인천효성고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년, 인천 계양구)

인천 계양구 인천효성고 2학년 2학기 기말 수2는 분석표 기준 21문항입니다. 배치 단원은 미분 쪽 11문항(미분계수와 도함수 1, 도함수의 활용 (2)·(3) 10), 적분 쪽 10문항입니다. 상 난이도는 한 문항도 없고, 중상 7문항이 모두 12번 이후에 있습니다.

핵심 요약

• 분석표 기준 21문항 — 정답 기록상 1~19번 선택형, 20·21번 서술형(2문항)
• 난이도: 하 4 / 중 10 / 중상 7 / 상 0
• 배치 단원: 05 도함수의 활용 (2) 5 / 06 도함수의 활용 (3) 5 / 08 정적분 4 / 09 정적분의 활용 4 / 07 부정적분 2 / 03 미분계수와 도함수 1
• 두 번씩 나온 유형: 부등식이 항상 성립할 조건(7·18번), 실근의 개수(8·20번), 극대·극소로 미정계수 결정(9·10번)
• 가장 까다로운 구간: 12번 이후 10문항 중 7문항이 중상

인천효성고 수학Ⅱ 2학기 기말은 어떤 시험인가

2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 분석표 기준 총 21문항입니다. 정답 기록상 1~19번이 선택형, 20·21번이 서술형입니다.

배치 단원은 여섯 개입니다. 05 도함수의 활용 (2)와 06 도함수의 활용 (3)이 5문항씩, 08 정적분과 09 정적분의 활용이 4문항씩, 07 부정적분 2문항입니다. 여기에 **03 미분계수와 도함수 1문항(13번)**도 들어 있습니다.

단원 순서는 섞여 있습니다. 1번 최대·최소, 2번 부정적분, 3번 움직인 거리, 4번 정적분, 5번 넓이 순입니다. 첫 다섯 문항에서 미분과 적분을 모두 한 번씩 만나는 구성입니다.

2025학년 난이도 분포 — 상 0, 중상은 후반부에

1~11번에는 중상이 한 문항도 없습니다. 하 4문항이 모두 15번 안에 있고, 611번은 전부 중입니다. 앞 11문항은 실수 없이 빠르게 처리하는 구간입니다.

12번부터는 성격이 달라집니다. 12~21번 10문항 중 7문항이 중상이고, 중은 13·15·17번 셋뿐입니다. 서술형 20·21번도 둘 다 중상입니다. 상 문항이 없는 대신 중상이 후반에 몰려 있어서, 시간을 앞에서 아끼는 것이 결과를 좌우합니다.

출제 단원 — 도함수의 활용 10문항

도함수의 활용 (2)·(3)이 합쳐서 10문항으로 가장 큰 덩어리입니다. 중상 7문항 중 4문항(12·14·18·20번)도 여기서 나왔습니다.

적분 쪽은 08 정적분과 09 정적분의 활용이 4문항씩 고르게 나뉘었습니다. 중상은 16·21번(정적분), 19번(정적분의 활용)입니다.

반복 유형 — 같은 유형이 중과 중상으로 두 번

이 시험에는 두 번씩 나온 유형이 세 개 있습니다. 공통점은 한 번은 중, 한 번은 중상으로 난이도를 바꿔 나왔다는 점입니다.

• 부등식 f(x)>g(x)가 항상 성립할 조건 — 7번 중, 18번 중상
• 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 — 8번 중, 20번 중상(서술형)
• 함수의 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정 — 9번 중, 10번 중

7번은 두 함수의 대소를 차함수의 최솟값 조건으로 바꾸는 문항이고, 18번은 반직선 전체에서 식이 0 이상이 되는 조건으로 계수의 범위를 정하는 문항입니다. **“두 함수의 차를 하나의 함수로 놓고 최솟값을 본다”**는 같은 발상이 두 문항에 쓰입니다.

8번은 삼차식의 극값 높이로 두 수평선과의 실근 수를 나눠 세는 문항이고, 20번 서술형은 극대와 극소 사이 높이 조건으로 서로 다른 세 실근을 보장하는 문항입니다. 극댓값과 극솟값을 먼저 구하는 습관이 두 문항을 함께 해결합니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 도함수의 활용 (2) (1·9·10·11·12번)

1번 하 함수의 최대·최소, 9번 중 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정(도함수의 세 근으로 함수의 꼴 정하기), 10번 중 같은 유형(짝함수 조건과 극솟값), 11번 중 최대·최소의 활용; 넓이(대칭인 내접 직사각형), 12번 중상 극대·극소의 활용.

1번은 구간 안의 정지점과 양 끝값을 비교해 최솟값을 정하는 기본 문항입니다. 10번은 짝함수라는 조건으로 홀수 차수 항을 지우는 것이 출발입니다. 12번은 매개변수 범위에 따라 도함수의 근과 실근 수가 어떻게 바뀌는지 보기별로 판단하는 문항이라 시간이 걸립니다.

