동문고 2학년 1학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025)
동문고 2학년 1학기 기말 수학Ⅱ는 2025년 기준 총 21문항으로 출제됐습니다. 동문고 2학년 1학기 기말 수학Ⅱ의 출제 범위는 도함수의 활용부터 부정적분, 정적분, 정적분의 활용까지로, 수학Ⅱ 후반부 전체를 한 번에 평가하는 구성입니다. 동문고는 대구 소재 일반계 고등학교로, 이번 기말은 객관식 중심에 후반부 단답·서술형(17·18·20·21번)을 더한 형태입니다. 미분과 적분이 절반씩 균형을 이루는 시험이라, 어느 한쪽만 준비해서는 안정적인 등급을 받기 어렵습니다.
핵심 요약
- 21문항, 객관식 중심 + 단답·서술형(17·18·20·21번)
- 난이도: 하 3 / 중 10 / 중상 7 / 상 1
- 출제 단원: 도함수의 활용 11문항(미분) + 부정적분·정적분·정적분의 활용 10문항(적분)
- 빈출: 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 5회(7·11·14·16·17번), 함수의 극대·극소 4회(4·11·18·19번)
- 상난이도: 16번(도함수 그래프로 함수의 극대·극소 + 실근 개수)
동문고 수학Ⅱ 기말은 어떤 시험인가
동문고등학교는 대구에 위치한 일반계 고등학교입니다. 2025년 2학년 1학기 기말 수학Ⅱ는 총 21문항으로, 도함수의 활용(미분)과 부정적분·정적분·정적분의 활용(적분)이 거의 절반씩 출제됐습니다. 1학기 중간에서 함수의 극한·연속·미분계수를 다뤘다면, 기말은 그 뒤 진도인 도함수의 활용부터 적분 전 범위까지를 묶어 확인하는 시험입니다.
2025년 난이도 분포 — 중·중상이 두텁고 상은 1문항
| 난이도 | 문항 수 | 비중 |
|---|---|---|
| 하 | 3 | 14% |
| 중 | 10 | 48% |
| 중상 | 7 | 33% |
| 상 | 1 | 5% |
상 난이도는 16번 1문항뿐이지만, 중상이 7문항(33%)으로 두텁다는 점이 이 시험의 진짜 특징입니다. 최고난도 한두 문항으로 변별하는 시험이 아니라, 중상 구간을 얼마나 안정적으로 처리하느냐로 등급이 갈립니다. 실수 한두 개가 곧바로 등급 하락으로 이어지는 구조이므로, 계산 정확도가 점수를 좌우합니다.
출제 단원 — 미분 11 + 적분 10
| 단원 | 문항 수 | 비중 |
|---|---|---|
| 도함수의 활용 (04·05·06) | 11 | 52% |
| 부정적분 (07) | 2 | 10% |
| 정적분 (08) | 4 | 19% |
| 정적분의 활용 (09) | 4 | 19% |
도함수의 활용이 11문항(52%)으로 미분 쪽 비중이 약간 더 큽니다. 그중에서도 함수의 극대·극소(05단원)와 방정식 f(x)=k의 실근 개수, 속도·가속도(06단원)가 핵심입니다. 적분은 정적분과 정적분의 활용이 각각 4문항으로, 넓이·움직인 거리·위치의 변화량 같은 활용 유형이 고르게 나왔습니다.
동문고 수학Ⅱ 기말의 시그니처 — “실근의 개수” 5회 반복
이번 기말의 가장 뚜렷한 특징은 방정식 f(x)=k의 실근의 개수를 묻는 유형이 5회(7·11·14·16·17번) 반복 출제된 점입니다. 7번은 치환 방정식의 실근 개수(중), 11번은 함수의 극대·극소와 결합(중상), 14번은 속도 적분으로 위치를 결정한 뒤 실근 개수(중상), 16번은 도함수 그래프 해석과 결합(상), 17번은 속도 부호 변화·운동 방향과 결합(단답)으로, 같은 코드가 난이도와 결합 단원을 바꿔 가며 시험 전체를 관통합니다. 삼차함수의 그래프 개형을 머릿속에 그리고 y=k 직선과의 교점을 세는 연습이 이 시험의 핵심입니다.
또한 함수의 극대·극소 유형이 4회(4·11·18·19번) 나왔습니다. 도함수의 부호로 극값을 판정하는 기본부터, 도함수 그래프로 계수의 부호를 역추론하는 응용까지 폭넓게 출제됐습니다.
