강일고 1학년 2학기 기말고사 공통수학2 기출 분석 (2025학년)

강일고 1학년 2학기 기말고사 공통수학2는 2025학년 기준 총 22문항입니다. 출제 범위는 집합의 뜻과 표현부터 무리식과 무리함수까지 공통수학2 전 범위입니다. 서울 강동구에 있는 강일고의 강일고 1학년 2학기 기말 수학에서 가장 특이한 점은 상 난이도 문항이 4번에 배치돼 있다는 것입니다. 시험지 앞부분에서 시간을 크게 뺏길 수 있는 구조입니다.

핵심 요약

• 22문항. 18~22번은 답을 직접 기입하는 주관식·서술형
• 난이도: 하 1 / 중 11 / 중상 7 / 상 3
• 배치 단원: 07 명제 7 · 08 함수 5 · 05 집합의 뜻과 표현 3 · 09 유리함수 3 · 10 무리함수 3 · 06 집합의 연산 1
• 상 3문항은 4번·17번·20번 — 4번이 앞쪽에 배치된 함정
• ‘모든/어떤’ 명제가 6번·19번 2회 출제

4번에 배치된 상 난이도

시험 운영 관점에서 가장 먼저 알아야 할 사실은 4번이 상 난이도라는 점입니다. 조건 (가)(나)(다)를 종합해 전체집합의 원소 개수를 k(k+1)/2-9=27에서 k=8로 확정하고, A의 원소 합이 18이 되도록 여집합 쪽 합이 9인 부분집합 {1,8}, {3,6}, {4,5}, {1,3,5} 네 개를 찾는 문제입니다.

앞 번호라고 순서대로 풀다가 여기서 막히면 뒤쪽 중 난이도 11문항을 처리할 시간이 사라집니다. 한 문제가 3분 이상 걸리면 표시하고 넘어가는 훈련이 이 시험에서는 특히 중요합니다.

출제 범위와 단원별 문항 수

명제 7문항이 가장 많고, 그중 4문항(18·19·21번 포함)이 중상 이상입니다. 반면 함수 5문항은 9번부터 13번까지 연속 배치되어 있고 11번을 빼면 모두 중 난이도라, 이 구간이 점수를 확보할 자리입니다.

명제 7문항 — 절대부등식과 ‘모든/어떤’

• 5번(하) — 참·거짓 판별 가능 여부로 명제를 고르는 유일한 하 난이도 문항
• 6번(중) — 5의 배수 원소를 하나 이상 포함해야 한다는 조건에서 16-4=12를 구하는 문제
• 7번(중상) — 역수의 합, 완전제곱, AM-GM, 삼각부등식, 제곱합 다섯 보기 중 항상 성립하는 것 2개를 고르는 절대부등식 판별형
• 8번(중) — 대우 ‘모두 홀수’를 세우고 빈칸의 홀짝을 채우는 증명형
• 18번(중상, 주관식) — P=(-5,9), Q=[-3,2], R=[a-6,a+6]에서 R⊂P와 Q⊂R을 동시에 만족하는 1<a<3
• 19번(중상, 주관식) — 판별식 조건으로 A={-1,…,5}를 구하고 B가 정수 전체임을 확인해 A∩B의 원소 합 14
• 21번(중상, 주관식) — s=x+y로 치환해 6+9z/s+s/z 꼴을 만든 뒤 AM-GM으로 최솟값 12

‘모든/어떤’이 있는 명제(No.3321)가 6번과 19번에 2회 나왔습니다. 두 문항 모두 조건을 만족하는 원소나 정수를 세는 형태라, 판별식과 개수 세기를 함께 훈련해야 합니다.

함수 5문항 — 확보 구간

9번(항등·상수함수 조건에서 f(0)+g(1)+h(2)=3), 10번(조각함수 합성값에서 a=2), 12번(합성함수의 역함수 값 -3), 13번(역함수 정의로 f(x)=2x-4를 복원해 f(5)=6)이 모두 중 난이도입니다. 11번(중상) 만 조금 다릅니다. (f∘f)(1)=4를 읽고 f가 일대일이며 f(3)=3이라는 조건에서 1, 2, 4가 순환한다는 구조를 추론해 f(1)+f(2)=6을 구합니다.

무리함수 15번(평행이동 후 지나는 점으로 k=5)과 16번(닫힌구간에서 감소함수임을 파악해 a+b=-8)도 중 난이도입니다. 9번부터 16번까지 여덟 문항 중 일곱이 중 난이도이므로, 이 구간을 빠르게 통과하는 것이 전체 시간 배분의 핵심입니다.

주의할 문항 — 17번과 20번

17번(상) 은 h=-2+4/(x+4)로 변형한 뒤 절댓값 그래프의 개형을 그리고, y=t와의 교점 개수 g(t)를 구간별로 세어 g(1)+g(3)+g(5)+g(7)=2+1+1+2=6을 구합니다.

20번(상, 주관식) 은 두 유리함수의 교점 방정식 kx²+(2k-2)x-2=0을 세우고 k>0, k<0, k=0 각각의 경우에 근의 부호를 따져 교점 개수 h를 정의한 뒤, 조건을 만족하는 k=2를 찾습니다. 근의 부호 판정을 k의 부호별로 나누는 케이스 분류가 관건입니다.

22번(중상, 주관식) 도 만만치 않습니다. f와 g가 역함수 관계임을 이용해 교점 A가 y=x 위에 있음을 알아내 A(4,4)를 구하고, 직선 l: y=-x-6과의 교점 C(2,-8)까지 잡아 밑변 10√2, 높이 7√2인 삼각형의 넓이 70을 구합니다. 무리함수와 역함수의 교점은 y=x 위라는 원리가 여기서도 그대로 쓰입니다.

대비 학습 순서

1. 부분집합 원소 합 조건 — 4번형. 조건을 조합해 전체집합을 먼저 확정하는 순서
2. 절대부등식 보기 판별 — 7번형. 완전제곱, AM-GM, 삼각부등식 각각의 성립 조건과 반례
3. 진리집합 포함으로 상수 범위 — 18번형. 두 포함 조건의 교집합을 구하는 연습
4. 판별식 + 개수 세기 결합 — 19번형. ‘모든/어떤’ 명제를 부등식으로 옮긴 뒤 정수 세기
5. 절댓값·유리함수 그래프와 직선의 교점 개수 — 17·20번형. 개형을 그리고 k 부호별로 분류
6. 역함수 교점은 y=x 위 — 22번형. 좌표를 잡아 도형 넓이로 연결
7. 시간 배분 훈련 — 4번을 건너뛰고 9~16번을 먼저 처리하는 순서 연습

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