감일고 3학년 1학기 기말고사 미적분 기출 분석 (2025학년)
감일고 3학년 1학기 기말고사 미적분은 2025학년 기준 총 19문항. 출제 범위는 도함수의 활용부터 정적분의 활용까지로, 미적분 교과의 미분법 후반부와 적분법 전체를 포괄합니다. 감일고 3학년 1학기 기말 미적분의 가장 뚜렷한 특징은 하 난이도 문항이 단 하나도 없다는 것입니다. 19문항 중 13문항이 중상, 3문항이 상으로 중상 이상이 84% 를 차지합니다.
핵심 요약
- 19문항 — 객관식 18문항(1~18번) + 서술형 1문항(19번, 9점)
- 난이도: 하 0 / 중 3 / 중상 13 / 상 3 — 하 난이도 전무
- 상 3문항 — 15번(최대·최소의 활용) · 16번(음함수의 미분법) · 19번 서술형(도함수 그래프 해석)
- 배치 단원: 07 도함수의 활용(2) 6문항 / 09 치환적분법과 부분적분법 4문항 / 05 여러 가지 미분법 3문항 / 06 도함수의 활용(1) 2문항 / 08 여러 가지 함수의 적분법 2문항 / 10 정적분의 활용 2문항
- 대단원 III 미분법 11문항 vs IV 적분법 8문항 — 미분법 쪽이 더 무겁다
- ★ 복수 출제 유형: 역함수의 미분법의 응용(8·18번) · 변곡점(9·19번)
감일고 미적분 기말고사는 어떤 시험인가
감일고등학교는 경기도 하남시에 위치한 고등학교입니다. 2025학년도 3학년 1학기 기말고사 미적분은 총 19문항으로, 1~18번이 객관식, 19번 한 문항만 서술형(9점)입니다.
서술형이 한 문항뿐이라는 것은 객관식에서 승부를 봐야 한다는 뜻입니다. 그런데 그 객관식이 하 난이도 없이 전부 중 이상으로 구성돼 있어, 실질적으로 처음부터 끝까지 실전 난도가 유지되는 시험입니다.
2025학년 난이도 분포 — 하가 없다
| 난이도 | 문항 수 | 비중 |
|---|---|---|
| 하 | 0 | 0% |
| 중 | 3 | 16% |
| 중상 | 13 | 68% |
| 상 | 3 | 16% |
중 난이도 3문항은 1번(유리함수의 부정적분), 2번(평면 위 점의 속도), 4번(삼각함수의 부정적분) 입니다. 1번은 [lnx - 1/x]를 1부터 2까지 계산해 ln2 + 1/2, 4번은 도함수를 부정적분한 뒤 f(0)=0으로 C=1을 잡아 f(π)=2를 구하는 표준형입니다. 이 세 문항 외에는 전부 중상 이상입니다.
시간 배분이 이 시험의 핵심 변수입니다. 3번부터 이미 중상이 시작되므로 앞부분에서 시간을 벌어두기 어렵습니다.
출제 단원 — 도함수의 활용(2)에 6문항 집중
| 배치 중단원 | 문항 수 | 해당 번호 |
|---|---|---|
| 07 도함수의 활용 (2) | 6 | 2·3·9·10·15·19 |
| 09 치환적분법과 부분적분법 | 4 | 1·11·12·14 |
| 05 여러 가지 미분법 | 3 | 8·16·18 |
| 06 도함수의 활용 (1) | 2 | 6·13 |
| 08 여러 가지 함수의 적분법 | 2 | 4·17 |
| 10 정적분의 활용 | 2 | 5·7 |
07 도함수의 활용(2)이 6문항(32%) 으로 압도적입니다. 이 단원 안에서도 변곡점(9·19번), 변곡점을 이용한 미정계수(10번), 최대·최소의 활용(15번), 방정식 f(x)=k의 실근 개수(3번), 평면 위 점의 속도(2번)까지 하위 유형이 골고루 동원됐습니다.
대단원으로 보면 III 미분법 11문항, IV 적분법 8문항입니다. 기말고사라 적분 진도가 늦게 끝났을 텐데도 적분법이 8문항이나 나왔습니다. 진도 막바지 단원을 소홀히 하면 안 되는 이유입니다.
주의해야 할 상 난이도 3문항
15번 상 — 최대·최소의 활용
a=-8일 때 f(2)=-4e²를 구하고, f(-1/3)=f(2/3)이라는 조건에서 b=12e^(2/3)를 결정한 뒤, 최종적으로 g(-1)·g(7/3)=28e³를 계산합니다. 조건이 3단으로 쌓여 있어 앞 단계에서 하나라도 어긋나면 끝까지 틀립니다.
16번 상 — 음함수의 미분법
t(sin k + 2) = 5cos k 형태의 관계식에서 α=√3을 구하고, 음함수 미분으로 g’=-5/8을 얻어 α²+g’=19/8, p+q=27을 도출합니다. 음함수 미분으로 극소점을 나타내는 함수 g(t)를 유도하는 과정이 핵심인 문항으로, 이 시험에서 가장 발상이 요구되는 문제입니다.
