록 하는 조건을 묻습니다. 꺾이는 점에서 좌우 미분계수 조건이 핵심입니다.

3. 도함수의 활용 (3) (6·12·16번) — 3문항

6번 중 주어진 구간에서 부등식이 항상 성립할 조건; 최대·최소의 활용, 12번 중상 두 그래프의 교점의 개수, 16번 중상 속도·가속도와 운동 방향.

6번은 열린 반직선 구간에서의 최솟값으로 정수 조건을 정합니다.

12번은 실근의 개수를 함숫값으로 하는 함수와 직선의 교점을 다룹니다. 교점이 세 개가 되는 정수 기울기를 모두 찾아야 합니다.

16번은 운동 방향이 바뀌는 두 시각의 차 조건으로 계수를 정하고 속도를 구합니다.

4. 부정적분 (2·8번) — 2문항

2번 중 도함수가 주어질 때 함수 구하기, 8번 중 함수와 부정적분 사이의 관계식이 주어질 때 함수 구하기.

2번은 삼차함수의 극점과 극값 조건으로 함수를 정합니다. 8번은 관계식에서 부정적분의 상수 차이를 처리하고 주어진 값으로 다항함수를 구합니다.

5. 정적분 (3·9·14번) — 3문항

3번 중 정적분을 포함한 등식; 아래끝과 위끝이 상수인 경우, 9번 중 정적분을 포함한 등식; 아래끝 또는 위끝과 피적분함수에 변수가 있는 경우, 14번 중상 정적분의 계산; 절댓값 기호를 포함한 함수.

3번은 항등식의 계수를 비교해 정적분 값을 구합니다.

9번은 적분 구간의 시작점을 대입한 조건과 미분한 조건, 두 가지로 식을 세웁니다.

14번 중상은 적분 안의 절댓값이 0이 되는 점을 찾고, 매개변수의 범위를 나눠 정적분을 두 번 계산합니다.

6. 정적분의 활용 — 운동 (5·13·17·18번)

5번 하 위치와 위치의 변화량, 13번 중 그래프에서의 위치와 움직인 거리, 17번 중상 위치와 위치의 변화량, 18번 중상 움직인 거리.

5번은 속도를 적분해 위치의 변화량을 구하는 기본형입니다.

13번은 속도 그래프의 꼭짓점을 기준으로 넓이를 나눠 위치와 움직인 거리를 구하고 보기를 판정합니다.

17번은 점이 원점에 다시 도달하지 않는 조건을 묻습니다. 위치 함수를 세운 뒤 양의 시각에서 근이 생기지 않는 범위를 찾고, 접하는 경계를 제외합니다.

18번은 운동 방향이 한 번만 바뀌는 조건에서 가능한 경우를 비교해 움직인 거리의 최댓값을 구합니다.

7. 정적분의 활용 — 넓이 (4·15·19·21번)

4번 중 곡선과 직선 사이의 넓이 — 곡선이 축과 만나는 점에서 구간을 나누고 부호별로 넓이를 구합니다. 15·19·21번은 위 시그니처 유형에서 정리했습니다.

주의 문항 — 상 3문항, 중상 8문항

15번 상 (넓이 이등분) — 선택형 중간에 나오는 상 문항입니다. 여기서 시간을 너무 쓰지 않도록 주의하세요.

19번 상 (넓이의 최솟값) — 선택형 마지막 문항입니다.

21번 상 (서술형, 넓이의 최솟값) — 19번과 같은 유형이지만 함수가 선분과 곡선으로 이어져 있습니다.

10~12번 중상 세 문항 연속 — 합성함수 최댓값, 구간별 증감, 교점의 개수가 이어집니다.

17·18번 중상 (운동) — 원점 재도달 조건, 방향 전환과 이동 거리의 최대. 조건을 식으로 옮기는 과정이 까다롭습니다.

인천고잔고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서

1. 평균값 정리, 속도로 위치 변화량 구하기 — 1·5번 확보.
2. 극점과 극값으로 삼차함수 구하기, 부정적분 관계식 — 2·8번 대비.
3. 정적분을 포함한 등식(상수 구간·변수 구간) — 3·9번 대비.
4. 곡선과 축 사이 부호별 넓이 — 4번 대비.
5. 열린 반직선에서 부등식, 접선과 할선 — 6·7번 대비.
6. 속도 그래프로 위치·거리 판정 — 13번 대비.
7. 합성함수의 최댓값, 구간별 함수의 증감 — 10·11번 대비.
8. 실근 개수 함수와 직선의 교점 — 12번 대비.
9. 절댓값 정적분(매개변수 범위 나누기) — 14번 대비.
10. 운동 방향 전환 시각, 원점 재도달 조건, 이동 거리 최대 — 16·17·18번 대비.
11. 절댓값 삼차함수의 감소 조건 — 20번 서술형 대비.
12. ★ 넓이 이등분 — 15번 대비.
13. ★ 넓이를 매개변수의 함수로 세우고 최솟값 찾기 — 19·21번 대비.

자주 나오는 질문

인천고잔고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 분석표 기준 21문항입니다. 정답 기록상 1~19번은 선택형, 20·21번은 서술형입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 정적분의 활용 8문항이 가장 많습니다. 도함수의 활용 (2)·(3)과 정적분이 각 3문항, 도함수의 활용 (1)과 부정적분이 각 2문항입니다.

가장 어려운 문항은 어디인가요?

상 난이도는 15·19·21번이고 모두 넓이 문항입니다. 10번 이후는 13번을 빼고 모두 중상 이상입니다.

서술형은 어떤 문제가 나왔나요?

정답 기록 기준 2문항입니다. 20번은 절댓값 삼차함수의 감소 조건(중상), 21번은 넓이의 최솟값(상)입니다.

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