무원고 1학년 2학기 중간고사 공통수학2 기출 분석 (2025학년)

무원고 1학년 2학기 중간고사 공통수학2는 2025학년 기준 총 20문항입니다. 출제 범위는 평면좌표부터 명제까지로, 같은 고양시 안에서도 범위가 가장 넓은 편입니다. 무원고 1학년 2학기 중간 공통수학2를 다른 학교 기출로 대비하면 안 되는 이유가 여기 있습니다. 대부분의 학교가 집합에서 끊은 반면, 무원고는 명제 단원까지 4문항을 출제했습니다.

핵심 요약

• 20문항, 난이도 하 4 / 중 8 / 중상 7 / 상 1
• 명제 단원 4문항 포함 — 명제의 뜻, 충분·필요조건, 진리집합, ‘모든·어떤’의 부정
• 출제 단원: 03 원의 방정식(6) / 07 명제(4) / 02 직선의 방정식(3) / 01 평면좌표(2) / 05 집합의 뜻과 표현(2) / 06 집합의 연산(2) / 04 도형의 이동(1)
• 도형의 이동은 1문항뿐
• 19·20번은 서답형, 특히 20번이 유일한 상 난이도

무원고 공통수학2 중간고사는 어떤 시험인가

무원고등학교는 경기도 고양시에 있는 고등학교입니다. 2025학년 1학년 2학기 중간고사 공통수학2는 총 20문항으로, 1~18번은 선택형, 19·20번은 답을 직접 쓰는 서답형입니다.

대단원으로 나누면 I 도형의 방정식 12문항(60%), II 집합과 명제 8문항(40%) 입니다. 범위가 명제까지 넓어진 만큼 도형 쪽이 상대적으로 압축됐고, 특히 도형의 이동이 6번 한 문항밖에 없습니다. 대신 원의 방정식이 6문항으로 최다입니다.

난이도 분포 — 상은 1문항, 대신 중이 두꺼움

상이 20번 한 문항뿐이라는 점에서 이번 배치의 다른 학교들과 확연히 다릅니다. 그 대신 중 8문항, 중상 7문항으로 중간 난이도 구간이 15문항을 차지합니다. 한두 문제로 등급이 갈리는 시험이 아니라, 중·중상 구간에서 실수를 얼마나 줄이느냐로 승부가 나는 구조입니다.

하 4문항(1~4번) 은 공식 대입입니다. 거리 공식으로 AB=5(1번), 무게중심 공식으로 (2, 2)(2번), 표준형에서 중심 (5, -1)과 반지름 2 판독(3번), 합집합·교집합 나열(4번)입니다.

출제 단원 — 원 6문항 + 명제 4문항

명제 4문항(20%) 이 이 시험의 성격을 결정합니다. 다른 학교 기출로 연습하면 명제 부분이 통째로 빠지므로, 무원고 학생은 반드시 자기 학교 범위 기준으로 대비해야 합니다.

이 시험의 시그니처 — 명제 4문항 총정리

명제 단원이 난이도별로 고르게 배치됐습니다. 개념부터 진리집합 논증까지 한 단원을 통째로 훑는 구성입니다.

• 5번 — 명제의 뜻 (중) — 다섯 보기에서 명제, 조건(‘x²+2x+1=0’), 참·거짓 판별이 불가능한 문장(‘아름다운 학문’)을 구분합니다. ⑤는 ‘어떤’ 명제로, x²-2x=0의 자연수 해가 존재하는지 확인해야 합니다.
• 13번 — 충분·필요조건과 진리집합 (중상) — q→p, r→~p를 각각 Q⊂P, R⊂Pᶜ로 번역하는 것이 출발점입니다. 보기 ④는 Qᶜ∪Rᶜ=∅이 되려면 Q=R=U여야 함을 논증해 모순을 끌어내야 합니다.
• 14번 — 충분·필요·필요충분조건 (중) — (가)~(다) 세 쌍의 쌍방 함의를 판정합니다. (나)는 인수분해로, (다)는 복소수가 서로 같을 조건으로 반례를 구성합니다.
• 19번 — ‘모든·어떤’ 명제의 부정 (중, 서답형) — ‘어떤’ 명제의 부정을 ‘모든 실수 x에 대하여 x²+ax+3a≥0’으로 진술한 뒤, D=a²-12a≤0을 풀어 0≤a≤12에서 정수 13개를 셉니다. 부정 진술과 판별식 조건을 둘 다 써야 하는 서답형입니다.

명제는 개념만 정확하면 계산량이 적어 점수를 확보하기 좋은 단원입니다. 진리집합의 포함 관계로 번역하는 훈련을 반복하세요.

