인천산곡고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년)

인천산곡고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 분석표 기준 21문항입니다. 1~15번은 선택형, 16~21번 여섯 문항이 서술형입니다. 서술형 비중이 30%에 가깝고, 상 난이도 두 문항 중 하나(21번)가 서술형 마지막 문항입니다.

핵심 요약

• 분석표 기준 21문항 — 선택형 15 / 서술형 6(16~21번)
• 난이도: 하 3 / 중 10 / 중상 6 / 상 2
• 배치 단원: 06 도함수의 활용 (3) 6 / 09 정적분의 활용 6 / 08 정적분 4 / 07 부정적분 3 / 05 도함수의 활용 (2) 2
• 반복 유형: 방정식 f(x)=k의 실근의 개수(5·13번)
• 승부처: 선택형 15번(상)과 서술형 18~21번

인천산곡고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가

인천산곡고등학교는 인천 부평구에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 분석표 기준 총 21문항입니다.

배치 단원을 미분과 적분으로 나누면 미분 쪽 8문항(05·06 단원), 적분 쪽 13문항(07·08·09 단원) 입니다. 가장 많은 단원은 06 도함수의 활용 (3)과 09 정적분의 활용, 각 6문항입니다. 두 단원 모두 “활용” 단원이라 방정식·부등식·운동·넓이 같은 응용 문항이 12문항입니다.

서술형 여섯 문항은 부정적분(16번), 정적분의 활용(17·19·21번), 도함수의 활용 (2)(18번), 도함수의 활용 (3)(20번) 으로 여러 단원에 퍼져 있습니다.

2025학년 난이도 분포 — 서술형에 중상·상 네 문항

선택형 15문항은 하 3, 중 8, 중상 3(12·13·14번), 상 1(15번) 입니다. 1~11번은 하와 중만 있어 앞쪽은 빠르게 풀 수 있습니다. 12~14번이 중상, 15번이 상으로 이어집니다.

서술형 6문항은 16·17번 중, 18·19·20번 중상, 21번 상입니다. 서술형도 뒤로 갈수록 어려워지는 배치입니다.

출제 단원 — 도함수의 활용 (3)과 정적분의 활용 6문항씩

06 도함수의 활용 (3) 6문항은 실근의 개수, 항상 성립하는 부등식, 교점의 개수, 운동 방향, 삼차방정식의 근이 고르게 나왔습니다.

09 정적분의 활용 6문항 중 세 문항(17·19·21번)이 서술형입니다. 넓이와 움직인 거리를 서술형으로 쓰는 연습이 특히 필요합니다.

반복 유형 — 실근의 개수 2회

방정식 f(x)=k의 실근의 개수가 5번(중)과 13번(중상)에 나왔습니다. 5번은 사차방정식의 실근 개수, 13번은 원점 대칭 삼차함수에 절댓값을 씌운 식의 실근 개수입니다.

여기에 20번 서술형(삼차방정식의 근의 판별) 과 7번(두 그래프의 교점의 개수) 까지 더하면, 그래프를 그려 교점 개수를 세는 문항이 네 문항입니다. 그래프 개형과 극값으로 근의 개수를 판단하는 연습이 이 시험의 핵심 준비입니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 도함수의 활용 (3) (5·6·7·10·13·20번) — 6문항

5번 중 방정식 f(x)=k의 실근의 개수(사차방정식의 실근 수), 6번 중 모든 실수에서 부등식이 항상 성립할 조건(정수 경계), 7번 중 두 그래프의 교점의 개수(삼차곡선과 직선이 두 점에서 만날 조건), 10번 중 속도·가속도와 운동 방향(운동 방향이 바뀌는 시각), 13번 중상 방정식 f(x)=k의 실근의 개수(원점 대칭 삼차함수에 절댓값), 20번 중상 서술형 삼차방정식의 근의 판별(서로 다른 두 실근을 갖는 값).

7번은 곡선과 직선이 두 점에서 만나는 경우가 접할 때라는 점을 떠올려야 합니다.

20번 서술형은 서로 다른 두 실근을 가지려면 극값 중 하나가 0이 돼야 한다는 조건을 식으로 세웁니다. 극댓값과 극솟값을 구하는 과정을 답안에 밝히세요.

2. 정적분의 활용 (2·3·11·17·19·21번) — 6문항

2번 중 곡선과 x축 사이의 넓이(포물선과 x축 사이 색칠한 넓이), 3번 중 곡선과 직선 사이의 넓이(삼차곡선과 직선), 11번 하 위치와 위치의 변화량(속도를 적분해 나중 위치), 17번 중 서술형 그래프에서의 위치와 움직인 거리(속도 그래프에서 거리와 위치), 19번 중상 서술형 움직인 거리(중점의 운동에서 처음 다시 돌아올 때까지의 거리), 21번 상 서술형 두 곡선 사이의 넓이의 활용; 이등분.

