덕이고 1학년 1학기 기말 공통수학1 기출 분석 (2025학년도)

덕이고 1학년 1학기 기말 공통수학1은 2025학년도 기준 총 21문항으로 출제됐습니다. 덕이고 1학년 1학기 기말 공통수학1의 범위는 순열과 조합, 복소수·여러 가지 방정식·부등식, 행렬과 그 연산까지로 폭넓습니다. 덕이고는 경기 고양시(일산)에 위치한 일반계 고등학교로, 이번 기말은 객관식 20문항에 서술형 1문항(21번)을 더한 구성입니다.

핵심 요약

• 21문항 — 객관식 20문항(1~20번) + 서술형 1문항(21번)
• 난이도: 하 5 / 중 4 / 중상 8 / 상 4 — 상 4문항(16·17·19·20번)에서 변별
• 출제 단원: 순열과 조합 6 / 행렬과 그 연산 5 / 여러 가지 방정식 4 / 일차부등식 3 / 이차부등식 3
• ★ 시그니처: 분할한 후 분배하는 경우의 수 3회(16·18·20번) 반복
• 상 17번: 행렬의 거듭제곱 A^n의 이용 + 케일리–해밀턴 정리 (심화)
• 서술형 21번 중상: 이차부등식이 항상 성립할 조건 + 판별 → 답 m=2, n=1

덕이고 공통수학1 기말은 어떤 시험인가

2025학년도부터 고1 수학은 2015 개정의 ‘수학’에서 2025 개정 교육과정의 공통수학1·공통수학2로 나뉘었고, 빠져 있던 행렬 단원이 다시 들어왔습니다. 덕이고 기말은 부활한 행렬에서 심화 개념인 케일리–해밀턴 정리까지 다룬 점이 눈에 띕니다.

덕이고 1학년 1학기 기말은 총 21문항으로, 객관식 20문항(1~20번)과 서술형 1문항(21번)으로 구성됐습니다. 범위는 순열과 조합 · 복소수 · 여러 가지 방정식 · 일차부등식 · 이차부등식 · 행렬과 그 연산입니다. 순열과 조합 6문항과 행렬 5문항 이 비중의 양대 축이며, 행렬에서 거듭제곱·심화 정리까지 출제돼 체감 난도가 높습니다.

2025학년도 난이도 분포 — 중상·상이 절반 이상

덕이고 기말은 중상 8문항 + 상 4문항 = 12문항(57%) 으로 중상 이상이 절반을 넘습니다. 하 5문항으로 출발하지만 7번부터 중상이 등장하고, 16·17·19·20번(상) 이 후반에 몰려 있어 시간 관리가 핵심입니다. 특히 17번은 행렬 거듭제곱과 케일리–해밀턴 정리를 결합한 심화 문항이라, 교과서 수준만으로는 벅찰 수 있습니다.

출제 단원 — 순열과 조합 6 + 행렬 5가 양대 축

순열과 조합 6문항 + 행렬 5문항 = 11문항(53%) 으로 두 단원이 절반을 넘습니다. 순열과 조합에서는 분할한 후 분배하는 경우의 수가 반복되고, 행렬에서는 거듭제곱·곱셈의 성질·실생활 활용까지 폭넓게 나옵니다.

덕이고 기말의 시그니처 — “분할한 후 분배” 3회 반복

덕이고 기말의 특징은 분할한 후 분배하는 경우의 수(No.3147)가 3회 반복 출제(16·18·20번) 된 점입니다. 18번 중상, 16번 상(적어도 조건과 결합), 20번 상(적어도 조건과 결합)으로, 같은 분배 논리가 난이도를 올려가며 세 번 나옵니다. n개를 그룹으로 나눠 분배할 때 그룹 크기가 같은 경우의 중복 처리가 핵심 감점 포인트입니다.

행렬에서는 연립이차방정식의 활용(No.3072) 이 7·15번 2회, 적어도 조건이 있는 조합(No.3142) 이 16·20번 2회로 반복됩니다.