빈출 유형 (실제 2025 기출 기준)
1. 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 (7·11·14·16·17번) — 5문항 (상 포함)
7번(중), 11번(중상, 극대·극소 결합), 14번(중상, 위치와 위치의 변화량 결합), 16번(상, 도함수 그래프 결합), 17번(단답, 운동 방향 결합). 동문고 수학Ⅱ 기말의 최다 빈출 유형으로, 그래프 개형과 교점 분석이 반복적으로 요구됩니다.
2. 함수의 극대·극소 (4·11·18·19번) — 4문항
4번(중, 도함수 부호로 극값 판정), 11번(중상, 실근 개수 결합), 18번(중, 단답·극값 계산), 19번(중상, 도함수 그래프로 계수 부호 결정). 미분 영역의 기본 축입니다.
3. 정적분의 활용 — 넓이·거리·위치 (10·12·14·20번) — 4문항
10번(중상, 부호가 바뀌는 넓이), 12번(중, 움직인 거리), 14번(중상, 위치와 위치의 변화량), 20번(단답, 곡선과 접선으로 둘러싸인 넓이). 부호가 바뀌는 구간을 나눠 적분하는 처리가 관건입니다.
4. 정적분 계산과 성질 (1·3·15·21번) — 4문항
1번(하, 정적분 계산), 3번(하, 미적분의 기본정리), 15번(중상, 우함수·기함수 정적분), 21번(서술, 정적분 포함 등식). 21번은 정적분이 포함된 등식을 미분하고 연립해 푸는 서술형으로, 답은 -40입니다.
상난이도·서술형 핵심
| 번호 | 유형 | 핵심 |
|---|---|---|
| 16 (상) | 도함수 그래프 해석 | 도함수 그래프로 극대·극소 판정 후 실근 개수 |
| 20 (단답) | 정적분의 활용 | 곡선과 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이 (답 81/4) |
| 21 (서술) | 정적분 포함 등식 | 등식 양변 미분·연립으로 함수 결정 (답 -40) |
16번은 함수가 아니라 도함수의 그래프가 주어졌을 때 원함수의 극대·극소를 읽어 내고, 이를 실근 개수 판정으로 연결하는 2단 구조입니다. 도함수 그래프 해석은 동문고가 즐겨 내는 변별 포인트이므로 별도 훈련이 필요합니다.
학부모·학생이 체크할 포인트
- 상은 16번 1문항이지만 중상이 7문항으로 두텁습니다. 최고난도보다 중상 구간의 계산 실수 관리가 등급을 좌우합니다.
- 실근의 개수 유형이 5회 반복되므로, 삼차함수 그래프 개형과 y=k 교점 세기를 손에 익혀 두세요.
- 적분에서는 부호가 바뀌는 넓이·움직인 거리처럼 구간을 나눠 처리하는 문항이 많습니다. 절댓값과 부호를 빠뜨리면 바로 실점입니다.
- 17·18·20·21번 단답·서술형의 배점이 크므로, 과정을 빠짐없이 적는 연습이 점수로 직결됩니다.
다음 시험 대비 학습 순서 제안
- 수학Ⅱ 교과서·기본서로 도함수의 활용·부정적분·정적분·정적분의 활용 전 범위 완주
- 방정식 f(x)=k의 실근 개수 유형 집중 반복 (그래프 개형 + y=k 교점, 7·11·14·16·17번형)
- 도함수 그래프 해석으로 극대·극소·계수 부호 역추론 (16·19번형)
- 정적분의 활용 — 부호가 바뀌는 넓이·움직인 거리·위치 변화량 (10·12·14번형)
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자주 나오는 질문
동문고 수학Ⅱ 기말은 어디까지 나오나요?
도함수의 활용부터 부정적분, 정적분, 정적분의 활용까지가 출제 범위입니다. 1학기 중간 범위(극한·연속·미분계수) 이후 진도가 기말에 집중됩니다.
미분과 적분 중 어디에 비중을 둬야 하나요?
미분 11문항, 적분 10문항으로 거의 절반씩입니다. 한쪽으로 치우친 대비는 위험하고, 두 영역을 균형 있게 준비해야 합니다.
과년도 동문고 기출은 어디서 받나요?
내신판은 업로드된 원문만 제공합니다. 필요 시 내신판 시험지 요청으로 확보를 요청할 수 있습니다.
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