인천연송고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년, 인천 연수구)

인천 연수구 인천연송고 2학년 2학기 기말 수2는 분석표 기준 22문항입니다. 배치 단원은 도함수의 활용 (2)·(3) 11문항, 부정적분·정적분·정적분의 활용 11문항으로 미분과 적분이 정확히 반씩입니다. 이 시험을 한 줄로 요약하면 중상이 12문항이라는 것입니다. 하 난이도는 1·2번 두 문항뿐입니다.

핵심 요약

• 분석표 기준 22문항 — 정답 기록상 118번 선택형, 1922번 서술형(4문항)
• 난이도: 하 2 / 중 6 / 중상 12 / 상 2
• 배치 단원: 05 도함수의 활용 (2) 6 / 08 정적분 6 / 06 도함수의 활용 (3) 5 / 09 정적분의 활용 3 / 07 부정적분 2
• 최다 반복 유형: 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 3회(11·16·20번)
• 상 2문항: 16번 실근의 개수, 20번 정적분으로 정의된 함수와 실근의 개수(서술형)

인천연송고 수학Ⅱ 2학기 기말은 어떤 시험인가

2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 분석표 기준 총 22문항입니다. 정답 기록을 보면 118번이 선택형, 1922번 네 문항이 서술형입니다.

출제 범위는 미분의 뒷부분과 적분 전체입니다. 배치 단원으로 보면 05 도함수의 활용 (2)와 06 도함수의 활용 (3)이 11문항, 07 부정적분·08 정적분·09 정적분의 활용이 11문항입니다. 앞 단원인 함수의 극한이나 미분계수 단원 문항은 없습니다.

문항 순서는 단원별로 묶여 있지 않습니다. 1번이 정적분(미적분의 기본정리), 2번이 함수의 최대·최소, 4번이 위로 던진 물체, 7번이 부정적분입니다. 미분과 적분을 번갈아 오가는 배치라 공식이 머릿속에서 섞이지 않게 정리해 두어야 합니다.

2025학년 난이도 분포 — 중상 12문항

절반 넘는 문항이 중상입니다. 하 난이도는 1·2번뿐이고, 중 6문항도 3~6번과 8·13번에 있습니다. 바꿔 말하면 7번부터 22번까지 16문항 중 14문항이 중상 이상입니다.

이런 시험은 앞부분 여섯 문항을 얼마나 빨리 끝내느냐가 전체 시간을 결정합니다. 1~6번에서 시간을 아끼고, 7번 이후 중상 구간에 남은 시간을 넉넉히 배분하세요. 서술형 네 문항도 19·21·22번 중상, 20번 상이라 쉬운 서술형이 없습니다.

출제 단원 — 미분 11 · 적분 11

05 도함수의 활용 (2)와 08 정적분이 6문항씩으로 가장 많습니다. 06 도함수의 활용 (3)도 5문항이라 세 단원이 시험의 중심입니다.

상 두 문항은 06 단원(16번)과 08 단원(20번)에 하나씩 있습니다. 07 부정적분은 2문항뿐이지만 두 문항 모두 중상입니다. 문항 수가 적다고 가볍게 볼 단원이 아닙니다.

시그니처 유형 — 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 3회

이 시험에서 가장 자주 쓰인 유형은 방정식 f(x)=k의 실근의 개수입니다. 11번(중상), 16번(상), 20번(상, 서술형) 세 문항에 나왔습니다.

세 문항 모두 절댓값이나 정적분이 함께 얹힌 형태입니다. 11번은 짝수 차수 사차식에 절댓값이 붙은 함수의 실근 수를 따지고, 16번은 같은 접선 기울기 조건과 절댓값 실근 수가 결합됐습니다. 20번은 정적분으로 정의된 함수의 높이별 실근 수를 해석하는 문항으로, 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소 유형이 함께 쓰였습니다.

그래프를 그리고 수평선 y=k를 위아래로 움직이며 교점 수를 세는 연습이 이 세 문항의 공통 준비입니다. 절댓값이 붙으면 x축 아래 부분이 위로 접힌다는 점까지 함께 익혀 두세요.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 도함수의 활용 (2) — 극대·극소와 최대·최소 (2·5·6·14·19·21번)

2번 하 함수의 최대·최소(구간에서 최댓값·최솟값의 합), 5번 중 주어진 구간에서 삼차함수가 증가 또는 감소하기 위한 조건, 6번 중 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정, 14번 중상 극대·극소의 활용(절댓값함수의 두 극대 높이 비교), 19번 중상 최대·최소를 이용한 미정계수의 결정(서술형), 21번 중상 최대·최소의 활용; 넓이(서술형).

5번은 구간에서 증가할 조건을 도함수의 부호로 바꾸는 문항입니다. 구간 끝이 열려 있는지 닫혀 있는지에 따라 등호 포함 여부가 달라집니다.

21번은 정사각형 안의 삼각형 넓이를 최대로 만드는 서술형입니다. 넓이를 한 변수의 함수로 세운 뒤, 내부 극대와 구간 양 끝값을 비교하는 순서로 풉니다.

2. 정적분 (1·3·8·9·18·20번)

1번 하 미적분의 기본정리, 3번 중 피적분함수가 같은 경우의 정적분 계산(미분·적분 등식이 항상 참인지 판정), 8번 중 정적분으로 정의된 함수의 극한, 9번 중상 정적분을 포함한 등식(아래끝·위끝과 피적분함수에 변수가 있는 경우), 18번 중상 주기함수의 정적분, 20번 상 정적분으로 정의된 함수의 실근의 개수(서술형).