★ 빈출 유형 (실제 2025 기출 기준)

1. 분할한 후 분배하는 경우의 수 (16·18·20번) — ★ 3문항 (상 2 포함)

18번 중상, 16번 상, 20번 상. 덕이고 기말의 최다 빈출 코드로, 그룹으로 나눠 분배하는 과정에서 같은 크기 그룹의 중복을 나눠주는 처리가 핵심입니다.

2. 행렬의 거듭제곱과 심화 (17번) — ★ 상 1문항

17번 상은 행렬의 거듭제곱 A^n의 이용에 케일리–해밀턴 정리를 결합한 심화 문항입니다. A²을 A와 E로 환원하는 관계식을 세워 거듭제곱을 단순화하는 사고가 필요합니다.

3. 연립이차방정식의 활용 (7·15번) — ▲ 2문항 (중상)

7번 중상(공통해), 15번 중상(도형 조건과 결합). 일차식을 대입해 이차방정식으로 환원하거나, 직각삼각형 변의 길이 조건을 식으로 옮기는 융합 유형입니다.

4. 이차부등식의 활용 (19번) — ▲ 상 1문항

19번 상은 이차부등식의 활용으로, 특수한 각의 삼각비 조건까지 결합돼 출제됐습니다. 부등식 풀이뿐 아니라 조건 해석이 까다롭습니다.

서술형 21번 구성

덕이고의 유일한 서술형 21번은 이차부등식이 항상 성립할 조건입니다. 모든 실수에서 부등식이 성립하려면 이차항 계수의 부호와 판별식 조건을 동시에 만족해야 하며, 이를 정리해 미지수 m, n의 값(m=2, n=1)을 구합니다. 판별식 부호 조건을 빠뜨리지 않고 서술하는 것이 만점의 관건입니다.

학부모·학생이 체크할 포인트

• 상 4문항이 후반(16·17·19·20번)에 집중 — 17번 행렬 심화는 시간을 많이 잡아먹으니 풀이 순서를 전략적으로.
• 분할 후 분배가 3회 반복 — 같은 크기 그룹의 중복 처리를 한 번 익히면 세 문항이 동시에 풀립니다.
• 케일리–해밀턴 정리 — 교과서 본문을 넘어서는 심화 개념이 나오므로 별도 보강이 필요합니다.
• 서술형 판별식 조건 — 21번은 부등식이 항상 성립할 조건에서 판별식 부호를 명시해야 감점이 없습니다.

2025학년도 1학기 기말 대비 학습 순서 제안

1. 공통수학1 교과서 + 기본서로 범위 완주 — 순열과 조합부터 행렬까지
2. ★ 분할한 후 분배하는 경우의 수 — 16·18·20번 유형, 같은 크기 그룹 중복 처리
3. 행렬의 거듭제곱 + 케일리–해밀턴 — 17번 심화 유형, A²의 환원
4. 연립이차방정식의 도형 활용 — 7·15번형, 조건을 식으로 옮기기
5. 이차부등식이 항상 성립할 조건 서술 — 21번형, 판별식 부호 명시
6. 덕이고 2025 기말 기출 + 변형본 — 21문항 실전 시간 배분 연습

자주 나오는 질문

덕이고 공통수학1 기말은 어디까지 나오나요?

순열과 조합 · 복소수 · 여러 가지 방정식 · 일차부등식 · 이차부등식 · 행렬과 그 연산까지입니다. 행렬에서 거듭제곱·케일리–해밀턴 정리 등 심화 개념까지 출제됐습니다.

가장 어려운 문항은 무엇인가요?

2025학년도 기준 17번(행렬 거듭제곱 + 케일리–해밀턴) 이 가장 까다로운 심화 문항이었습니다. 16·19·20번도 상 난이도입니다.

케일리–해밀턴 정리까지 공부해야 하나요?

덕이고 기말에는 17번에서 케일리–해밀턴 정리가 결합돼 출제됐습니다. 상위권을 노린다면 행렬 거듭제곱과 함께 보강해 두는 것이 좋습니다.

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