제일고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년, 인천 부평구)

인천 부평구 제일고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 분석표 기준 22문항입니다. 1~20번은 선택형, 21·22번 두 문항이 서술형입니다. 상 난이도는 한 문항도 없고, 중 11문항이 절반을 차지합니다.

핵심 요약

• 분석표 기준 22문항 — 선택형 20 / 서술형 2(21·22번)
• 난이도: 하 5 / 중 11 / 중상 6 / 상 0
• 배치 단원: 05 도함수의 활용 (2) 6 / 09 정적분의 활용 6 / 06 도함수의 활용 (3) 5 / 08 정적분 4 / 07 부정적분 1
• 반복 유형: 곡선과 x축 사이의 넓이(1·17번), 도함수의 그래프의 해석 (응용)(11·18번)
• 승부처: 15·18·19·20번 중상과 서술형 21·22번

제일고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가

제일고등학교는 인천 부평구에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 분석표 기준 총 22문항입니다.

배치 단원을 미분과 적분으로 나누면 미분 쪽 11문항(05·06 단원), 적분 쪽 11문항(07·08·09 단원) 으로 정확히 반반입니다. 그중 05 도함수의 활용 (2)와 09 정적분의 활용이 6문항씩으로 가장 많습니다.

07 부정적분은 6번 한 문항뿐입니다. 적분 쪽 무게는 정적분 계산보다 넓이·위치·거리 같은 활용에 실려 있습니다.

2025학년 난이도 분포 — 상 0문항, 중 11문항

하 다섯 문항이 1~5번에 차례로 놓여 있습니다. 시작 다섯 문항은 확실히 가져가야 하는 구간입니다.

614번 아홉 문항은 전부 중입니다. 15번에서 첫 중상이 나오고, 16·17번이 다시 중, **1822번 다섯 문항이 연달아 중상**입니다.

상 난이도가 없으니 손을 못 댈 문항은 없다는 뜻입니다. 대신 중 11문항에서 하나씩 흘리면 그대로 점수 차가 됩니다.

출제 단원 — 도함수의 활용 (2)와 정적분의 활용이 6문항씩

도함수의 활용 (2) 6문항 중 15·18번이 중상입니다. 증가·감소, 극대·극소, 도함수 그래프 해석이 나왔습니다.

정적분의 활용 6문항은 넓이와 운동 문제가 섞여 있습니다. 서술형 22번도 이 단원입니다.

반복 유형 — 넓이, 도함수 그래프 해석 각 2회

• 곡선과 x축 사이의 넓이 — 1번(하), 17번(중)
• 도함수의 그래프의 해석 (응용) — 11번(중), 18번(중상)

1번은 곡선의 두 영점 사이에서 부호와 대칭을 이용해 넓이를 구하는 기본형이고, 17번은 두 극한 조건으로 함수를 먼저 정한 뒤 넓이를 구합니다.

11번은 도함수의 영점과 부호로 극값을 읽고 사차함수를 정하는 문항, 18번은 두 도함수 그래프의 위아래 관계로 두 함수의 차가 어떻게 증감하는지 판단하는 문항입니다. 도함수 그래프를 보고 원래 함수의 모양을 떠올리는 연습이 두 문항에 공통으로 필요합니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 도함수의 활용 (2) (4·5·8·11·15·18번) — 6문항

4번 하 함수의 증가와 감소(도함수 부호로 감소 구간의 양끝 결정), 5번 하 함수의 극대·극소(극댓값과 극솟값의 차), 8번 중 삼차함수가 극값을 갖지 않을 조건(판별식 경계와 정수의 합), 11번 중 도함수의 그래프의 해석 (응용)(도함수의 세 영점으로 사차함수 결정), 15번 중상 최대·최소의 활용; 부피(접는 그림에서 부피의 최대), 18번 중상 도함수의 그래프의 해석 (응용)(두 도함수 그래프로 차함수의 증감 판단).

8번은 극값을 갖지 않을 조건을 판별식으로 세울 때 등호를 포함하는지가 관건입니다. 범위의 끝 정수를 넣을지 말지가 답을 가릅니다.

15번은 그림에서 밑면과 높이를 한 변수로 나타내고, 변수의 허용 범위 안에서 부피가 최대가 되는 점을 찾습니다.

2. 정적분의 활용 (1·7·12·16·17·22번) — 6문항

1번 하 곡선과 x축 사이의 넓이, 7번 중 움직인 거리(지면 조건과 낙하 시각이 나오는 운동), 12번 중 두 곡선 사이의 넓이(교점과 위아래 관계를 확인해 두 영역 합산), 16번 중 위치와 위치의 변화량(출발 시각이 다른 두 자동차가 처음 만나는 시각), 17번 중 곡선과 x축 사이의 넓이(극한 조건으로 함수를 정한 뒤 넓이), 22번 중상 서술형 곡선과 직선 사이의 넓이(소문항으로 나뉜 서술형).

7번은 속도가 0이 되는 시각에서 구간을 나눠 절댓값으로 거리를 더해야 합니다. 위치 변화량과 움직인 거리를 헷갈리면 틀립니다.

