도래울고 1학년 2학기 중간고사 공통수학2 기출 분석 (2025학년)
도래울고 1학년 2학기 중간고사 공통수학2는 2025학년 기준 총 22문항입니다. 출제 범위는 평면좌표부터 집합까지입니다. 도래울고 1학년 2학기 중간 공통수학2의 구조에서 가장 눈여겨볼 곳은 18·19·20번입니다. 난이도 ‘상’ 3문항이 이 자리에 연달아 몰려 있어, 시험 후반 10분을 어떻게 쓰느냐가 등급을 가릅니다.
핵심 요약
- 22문항, 난이도 하 4 / 중 6 / 중상 9 / 상 3
- 18·19·20번이 상 3연속 — 대칭이동 최솟값, 두 원의 공통접선, 좌표로 도형 성질 확인
- 출제 단원: 03 원의 방정식(5) / 04 도형의 이동(5) / 01 평면좌표(4) / 05 집합의 뜻과 표현(3) / 02 직선의 방정식(3) / 06 집합의 연산(2)
- 21번은 (1)(2)(3) 소문항으로 흐름이 제시된 서술형
- 명제·함수는 이번 범위에서 제외
도래울고 공통수학2 중간고사는 어떤 시험인가
도래울고등학교는 경기도 고양시에 있는 고등학교입니다. 2025학년 1학년 2학기 중간고사 공통수학2는 총 22문항입니다. 21번만 (1)·(2)·(3) 소문항으로 나뉜 서술형이고 나머지는 선택형입니다.
대단원으로 나누면 I 도형의 방정식 17문항(77%), II 집합 5문항(23%) 입니다. 도형의 방정식 쏠림이 이번에 살펴본 고양시 학교들 중 가장 큽니다. 집합은 5문항뿐이지만 그중 4문항이 중상이라 만만하게 볼 수는 없습니다.
난이도 분포 — 앞 4문항만 ‘하’, 중상이 9문항
| 난이도 | 문항 수 | 비중 |
|---|---|---|
| 하 | 4 | 18% |
| 중 | 6 | 27% |
| 중상 | 9 | 41% |
| 상 | 3 | 14% |
하 4문항(1~4번) 은 공식 한 줄입니다. 10의 약수를 나열해 n(A)=4를 구하고(1번), 중심과 반지름을 표준형에 대입하고(2번), 중점 공식을 쓰고(3번), 평행이동 규칙을 적용합니다(4번).
5번부터는 계속 두 단계 이상이 필요합니다. 중상 9문항 + 상 3문항 = 12문항이 전체의 절반을 넘으니, 하·중 10문항을 빠르게 통과해 뒤쪽에 시간을 남기는 것이 유일한 전략입니다.
출제 단원 — 원과 도형의 이동이 각 5문항
| 배치 단원 | 문항 수 | 문항 번호 |
|---|---|---|
| 03 원의 방정식 | 5 | 2, 8, 11, 14, 19 |
| 04 도형의 이동 | 5 | 4, 5, 16, 18, 22 |
| 01 평면좌표 | 4 | 3, 7, 9, 20 |
| 05 집합의 뜻과 표현 | 3 | 1, 13, 17 |
| 02 직선의 방정식 | 3 | 6, 15, 21 |
| 06 집합의 연산 | 2 | 10, 12 |
도형의 이동이 5문항으로 원과 동률입니다. 다른 학교에서는 2~4문항에 그치는 단원인데, 도래울고는 여기에 상 문항(18번)까지 배치했습니다. 게다가 16번과 22번은 원을 이동시키는 문제라 원 단원과 사실상 연결됩니다.
이 시험의 시그니처 — 18·19·20번 상 3연속
도래울고 중간고사의 결정적 구간은 18번부터 20번까지 난이도 ‘상’ 세 문항이 연속된다는 점입니다. 셋 다 접근 방법이 완전히 다릅니다.
18번 — 대칭이동을 이용한 거리의 최솟값 (상)
AP+PQ+QB의 최솟값을 묻는데, P와 Q가 원 위의 점이라는 게 함정입니다. 먼저 AP≥O₁P-2, QB≥QO₂-1로 원 위의 점을 중심 기준 하한으로 치환하는 비자명한 첫 단계를 거쳐야 합니다. 이후 O₁을 x축에 대칭해 (10, -2), O₂를 y=x에 대칭해 (-5, 3)을 얻습니다. 대칭축이 서로 다르므로 각각 판단해야 합니다. 공선 조건에서 5√10을 얻고 반지름 합 3을 빼면 -3+5√10입니다.
19번 — 두 원의 공통접선 (상)
PA:PB가 2:1이고 P·B·A가 한 직선 위에 있다는 관계를 먼저 도출합니다. B가 선분 PA의 중점이어야 함을 양수 조건에서 판단해 a=4, b=1/2를 확정하고, 접선을 mx-y-4m=0으로 두어 중심 (-6, 1)까지의 거리 조건에서 88m²+20m-11=0을 세웁니다. 두 근을 직접 구하지 않고 근과 계수의 관계로 합 -5/22를 구하는 것이 시간 절약 포인트입니다.