19번 상 — 서술형 9점, 도함수의 그래프를 이용한 함수의 해석
g’(0)=0에서 p=q를 얻고 m=2-p로 정리한 뒤, 변곡점의 x좌표가 이루는 대칭 구조를 발견해 a₄²+a₅²=m²+2m+4=28에서 m=4, p=-2를 확정하고 최종적으로 f(2)=-2를 구합니다. 우함수의 미분가능 조건과 변곡점 근의 합·곱 관계를 동시에 다뤄야 하는 문항입니다. 9점 단일 서술형이므로 이 한 문항의 점수 비중이 매우 큽니다.
빈출 유형 — 실제 2025학년 기출 기준
1. 역함수의 미분법의 응용 (8·18번) — 2문항
8번 중상은 1/(g·f’(g)) = g’/g라는 변형을 알아채고 [ln g] 형태로 정적분해 g(4)=ln2, g(18)=2ln2에서 답 ln2를 얻습니다. 18번 중상은 a=1일 때 g(x)=e^(x/2)(x+3)/2를 구한 뒤 ∫f = 1·g(1) - ∫g 관계로 2√e - (2√e - 1) = 1을 계산합니다. 역함수와 적분을 엮는 유형이 두 번 나왔다는 점을 기억하세요.
2. 변곡점 (9·19번) — 2문항 (서술형 포함)
9번 중상은 변곡점이 ±√2에 생김을 파악해 밑변 2√2, 높이 ln2인 도형에서 √2·ln2를 구합니다. 19번은 위에서 설명한 서술형입니다.
3. 치환적분·부분적분 (1·11·12·14번) — 4문항
11번은 정적분을 포함한 등식을 2회 미분해 a=b를 얻고 f(x)=3/(x+1)² - 3sin x에서 f’(0)=-9를 구합니다. 12번은 u=x/3으로 치환한 뒤 (9u-3)f’를 부분적분해 18-9I=12, I=2/3을 도출합니다. 14번은 ∫e^f · f’ = e^f를 이용하되 f의 대칭축이 x=1임을 파악해 |f’|를 구간별로 분리합니다. 적분 단원은 계산 자체보다 식 변형을 알아보는 눈이 관건입니다.
4. 정적분의 활용 (5·7번) — 2문항
5번은 정적분과 급수의 합 사이의 관계로 √2∫₀¹(3+x)^(-1/2)dx = 4√2 - 2√6을 구합니다. 7번은 ∫lnx/x = (lnx)²/2임을 쓰되 부호를 구간별로 분리해 1/2 + 2 = 5/2를 얻습니다.
학생·학부모가 체크할 포인트
- 하 난이도 0문항 — 워밍업 문항이 없습니다. 시험 시작과 동시에 계산 밀도가 높습니다.
- 서술형이 19번 단 하나(9점) — 배점이 한 문항에 몰려 있어, 이 문항을 놓치면 만회할 서술형이 없습니다. 반대로 서술형이 적으니 객관식 18문항의 계산 정확도가 성적을 결정합니다.
- 역함수 미분법이 2회, 변곡점이 2회 — 반복 출제된 유형은 다음 시험에서도 나올 가능성이 있습니다. 우선순위를 여기에 두세요.
- 선수 개념 의존도가 높음 — 삼각함수(4·10·16·17번), 부정적분의 계산(1·5·11·12번), 함수의 증가와 감소(15·16·19번), 지수가 실수인 식의 계산(3·13·14번)이 실제 풀이 단계에 등장합니다. 수학Ⅰ·수학Ⅱ가 흔들리면 미적분 문항에서 그대로 막힙니다.
다음 시험 대비 학습 순서 제안
- 도함수의 활용(2) 전 유형 완주 — 변곡점, 미정계수 결정, 최대·최소 활용, 실근 개수, 속도까지
- ★ 역함수의 미분법 + 정적분 결합형 반복 — 8·18번 유형, 1/(g·f’(g)) 변형 인식 훈련
- ★ 음함수 미분으로 함수 유도하기 — 16번 유형, 관계식에서 극점 함수를 끌어내는 연습
- 치환·부분적분 식 변형 패턴 정리 — 11·12·14번 유형, 어떤 형태를 보면 무엇으로 치환할지 표로 정리
- 변곡점 근의 합·곱 활용 — 19번 서술형 대비, 우함수·대칭 조건과 함께 훈련
- 감일고 2025학년 기말 기출 실전 풀이 — 19문항 통으로, 하 난이도 없는 시험의 시간 배분 감각 익히기
자주 나오는 질문
감일고 3학년 1학기 기말 미적분은 어디까지 나오나요?
도함수의 활용부터 정적분의 활용까지입니다. 여러 가지 미분법, 도함수의 활용(1)(2), 여러 가지 함수의 적분법, 치환적분법과 부분적분법, 정적분의 활용이 모두 범위에 들어갑니다.
서술형은 몇 문항인가요?
19번 한 문항, 9점입니다. 도함수의 그래프를 이용한 함수의 해석 유형으로 상 난이도입니다.
가장 어려운 문항은 무엇인가요?
15번·16번·19번 세 문항이 상 난이도입니다. 특히 16번은 음함수 미분으로 새 함수를 유도해야 해서 발상 부담이 큽니다.
과년도 감일고 기출은 어디서 보나요?
내신판은 확보된 원문만 제공합니다. 찾는 시험지가 없으면 내신판에서 시험지 요청이 가능합니다.
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