가락고 1학년 2학기 기말고사 공통수학2 기출 분석 (2025학년)

가락고 1학년 2학기 기말고사 공통수학2는 2025학년 기준 총 22문항입니다. 출제 범위는 집합의 뜻과 표현부터 무리식과 무리함수까지 공통수학2 전 범위입니다. 서울 송파구에 있는 가락고의 가락고 1학년 2학기 기말 수학은 함수 단원이 7문항으로 가장 많고, 상 난이도 3문항이 18·19·20번에 나란히 붙어 있는 구조였습니다.

핵심 요약

• 22문항. 21~22번은 답과 풀이를 직접 쓰는 서술형
• 난이도: 하 2 / 중 7 / 중상 10 / 상 3
• 배치 단원: 08 함수 7 · 05 집합의 뜻과 표현 4 · 07 명제 4 · 09 유리함수 3 · 10 무리함수 3 · 06 집합의 연산 1
• 상 3문항이 18·19·20번에 연속 배치
• 무리함수의 합성함수·역함수가 7번·10번 2회 출제

난이도 구조 — 중상이 10문항

중상 난이도가 10문항으로 전체의 절반 가까이 됩니다. 상 난이도는 3문항뿐이라 최상위 변별은 좁게 가져갔지만, 중상 구간이 두꺼워서 2등급과 3등급이 여기서 갈립니다. 하 난이도는 1번(∈, ⊂ 기호 판정)과 3번(역함수 구하기) 둘뿐입니다.

상 3문항이 18·19·20번에 몰려 있는 배치도 눈여겨봐야 합니다. 앞에서 시간을 아껴두지 않으면 이 세 문항을 손도 못 대고 서술형(21·22번)으로 넘어가야 합니다.

출제 범위와 단원별 문항 수

집합 단원은 개수 세기가 전부

집합의 뜻과 표현 4문항 중 1번을 제외한 세 문항이 모두 개수 세기 유형입니다.

• 13번(중) — 조건을 만족하는 원소 개수 f(n)의 값과 합(34)을 판정하는 보기형
• 14번(중상) — Aₙ ⊂ A₄₉이 되려면 11이 Aₙ에 들어가면 안 된다는 조건에서 √n < 11, 즉 n의 최댓값 120을 구하는 문제
• 15번(중상) — 전체 부분집합 2⁶=64에서 X∩A=∅인 경우 8개, X∩B=∅인 경우 4개, 둘 다인 경우 2개를 포함배제로 빼서 54를 구하는 문제

집합의 연산에서는 8번(중상) 하나가 나왔고, 원소 개수의 최댓값 16과 최솟값 9의 차 7을 구하는 표준형입니다. 가락고 집합 파트는 정의 암기보다 경우의 수 계산 훈련이 실전 대비입니다.

함수 7문항 — 역함수가 축

함수 단원은 앞쪽 기본형(2번 함수의 뜻, 3번 역함수 구하기, 5번 서로 같은 함수)을 지나 중상 이상으로 올라갑니다.

12번(중상) 은 h∘f=f∘g라는 관계식에서 h의 대응을 하나씩 결정한 뒤 (h∘h)(1)+(h∘h∘h)(4)=8을 구합니다. 함수를 식이 아니라 대응표로 다루는 사고가 필요합니다.

19번(상) 은 f(x)=(x-k)²+3 (x≥k)이 증가함수임을 이용해 f=f⁻¹의 교점이 y=x 위에 있음을 잡고, x²-(2k+1)x+k²+3=0의 판별식에서 k>11/4, 정의역 조건에서 k≤3을 얻어 a+b=23/4를 구합니다.

20번(상) 은 구간별로 x²+(2-a)x+1과 -x²+(a+2)x+1로 나뉘는 절댓값 이차함수가 일대일대응이 되려면 두 구간 모두 증가해야 함을 이용해 -2≤a≤2, 정수 5개를 구합니다. 19번과 20번 모두 “역함수가 존재한다 = 단조증가”라는 같은 원리를 다른 형태로 묻고 있습니다.

21번(중상, 서술형) 은 t=f(x)로 놓고 |4t-8|=2t에서 t=4, 4/3을 얻은 뒤 다시 |4x-8|을 풀어 x=1, 5/3, 7/3, 3 네 개의 해를 모두 써야 합니다. 해를 하나라도 빠뜨리면 감점입니다.

유리·무리함수와 명제

유리함수는 4번(그래프의 성질 보기 판별), 11번(중상, 지나지 않는 사분면 조건에서 정수 k의 최댓값 -1), 17번(중상, 반비례곡선과 직선이 만드는 삼각형 넓이에서 k=3)으로 구성됩니다.

무리함수 3문항 중 7번과 10번이 같은 유형(무리함수의 합성함수와 역함수) 입니다. 7번은 교점 (2,4)에서 f(2)=4, f(4)=2를 연립해 a+b=22를 구하고, 10번은 f⁻¹(g(x))=4x에서 g(x)=f(4x)임을 끌어내 g(3)=4를 구합니다. 9번(중상) 은 t 치환 후 t²-4t+4k-4=0이 서로 다른 두 양근을 갖는 조건에서 1≤k<2, 정수 1개를 셉니다.

명제 4문항 중 18번(상) 이 이 시험 최고난도입니다. P=[k-3, k+3]과 Qᶜ=[-1,10]을 잡고, p→q가 거짓인 조건(P∩Qᶜ≠∅)에서 -4≤k≤13, p→~q가 거짓인 조건(P⊄Qᶜ)에서 k<2 또는 k>7을 얻어 두 조건의 교집합에 속하는 정수의 합 54를 구합니다. “명제가 거짓”이라는 조건을 진리집합 언어로 정확히 번역할 수 있어야 합니다.

22번(중상, 서술형) 은 √(n²-1)이 무리수임을 귀류법으로 증명합니다. 유리수라고 가정해 분모가 1임을 유도한 뒤 n-1 < √(n²-1) < n이라 자연수가 될 수 없다는 모순을 끌어내는 흐름입니다.

대비 학습 순서

1. 부분집합 개수 세기 — 13·14·15번형. 포함배제와 조건 만족 원소 판정
2. 역함수 존재 조건 = 단조성 — 19·20번형. 구간별 증가 조건을 부등식으로 옮기기
3. 명제가 거짓일 조건의 진리집합 번역 — 18번형. P∩Qᶜ≠∅, P⊄Qᶜ 같은 표현에 익숙해질 것
4. 무리함수 합성·역함수 — 7·10번형. f⁻¹(g(x))=… 꼴을 g=f(…)로 바꾸는 연습
5. 절댓값 합성방정식 전체 해 구하기 — 21번형 서술. 치환 후 해를 빠짐없이 세기
6. 귀류법 답안 작성 — 22번형. 가정 → 모순 도출까지 문장으로 완성

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