19번 서술형은 두 점의 중점이 움직이는 상황에서 처음 같은 위치로 돌아오는 시각을 구하고 거리를 계산합니다.

21번 서술형은 두 곡선이 만드는 영역을 넓이가 같도록 나누는 문항입니다. 서술형 유일한 상 문항입니다.

3. 정적분 (1·4·14·15번) — 4문항

1번 하 정적분의 계산; 적분 구간이 같은 경우(다섯 정적분 값 비교), 4번 중 정적분의 계산; 절댓값 기호를 포함한 함수, 14번 중상 정적분을 포함한 등식; 아래끝 또는 위끝과 피적분함수에 변수가 있는 경우, 15번 상 그래프와 정적분으로 정의된 함수(절댓값이 든 적분함수의 그래프로 보기 판단).

15번이 선택형 유일한 상입니다. 정적분으로 정의된 함수의 그래프를 해석해 보기를 하나씩 따져야 합니다.

4. 부정적분 (9·12·16번) — 3문항

9번 하 부정적분과 접선의 기울기(접선의 기울기로 함수 구하기), 12번 중상 함수와 부정적분 사이의 관계식이 주어질 때 함수 구하기(다항함수와 부정적분의 항등식), 16번 중 서술형 부정적분과 미분계수(부정적분 함수의 극한).

12번은 관계식을 미분해 함수의 차수를 먼저 정하는 표준형입니다.

5. 도함수의 활용 (2) (8·18번) — 2문항

8번 중 함수의 최대·최소(닫힌구간 최댓값과 최솟값의 차), 18번 중상 서술형 최대·최소의 활용; 넓이(내접하는 사다리꼴 넓이의 최대).

18번 서술형은 사다리꼴 넓이를 한 변수의 함수로 세운 뒤 도함수로 최댓값을 찾습니다. 변수의 범위를 답안에 꼭 적으세요.

주의 문항 — 중상 6문항, 상 2문항

12번 중상 (함수와 부정적분의 관계식) — 선택형 첫 중상입니다.

13번 중상 (절댓값 삼차식의 실근 수) — 절댓값 그래프를 정확히 그려야 합니다.

14번 중상 (피적분함수에 변수가 있는 적분 등식) — 식 정리가 먼저입니다.

15번 상 (정적분으로 정의된 함수의 그래프) — 선택형 유일한 상 문항입니다.

18번 중상 서술형 (사다리꼴 넓이의 최대) — 넓이를 함수로 세우는 것이 출발점입니다.

19번 중상 서술형 (중점의 움직인 거리) — 다시 돌아오는 시각부터 구해야 합니다.

20번 중상 서술형 (삼차방정식의 근의 판별) — 극값 조건을 식으로 써야 합니다.

21번 상 서술형 (넓이 이등분) — 서술형 유일한 상 문항입니다.

인천산곡고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서

1. 정적분 기본 계산, 접선 기울기로 함수 구하기 — 1·9번 대비. 확보 구간.
2. 위치와 위치의 변화량 — 11번 대비. 확보 구간.
3. 절댓값이 있는 정적분 — 4번 대비.
4. 곡선과 x축, 곡선과 직선 사이 넓이 — 2·3번 대비.
5. 닫힌구간 최대·최소 — 8번 대비.
6. 운동 방향, 항상 성립하는 부등식 — 6·10번 대비.
7. ★ 실근의 개수와 교점의 개수 — 5·7·13번 대비.
8. 함수와 부정적분의 관계식 — 12번 대비.
9. 피적분함수에 변수가 있는 정적분 등식 — 14번 대비.
10. ★ 정적분으로 정의된 함수의 그래프 — 15번 대비.
11. 부정적분과 미분계수 — 서술형 16번 대비.
12. 속도 그래프와 움직인 거리 — 서술형 17·19번 대비.
13. 최대·최소의 활용; 넓이 — 서술형 18번 대비.
14. ★ 삼차방정식의 근의 판별 — 서술형 20번 대비.
15. ★ 두 곡선 사이 넓이의 이등분 — 서술형 21번 대비.

자주 나오는 질문

인천산곡고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 분석표 기준 21문항입니다. 115번은 선택형, 1621번은 서술형입니다.

서술형은 몇 문항인가요?

16~21번 여섯 문항입니다. 16·17번 중, 18·19·20번 중상, 21번 상입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 도함수의 활용 (3)과 정적분의 활용이 6문항씩으로 가장 많습니다. 이어서 정적분 4문항, 부정적분 3문항, 도함수의 활용 (2) 2문항입니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도는 15·21번 두 문항입니다. 15번은 선택형(정적분), 21번은 서술형(정적분의 활용)입니다.

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