16번은 두 자동차의 출발 시각 차이를 적분 구간에 반영하는 것이 핵심입니다.

22번 서술형은 소문항이 이어지는 구조입니다. 영점과 접선 기울기 조건으로 삼차함수를 정하고, 두 점을 잇는 직선과 곡선이 만드는 영역의 넓이를 구합니다. 앞 소문항이 틀리면 뒤 소문항까지 영향을 받습니다.

3. 도함수의 활용 (3) (2·10·14·19·21번) — 5문항

2번 하 속도·가속도와 운동 방향(지정 시각의 속도와 가속도), 10번 중 속도의 그래프의 해석(속도 그래프로 보기 판단), 14번 중 주어진 구간에서 부등식이 항상 성립할 조건(차함수의 최댓값), 19번 중상 부등식 f(x)>g(x)가 항상 성립할 조건(반직선 전체에서 성립하는 삼차식 계수 조건), 21번 중상 서술형 방정식 f(x)=k의 실근의 개수(그래프 개형과 세 실근 조건).

10번은 속도 그래프의 부호로 운동 방향과 위치를 읽고 보기를 하나씩 대조하는 문항입니다.

21번 서술형은 도함수로 그래프 개형을 먼저 정하고, 수평선과 세 점에서 만나는 조건으로 범위를 구하는 구조입니다. 극댓값·극솟값을 정확히 구해야 범위가 나옵니다.

4. 정적분 (3·9·13·20번) — 4문항

3번 하 정적분으로 정의된 함수의 극한(미적분의 기본정리와 인수분해), 9번 중 정적분의 계산; 적분 구간이 같은 경우(정적분을 수열의 합으로 바꿔 자연수 찾기), 13번 중 정적분을 포함한 등식; 위끝에 변수가 있는 경우(근의 합), 20번 중상 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소(극값을 갖는 정수 조건).

20번은 적분으로 정의된 함수가 극값을 가지려면 도함수의 부호가 바뀌어야 한다는 점에서 출발합니다. 중근일 때 부호가 바뀌지 않는다는 것을 놓치기 쉽습니다.

5. 부정적분 (6번) — 1문항

6번 중 부정적분과 극대·극소(극대 위치로 상수를 정하고 다른 극솟값 계산).

주의 문항 — 중상 6문항

15번 중상 (부피의 최대) — 그림을 식으로 옮기는 것이 첫 관문입니다.

18번 중상 (두 도함수 그래프) — 그래프의 위아래 관계를 증감으로 바꿔 읽어야 합니다.

19번 중상 (항상 성립하는 부등식) — 반직선 전체에서 조건을 따져야 합니다.

20번 중상 (정적분으로 정의된 함수의 극값) — 중근 경계를 따로 봐야 합니다.

21번 중상 서술형 (그래프 개형과 실근의 개수) — 그래프 개형이 범위를 구하는 근거입니다.

22번 중상 서술형 (곡선과 직선 사이 넓이) — 소문항이 이어져 앞 소문항 실수가 뒤로 번집니다.

중상 여섯 문항 중 다섯 개(18~22번)가 마지막에 몰려 있습니다. 앞쪽 하·중 문항에서 시간을 아껴야 하는 이유입니다.

제일고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서

1. 함수의 증가·감소, 극대·극소 기본 — 4·5번 대비. 확보 구간.
2. 속도·가속도, 정적분 기본 계산 — 2·3번 대비. 확보 구간.
3. 삼차함수가 극값을 갖지 않을 조건 — 8번 대비. 등호 처리 주의.
4. ★ 도함수 그래프 해석 — 11·18번 대비.
5. 최대·최소의 활용; 부피 — 15번 대비.
6. 구간에서 부등식이 항상 성립할 조건 — 14·19번 대비.
7. 속도 그래프 해석 — 10번 대비.
8. ★ 그래프 개형과 실근의 개수 — 서술형 21번 대비.
9. 부정적분과 극대·극소 — 6번 대비.
10. 정적분 등식, 정적분으로 정의된 함수의 극값 — 13·20번 대비.
11. 곡선과 x축, 두 곡선 사이 넓이 — 1·12·17번 대비.
12. 움직인 거리, 위치의 변화량 — 7·16번 대비.
13. ★ 곡선과 직선 사이 넓이(소문항형) — 서술형 22번 대비.

자주 나오는 질문

제일고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 분석표 기준 22문항입니다. 1~20번은 선택형, 21·22번은 서술형입니다.

서술형은 몇 문항인가요?

21·22번 두 문항입니다. 둘 다 중상이고, 22번은 소문항이 이어지는 구조입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 도함수의 활용 (2)와 정적분의 활용이 6문항씩으로 가장 많습니다. 이어서 도함수의 활용 (3) 5문항, 정적분 4문항, 부정적분 1문항입니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도는 한 문항도 없습니다. 최고 난도는 중상 6문항(15·18·19·20·21·22번)이고, 그중 다섯 개가 18번 이후에 있습니다.

과년도 제일고 기출도 볼 수 있나요?

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