2. 도함수의 활용 (3) (7·8·14·18·20번)

7번 중 부등식이 항상 성립할 조건, 8번 중 실근의 개수, 14번 중상 위로 던진 물체의 위치와 속도, 18번 중상 부등식이 항상 성립할 조건, 20번 중상 실근의 개수(서술형).

14번은 처음 높이와 속도의 적분으로 지면에 닿는 시각을 구하고, 올라갈 때와 내려올 때를 나눠 전체 이동 거리를 계산합니다. 거리를 구할 때 방향이 바뀌는 시각에서 구간을 나눠야 합니다.

3. 정적분 (4·16·17·21번)

4번 하 절댓값 기호를 포함한 함수의 정적분, 16번 중상 정적분을 포함한 등식(아래끝·위끝과 피적분함수에 변수가 있는 경우), 17번 중 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 정적분, 21번 중상 주기함수의 정적분(서술형).

4번은 절댓값 안이 0이 되는 점에서 구간을 나눠 적분하는 기본기입니다. 16번은 두 번 미분해 함숫값을 구하는 문항이고, 21번 서술형은 짝함수 성질과 주기 조건으로 여러 구간의 적분을 옮겨 더하는 문항입니다.

4. 정적분의 활용 (3·5·15·19번)

3번 중 움직인 거리, 5번 하 곡선과 x축 사이의 넓이, 15번 중 두 도형의 넓이가 같을 조건, 19번 중상 곡선과 직선 사이의 넓이.

3번은 정지 시각에서 구간을 나눠 이동 거리를 더하는 문항입니다. 15번은 두 영역의 넓이가 같다는 조건을 부호 있는 정적분이 0이라는 식으로 바꾸는 것이 핵심입니다. 19번은 삼각형 넓이와 두 영역의 넓이 비에서 매개변수를 구하는 문항입니다.

5. 부정적분과 미분계수 (2·6·13번)

2번 하 부정적분과 도함수의 정의를 이용하여 함수 구하기, 6번 중 함수와 부정적분 사이의 관계식이 주어질 때 함수 구하기, 13번 중 항등식이 주어질 때 도함수 구하기(03 미분계수와 도함수).

6번은 부정적분 항등식을 미분한 뒤 다항식 나눗셈으로 함수를 구하는 문항입니다. 13번은 모든 실수에서 성립하는 함수 항등식에 값을 대입해 함수를 구하는 문항입니다.

주의 문항 — 중상 7문항

12번 중상 (극대·극소의 활용) — 보기 판단형이라 매개변수의 경계값까지 따져야 합니다.

14번 중상 (위로 던진 물체) — 이동 거리 계산에서 올라가는 구간과 내려오는 구간을 나눠야 합니다.

16번 중상 (정적분을 포함한 등식) — 적분 안팎의 변수를 정리하고 두 번 미분합니다.

18번 중상 (부등식이 항상 성립할 조건) — 7번과 같은 유형이지만 반직선 전체에서 계수의 범위를 정해야 해서 더 까다롭습니다.

19번 중상 (곡선과 직선 사이의 넓이) — 넓이 비 조건에서 교점을 골라내야 합니다.

20·21번 중상 (서술형) — 실근의 개수와 주기함수의 정적분입니다. 풀이 과정을 써야 하니 조건 정리부터 꼼꼼히 하세요.

인천효성고 수학Ⅱ 2학기 기말 대비 학습 순서

1. 구간에서의 최대·최소, 정적분 기본 계산 — 1·4번 대비. 확보 구간입니다.
2. 부정적분과 도함수의 관계 — 2·6번 대비.
3. 곡선과 x축 사이의 넓이, 움직인 거리 — 3·5번 대비.
4. 함수 항등식에서 함수 구하기 — 13번 대비.
5. ★ 극대·극소로 미정계수 결정 — 9·10번 대비. 짝함수 조건 활용까지.
6. 넓이의 최대·최소 — 11번 대비.
7. ★ 부등식이 항상 성립할 조건 — 7·18번 대비. 차함수의 최솟값으로 바꾸기.
8. ★ 실근의 개수 — 8·20번 대비. 극댓값·극솟값 먼저.
9. 위로 던진 물체와 이동 거리 — 14번 대비.
10. 두 도형의 넓이가 같을 조건, 곡선과 직선 사이의 넓이 — 15·19번 대비.
11. 정적분을 포함한 등식, 주기함수의 정적분 — 16·21번 대비.

자주 나오는 질문

인천효성고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

분석표 기준 21문항입니다. 정답 기록상 1~19번은 선택형, 20·21번은 서술형입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 05 도함수의 활용 (2)와 06 도함수의 활용 (3)이 각 5문항으로 가장 많습니다. 08 정적분과 09 정적분의 활용이 각 4문항, 07 부정적분 2문항, 03 미분계수와 도함수 1문항입니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도는 없습니다. 가장 어려운 문항은 중상 7문항(12·14·16·18·19·20·21번)이고, 모두 12번 이후에 있습니다.

서술형은 어떤 문항이 나오나요?

20번 실근의 개수, 21번 주기함수의 정적분 두 문항이고, 둘 다 중상입니다.

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