9번은 적분 기호 안팎에 x가 함께 있는 등식입니다. x를 적분 밖으로 꺼낸 뒤 양변을 미분하고, 필요하면 한 번 더 미분해 함수를 구합니다.

18번은 대칭과 주기 조건으로 정적분을 계산하는 문항입니다. 주기 하나 구간의 적분값을 먼저 구하고 나머지 구간을 옮겨 맞추는 방식입니다.

3. 도함수의 활용 (3) — 방정식과 운동 (4·11·13·15·16번)

4번 중 위로 던진 물체의 위치와 속도(착지 시각과 그때의 속도), 11번 중상 실근의 개수, 13번 중 정지하는 물체의 속도와 움직인 거리, 15번 중상 속도·가속도와 운동 방향(운동 방향이 세 번 바뀌는 조건), 16번 상 실근의 개수.

13번은 공주거리와 제동거리의 차를 계산하는 문항입니다. 속력 단위를 초 단위로 맞추는 과정이 들어 있어 단위 환산에서 실수하기 쉽습니다.

15번은 운동 방향이 세 번 바뀔 조건을 묻습니다. 속도가 0이 되는 양의 시각이 세 개이고 그때마다 부호가 바뀌어야 한다는 조건으로 바꾸는 것이 출발점입니다.

4. 부정적분 (7·10번) — 둘 다 중상

7번 함수와 부정적분 사이의 관계식이 주어질 때 함수 구하기, 10번 부정적분과 극대·극소.

7번은 관계식을 미분해 도함수를 구하고, 극솟값 조건으로 적분상수를 정합니다. 10번은 도함수 그래프 그림과 극한 조건에서 원래 함수의 최댓값을 구하는 문항입니다. 둘 다 부정적분 단원이지만 극대·극소와 엮여 있습니다.

5. 정적분의 활용 (12·17·22번)

12번 중상 그래프에서의 위치와 움직인 거리, 17번 중상 함수와 그 역함수의 정적분, 22번 중상 곡선과 직선 사이의 넓이(서술형).

12번은 속도 그래프에서 위치·거리·가속도를 함께 판단합니다. 위치는 부호가 있는 적분, 움직인 거리는 절댓값 적분이라는 차이를 정확히 구분해야 합니다.

22번은 포물선과 직선이 만드는 두 영역의 넓이 비를 다루는 서술형입니다.

주의 문항 — 상 2문항과 서술형

16번 상 (실근의 개수) — 선택형의 마지막 고비입니다. 같은 접선 기울기 조건과 절댓값 실근 수가 한 문항에 들어 있습니다.

20번 상 (정적분으로 정의된 함수와 실근의 개수, 서술형) — 정적분 방정식을 원래 함수와 수평선의 교점 문제로 바꿔 생각해야 합니다.

19번 중상 (최대·최소를 이용한 미정계수, 서술형) — 사차함수의 최댓값과 이차함수의 최솟값을 비교하는 부등식 조건입니다.

14·15번 중상 — 각각 절댓값함수의 극대, 운동 방향 전환 조건을 정수 개수로 세는 문항입니다. 경계값을 포함할지 빼야 할지에서 실수가 나옵니다.

인천연송고 수학Ⅱ 2학기 기말 대비 학습 순서

1. 미적분의 기본정리와 정적분 기본 계산 — 1·3번 대비. 확보 구간입니다.
2. 구간에서의 최대·최소 — 2번 대비. 극값과 양 끝값 비교.
3. 구간에서 증가·감소할 조건 — 5번 대비. 등호 포함 여부까지.
4. 극대·극소로 미정계수 결정 — 6·19번 대비.
5. 위로 던진 물체, 정지하는 물체 — 4·13번 대비. 단위 환산 주의.
6. 부정적분 관계식과 극대·극소 — 7·10번 대비.
7. 정적분으로 정의된 함수의 극한과 등식 — 8·9번 대비. 미분해서 푸는 절차 익히기.
8. ★ 실근의 개수와 절댓값 그래프 — 11·16·20번 대비. 이 시험의 시그니처.
9. 속도 그래프의 위치와 움직인 거리 — 12번 대비.
10. 운동 방향 전환 조건 — 15번 대비.
11. 역함수의 정적분, 주기함수의 정적분 — 17·18번 대비.
12. 넓이 최대·최소와 곡선 사이 넓이 — 21·22번 서술형 대비.

자주 나오는 질문

인천연송고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

분석표 기준 22문항입니다. 정답 기록상 118번은 선택형, 1922번 네 문항은 서술형입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 05 도함수의 활용 (2)와 08 정적분이 각 6문항으로 가장 많습니다. 이어서 06 도함수의 활용 (3) 5문항, 09 정적분의 활용 3문항, 07 부정적분 2문항입니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도는 16번과 20번 두 문항입니다. 둘 다 실근의 개수 유형이고, 20번은 서술형입니다. 상 외에도 중상이 12문항이라 전체적으로 어려운 시험입니다.

서술형은 어떤 문항이 나오나요?

19번 최대·최소를 이용한 미정계수, 20번 정적분으로 정의된 함수의 실근의 개수, 21번 넓이의 최대, 22번 곡선과 직선 사이의 넓이입니다. 20번이 상, 나머지는 중상입니다.

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