조심해야 할 상 난이도 — 20번 (서답형)

자취의 방정식과 접선 조건이 결합된 이번 시험의 유일한 상 문항입니다. 먼저 접선 조건 d(B, l)=15/5=3에서 C₁의 반지름 r=3을 구합니다. 진짜 관문은 그다음인데, 내분점의 자취가 중심 (2-6t, 6-12t), 반지름 3t인 원이라는 것을 스스로 규명해야 합니다. 이 구조를 세우고 나면 C₂의 접선 조건에서 |6t-3|=3t를 얻고, 절댓값 방정식을 풀어 0<t<1 범위를 검증해 t=1/3을 확정합니다.

유도 과정이 문제에 제시돼 있지 않은 서답형이라, 자취가 축소된 원이 된다는 발상이 없으면 손을 대기 어렵습니다.

챙겨야 할 중상 유형

• 11번 — 원과 직선이 두 점에서 만날 조건 (중상) — 평행이동으로 3x-y-4a+6=0을 만든 뒤, 중심과의 거리가 반지름보다 작다는 부등식을 세웁니다. |3a+6|<10을 풀어 정수 7개를 셉니다. 절댓값 부등식 처리가 마무리입니다.
• 12번 — 양 축에 접하는 원 + 정점 (중상) — k(x-2y+5)+(3x+y+1)=0을 항등식으로 보아 정점 (-1, 2) 를 먼저 구합니다. 제2사분면 조건에서 중심 (-r, r)로 두고 대입하면 r²-6r+5=0이 나와 r=1, 5, 넓이 합 26π를 얻습니다.
• 15번 — 좌표를 이용한 삼각형의 넓이 (중상) — 등적 조건에서 OD∥AC라는 평행 구조를 파악하는 것이 핵심입니다. 직선 BC와 연립해 C(8, 5)를 확정하고, AB=3√5와 거리 18/√5로 넓이 27을 구합니다.
• 16번 — 배수 집합의 연산 (중상) — 50 이하 배수 집합의 교집합을 최소공배수 집합으로 치환합니다(A₄∩A₆=A₁₂ 등). ㄱ은 포함배제로 12+8-4=16, ㄴ은 드모르간과 A₂ₖ∩A₃ₖ=A₆ₖ로 검증합니다.
• 17번 — 조건을 만족시키는 집합의 개수 (중상) — (나)의 b²+2b-8≤0에서 -4≤b≤2로 모집합을 확정하고, (가)를 원소 조건으로 번역합니다. 여사건으로 ₅C₃-3=7을 빼서 35-7=28을 얻습니다.
• 18번 — 원 위의 점과 직선 사이의 거리 (중상) — 일반형을 표준형 (x-3)²+(y-1)²=5로 고치고 x축 교점 A(1, 0), B(5, 0)을 구합니다. 사각형을 두 삼각형으로 분해한 뒤, P가 최하점일 때 거리 √5-1로 넓이 최댓값 4+2√5를 얻습니다.

선수 내용 점검 포인트

무원고 시험에서 눈에 띄는 것은 공통수학1 내용이 11회나 걸려 있다는 점입니다. 이차방정식의 풀이(5·12·18번)가 3회, 이차부등식의 풀이(17·19번)가 2회이고, 근의 판별(19번), 절댓값 부등식(11번), 절댓값 방정식(20번), 인수분해(14번), 복소수 상등(14번), 조합의 수(17번)까지 폭넓게 등장합니다.

특히 이차부등식과 판별식은 명제 19번, 집합 17번에 직접 쓰이므로, 공통수학1 복습 없이는 이 시험을 통과하기 어렵습니다. 중학교 내용으로는 약수와 배수(10·16번), 연립방정식 가감법(9·15번)이 각 2회 걸려 있습니다.

기말 대비 학습 순서 제안

1. 명제 단원 개념 정리 — 명제와 조건의 구분, 충분·필요조건, 진리집합 포함 관계, ‘모든·어떤’의 부정. 4문항이 걸린 단원이고 계산 부담이 적어 가성비가 좋습니다.
2. 원의 방정식 심화 — 접선, 두 점에서 만날 조건, 양 축 접, 원 위의 점과 직선 사이의 거리, 자취까지 6문항입니다.
3. 공통수학1 이차부등식·판별식 복습 — 선수 내용 중 가장 많이 쓰입니다. 여기서 막히면 명제·집합 문항까지 연쇄로 흔들립니다.
4. 자취의 방정식 훈련 — 20번 유형. 움직이는 점의 내분점이 어떤 도형을 그리는지 스스로 규명하는 연습이 필요합니다.
5. 함수 단원 선행 — 이번 중간 범위에서 빠졌으므로 기말에서 비중이 커질 가능성이 큽니다.
6. 무원고 2025학년 중간 기출 실전 풀이 — 중·중상 15문항에서 실수를 줄이는 것이 이 시험의 핵심입니다.

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