20번 — 좌표로 도형의 성질 확인하기 (상)
y=x 위의 점 조건과 OA=2에서 A(√2, √2), OB=4에서 B(-2√2, -2√2)를 확정합니다. 수선의 발 H, L을 구하고 직선 AL과 BH를 연립해 교점 P를 얻습니다. 마지막이 압권인데, OP와 LH의 기울기 곱이 -1임을 확인해 ∠OQL=90°를 얻고, 원주각의 성질로 OL이 지름임을 도출해 넓이 2π를 구합니다. 좌표계산과 중학교 원주각 성질을 결합하는 문항입니다.
챙겨야 할 중상 유형
집합 계열 (10·12·13·17번)
- 10번 — 원소의 개수 최댓값·최솟값 — n(A∩B)=56-n(A∪B)로 표현한 뒤, n(A∪B)≤50에서 교집합 최소 6, B⊂A에서 최대 24를 도출합니다. M=26, m=8로 차는 18입니다.
- 12번 — 대칭차집합에서 미지수 구하기 — 2∈B인데 대칭차에 없으므로 2∈A임을 간파하는 것이 시작입니다. a-1=2 또는 a²-a=2로 경우를 나눠 세 후보를 각각 검증합니다.
- 13번 — 포함 관계가 성립할 조건 — (A∪B)∩(A-B)ᶜ=A∪B를 A-B=∅, 곧 A⊆B로 환원합니다. 2a-5<3과 a+4≥6을 연립해 2≤a<4에서 정수 2, 3의 합 5를 구합니다.
- 17번 — 조건을 만족시키는 집합의 개수 — 원소의 합이 짝수이려면 홀수 원소가 짝수 개여야 한다는 환원이 핵심입니다. 홀수 선택 8가지 × 짝수 자유 선택 16가지 = 128에서, 원소가 2개 이하인 17개를 빼 111을 얻습니다.
원·직선 계열 (14·15번)
- 14번 — 두 접선의 수직 조건 — A(2, -1)에서의 접선 기울기 2와 B(a, b)에서의 접선 기울기 -a/b가 수직임에서 b=2a를 얻고, 원 위의 점 조건 a²+b²=5와 제3사분면 조건으로 a=-1, b=-2를 확정합니다.
- 15번 — 점과 직선 사이의 거리의 최댓값 — 거리가 최대인 직선이 두 점을 잇는 선분에 수직임을 파악해 2x-y+11=0을 세웁니다. 중심과의 거리 4√5/5에 반지름 √5를 더해 9√5/5입니다.
도형의 이동 (16·22번)
- 16번 — 원과 포물선의 평행이동 — 평행이동한 중심 (-a+5, 3+b)와 반지름 5로 두 축에 동시에 접할 조건 |3+b|=5, |-a+5|=5를 세웁니다. 포물선은 완전제곱으로 최댓값을 구한 뒤 이동량만큼 올립니다.
- 22번 — 원의 대칭이동 — 두 원의 반지름이 같으므로 직선 l이 두 중심을 잇는 선분의 수직이등분선임을 도출하는 것이 핵심입니다. 중점 (1/2, -3/2)와 기울기 1로 y=x-2를 세워 두 절편으로 넓이 2를 구합니다.
서술형 21번 (중상)
세 직선을 두 개씩 연립해 A(1, 4), B(0, 1), C(3, 2)를 구하고, (1) AB=√10, (2) 수선의 발 H(3/5, 14/5)에서 CH=4√10/5, (3) 넓이 4를 차례로 답합니다. 소문항으로 풀이 흐름이 지시돼 있어 상 문항들보다 접근이 수월합니다. 서술형 배점을 확보하기 좋은 자리입니다.
선수 내용 점검 포인트
선수 유형에서는 완전제곱식을 이용한 이차식의 최대·최소(11·16번) 와 일차방정식(5·9번) 이 각 2회 걸려 있습니다. 11번은 반지름의 제곱을 a에 대한 이차식으로 정리한 뒤 최댓값을 찾는 구조라, 완전제곱 변형이 곧 답으로 이어집니다. 그 외에 근과 계수의 관계(19번), 이차방정식의 풀이(12번), 일차부등식(13번), 연립방정식 가감법(21번)이 각 1회씩 등장합니다.
기말 대비 학습 순서 제안
- 도형의 이동 5유형 정리 — 점·도형의 평행이동과 대칭이동, 거리의 최솟값, 원의 대칭이동까지. 이 시험에서 5문항이 걸렸습니다.
- 원의 접선 3종 — 원 위의 점, 원 밖의 점, 기울기가 주어진 경우. 8·14·19번이 각각 다른 종류입니다.
- 집합 연산식을 말로 바꾸는 훈련 — 13번의 A⊆B 환원, 17번의 홀짝 환원처럼 식을 조건으로 번역하는 연습이 중상 구간의 핵심입니다.
- 대칭이동 최솟값 심화 — 18번처럼 원 위의 점이 섞이면 중심 기준으로 하한을 잡아야 합니다.
- 명제·함수 선행 — 이번 중간 범위에서 빠졌으므로 기말 비중이 커질 수 있습니다.
- 도래울고 2025학년 중간 기출 실전 풀이 — 1
9번을 15분 안에 끊고 1820번에 시간을 남기는 연습을 하세요.
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